{l}{2x_{1}+3x_{2}=7}{4x_{1}-4x_{2}=-6} സോൾവ് ചെയ്യുക

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x _ { 1 } + 3 x _ { 2 } = 7 } \\ { 4 x _ { 1 } - 4 x _ { 2 } = - 6 } \end{array} \right.$$

x_1, x_2 എന്നതിനായി സോൾവ് ചെയ്യുക

$$x_{1}=\frac{1}{2}=0.5$$

$$x_{2}=2$$

സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂഷൻ ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഘട്ടങ്ങൾ

വ്യവകലനം ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ജോടി സമവാക്യങ്ങൾ സോൾവ് ചെയ്യാൻ, ആദ്യം വേരിയബിളുകളിൽ ഒന്നിനായി സമവാക്യങ്ങളിലൊന്ന് സോൾവ് ചെയ്യുക. തുടർന്ന്, രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിലെ ആ വേരിയബിളിനുള്ള ഫലം സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക.

$$2x_{1}+3x_{2}=7,4x_{1}-4x_{2}=-6$$

സമവാക്യങ്ങളിലൊന്ന് നോക്കിയെടുത്ത്, സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇടതുഭാഗത്തുള്ള x_{1} മാറ്റിനിർത്തിക്കൊണ്ട് x_{1} എന്നതിനായി അത് സോൾവ് ചെയ്യുക.

$$2x_{1}+3x_{2}=7$$

സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും 3x_{2} കുറയ്ക്കുക.

$$2x_{1}=-3x_{2}+7$$

ഇരുവശങ്ങളെയും 2 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

$$x_{1}=\frac{1}{2}\left(-3x_{2}+7\right)$$

\frac{1}{2}, -3x_{2}+7 എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക.

$$x_{1}=-\frac{3}{2}x_{2}+\frac{7}{2}$$

4x_{1}-4x_{2}=-6 എന്ന മറ്റ് സമവാക്യങ്ങളിൽ x_{1} എന്നതിനായി \frac{-3x_{2}+7}{2} സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക.

$$4\left(-\frac{3}{2}x_{2}+\frac{7}{2}\right)-4x_{2}=-6$$

4, \frac{-3x_{2}+7}{2} എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക.

$$-6x_{2}+14-4x_{2}=-6$$

-6x_{2}, -4x_{2} എന്നതിൽ ചേർക്കുക.

$$-10x_{2}+14=-6$$

സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും 14 കുറയ്ക്കുക.

$$-10x_{2}=-20$$

ഇരുവശങ്ങളെയും -10 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

$$x_{2}=2$$

x_{1}=-\frac{3}{2}x_{2}+\frac{7}{2} എന്നതിലെ x_{2} എന്നതിനായി 2 സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക. സംജാതമാകുന്ന സമവാക്യത്തിൽ ഒരേയൊരു വേരിയബിൾ മാത്രമുള്ളതിനാൽ, നിങ്ങൾക്ക് x_{1} എന്നതിനായി നേരിട്ട് സോൾവ് ചെയ്യാനാകും.

$$x_{1}=-\frac{3}{2}\times 2+\frac{7}{2}$$

-\frac{3}{2}, 2 എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക.

$$x_{1}=-3+\frac{7}{2}$$

\frac{7}{2}, -3 എന്നതിൽ ചേർക്കുക.

$$x_{1}=\frac{1}{2}$$

സിസ്റ്റം ഇപ്പോൾ പരിഹരിച്ചു.

$$x_{1}=\frac{1}{2},x_{2}=2$$

മെട്രീസുകൾ ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഘട്ടങ്ങൾ

സമവാക്യങ്ങൾ സാധാരണ രൂപത്തിൽ നൽകിയ ശേഷം സമവാക്യ ഘടന സോൾവ് ചെയ്യാനുള്ള മെട്രീസുകൾ ഉപയോഗിക്കുക.

$$2x_{1}+3x_{2}=7,4x_{1}-4x_{2}=-6$$

സമവാക്യങ്ങൾ മെട്രിക്സ് രൂപത്തിൽ എഴുതുക.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right) എന്നതിന്‍റെ വിപരീത മെട്രിക്‌സ് കൊണ്ട് സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇടതുഭാഗം ഗുണിക്കുക.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

ഒരു മെട്രിക്‌സിന്‍റെയും അതിന്‍റെ വിപരീതത്തിന്‍റെയും ഗുണനഫലം അനന്യതാ മെട്രിക്‌സ് ആണ്.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

സമചിഹ്നത്തിന് ഇടതുഭാഗത്തുള്ള മെട്രിക്‌സുകൾ ഗുണിക്കുക.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

2\times 2-ന് മാട്രിക്സിന് \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) വിപരീത മാട്രിക്സ് \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ആണ്, അതിനാൽ മാട്രിക്സ് സമവാക്യം ഒരു മാട്രിക്സ് പെരുക്ക പ്രശ്നമായി വീണ്ടും എഴുതാനാവും.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{2\left(-4\right)-3\times 4}&-\frac{3}{2\left(-4\right)-3\times 4}\\-\frac{4}{2\left(-4\right)-3\times 4}&\frac{2}{2\left(-4\right)-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

ഗണിതം ചെയ്യുക.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{3}{20}\\\frac{1}{5}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

മെട്രീസുകൾ ഗുണിക്കുക.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 7+\frac{3}{20}\left(-6\right)\\\frac{1}{5}\times 7-\frac{1}{10}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

ഗണിതം ചെയ്യുക.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\2\end{matrix}\right)$$

x_{1}, x_{2} എന്നീ മെട്രിക്സ് ഘടകാംശങ്ങൾ വേർതിരിച്ചെടുക്കുക.

$$x_{1}=\frac{1}{2},x_{2}=2$$

എലിമിനേഷൻ ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഘട്ടങ്ങൾ

എലിമിനേഷൻ ഉപയോഗിച്ച് സോൾവ് ചെയ്യുന്നതിന്, വേരിയബിളുകളിൽ ഒന്നിന്റെ കോഎഫിഷ്യന്റുകൾ ഇരുസമവാക്യങ്ങളിലും ഒന്നുതന്നെയായിരിക്കണം, എന്നാൽ മാത്രമേ ഒരു സമവാക്യം മറ്റൊന്നിൽ നിന്നും വ്യവകലനം ചെയ്യുമ്പോൾ വേരിയബിൾ റദ്ദാക്കപ്പെടുകയുള്ളൂ.

$$2x_{1}+3x_{2}=7,4x_{1}-4x_{2}=-6$$

2x_{1}, 4x_{1} എന്നിവ തുല്യമാക്കാൻ, ആദ്യ സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലെ എല്ലാ പദങ്ങളെയും 4 കൊണ്ടും രണ്ടാമത്തേതിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലെ എല്ലാ പദങ്ങളെയും 2 കൊണ്ടും ഗുണിക്കുക.

$$4\times 2x_{1}+4\times 3x_{2}=4\times 7,2\times 4x_{1}+2\left(-4\right)x_{2}=2\left(-6\right)$$

ലഘൂകരിക്കുക.

$$8x_{1}+12x_{2}=28,8x_{1}-8x_{2}=-12$$

സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലുമുള്ള ഒരുപോലുള്ള പദങ്ങൾ കുറച്ച് 8x_{1}+12x_{2}=28 എന്നതിൽ നിന്ന് 8x_{1}-8x_{2}=-12 കുറയ്ക്കുക.

$$8x_{1}-8x_{1}+12x_{2}+8x_{2}=28+12$$

8x_{1}, -8x_{1} എന്നതിൽ ചേർക്കുക. 8x_{1}, -8x_{1} എന്നീ പദങ്ങൾ റദ്ദാക്കപ്പെട്ടു, സോൾവ് ചെയ്യാനാകുന്ന ഒരേയൊരു വേരിയബിൾ മാത്രമുള്ള സമവാക്യം നൽകുന്നു.

$$12x_{2}+8x_{2}=28+12$$

12x_{2}, 8x_{2} എന്നതിൽ ചേർക്കുക.

$$20x_{2}=28+12$$

28, 12 എന്നതിൽ ചേർക്കുക.

$$20x_{2}=40$$

ഇരുവശങ്ങളെയും 20 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

$$x_{2}=2$$

4x_{1}-4x_{2}=-6 എന്നതിലെ x_{2} എന്നതിനായി 2 സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക. സംജാതമാകുന്ന സമവാക്യത്തിൽ ഒരേയൊരു വേരിയബിൾ മാത്രമുള്ളതിനാൽ, നിങ്ങൾക്ക് x_{1} എന്നതിനായി നേരിട്ട് സോൾവ് ചെയ്യാനാകും.

$$4x_{1}-4\times 2=-6$$

-4, 2 എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക.

$$4x_{1}-8=-6$$

സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലും 8 ചേർക്കുക.

$$4x_{1}=2$$

ഇരുവശങ്ങളെയും 4 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

$$x_{1}=\frac{1}{2}$$

സിസ്റ്റം ഇപ്പോൾ പരിഹരിച്ചു.

$$x_{1}=\frac{1}{2},x_{2}=2$$