{l}{2x+6y=11}{5x-7y=10} സോൾവ് ചെയ്യുക

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 6 y = 11 } \\ { 5 x - 7 y = 10 } \end{array} \right.$$

x, y എന്നതിനായി സോൾവ് ചെയ്യുക

$$x = \frac{137}{44} = 3\frac{5}{44} \approx 3.113636364$$

$$y=\frac{35}{44}\approx 0.795454545$$

സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂഷൻ ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഘട്ടങ്ങൾ

വ്യവകലനം ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ജോടി സമവാക്യങ്ങൾ സോൾവ് ചെയ്യാൻ, ആദ്യം വേരിയബിളുകളിൽ ഒന്നിനായി സമവാക്യങ്ങളിലൊന്ന് സോൾവ് ചെയ്യുക. തുടർന്ന്, രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിലെ ആ വേരിയബിളിനുള്ള ഫലം സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക.

$$2x+6y=11,5x-7y=10$$

സമവാക്യങ്ങളിലൊന്ന് നോക്കിയെടുത്ത്, സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇടതുഭാഗത്തുള്ള x മാറ്റിനിർത്തിക്കൊണ്ട് x എന്നതിനായി അത് സോൾവ് ചെയ്യുക.

$$2x+6y=11$$

സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും 6y കുറയ്ക്കുക.

$$2x=-6y+11$$

ഇരുവശങ്ങളെയും 2 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

$$x=\frac{1}{2}\left(-6y+11\right)$$

\frac{1}{2}, -6y+11 എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക.

$$x=-3y+\frac{11}{2}$$

5x-7y=10 എന്ന മറ്റ് സമവാക്യങ്ങളിൽ x എന്നതിനായി -3y+\frac{11}{2} സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക.

$$5\left(-3y+\frac{11}{2}\right)-7y=10$$

5, -3y+\frac{11}{2} എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക.

$$-15y+\frac{55}{2}-7y=10$$

-15y, -7y എന്നതിൽ ചേർക്കുക.

$$-22y+\frac{55}{2}=10$$

സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും \frac{55}{2} കുറയ്ക്കുക.

$$-22y=-\frac{35}{2}$$

ഇരുവശങ്ങളെയും -22 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

$$y=\frac{35}{44}$$

x=-3y+\frac{11}{2} എന്നതിലെ y എന്നതിനായി \frac{35}{44} സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക. സംജാതമാകുന്ന സമവാക്യത്തിൽ ഒരേയൊരു വേരിയബിൾ മാത്രമുള്ളതിനാൽ, നിങ്ങൾക്ക് x എന്നതിനായി നേരിട്ട് സോൾവ് ചെയ്യാനാകും.

$$x=-3\times \frac{35}{44}+\frac{11}{2}$$

-3, \frac{35}{44} എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക.

$$x=-\frac{105}{44}+\frac{11}{2}$$

ഒരു പൊതുവായ ഭിന്നസംഖ്യാഛേദം കണ്ടെത്തി ന്യൂമറേറ്ററുകൾ ചേർക്കാൻ \frac{11}{2} എന്നത് -\frac{105}{44} എന്നതിൽ ചേർക്കുക. തുടർന്ന്, സാധ്യമായത്രയും കുറഞ്ഞ പദങ്ങളിലേക്ക് അംശം കുറയ്ക്കുക.

$$x=\frac{137}{44}$$

സിസ്റ്റം ഇപ്പോൾ പരിഹരിച്ചു.

$$x=\frac{137}{44},y=\frac{35}{44}$$

മെട്രീസുകൾ ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഘട്ടങ്ങൾ

സമവാക്യങ്ങൾ സാധാരണ രൂപത്തിൽ നൽകിയ ശേഷം സമവാക്യ ഘടന സോൾവ് ചെയ്യാനുള്ള മെട്രീസുകൾ ഉപയോഗിക്കുക.

$$2x+6y=11,5x-7y=10$$

സമവാക്യങ്ങൾ മെട്രിക്സ് രൂപത്തിൽ എഴുതുക.

$$\left(\begin{matrix}2&6\\5&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\10\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&6\\5&-7\end{matrix}\right) എന്നതിന്‍റെ വിപരീത മെട്രിക്‌സ് കൊണ്ട് സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇടതുഭാഗം ഗുണിക്കുക.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&6\\5&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&6\\5&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&6\\5&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\10\end{matrix}\right)$$

ഒരു മെട്രിക്‌സിന്‍റെയും അതിന്‍റെ വിപരീതത്തിന്‍റെയും ഗുണനഫലം അനന്യതാ മെട്രിക്‌സ് ആണ്.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&6\\5&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\10\end{matrix}\right)$$

സമചിഹ്നത്തിന് ഇടതുഭാഗത്തുള്ള മെട്രിക്‌സുകൾ ഗുണിക്കുക.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&6\\5&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 മെട്രിക്സ് \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) എന്നതിനുള്ള, വിപരീത മെട്രിക്സ് \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ആണ്, അതിനാൽ മെട്രിക്സ് സമവാക്യം ഒരു മെട്രിക്സ് ഗുണന പ്രശ്നമായി മാറ്റിയെഴുതാവുന്നതാണ്.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{2\left(-7\right)-6\times 5}&-\frac{6}{2\left(-7\right)-6\times 5}\\-\frac{5}{2\left(-7\right)-6\times 5}&\frac{2}{2\left(-7\right)-6\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\10\end{matrix}\right)$$

ഗണിതം ചെയ്യുക.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{44}&\frac{3}{22}\\\frac{5}{44}&-\frac{1}{22}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\10\end{matrix}\right)$$

മെട്രീസുകൾ ഗുണിക്കുക.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{44}\times 11+\frac{3}{22}\times 10\\\frac{5}{44}\times 11-\frac{1}{22}\times 10\end{matrix}\right)$$

ഗണിതം ചെയ്യുക.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{137}{44}\\\frac{35}{44}\end{matrix}\right)$$

x, y എന്നീ മെട്രിക്സ് ഘടകാംശങ്ങൾ വേർതിരിച്ചെടുക്കുക.

$$x=\frac{137}{44},y=\frac{35}{44}$$

എലിമിനേഷൻ ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഘട്ടങ്ങൾ

എലിമിനേഷൻ ഉപയോഗിച്ച് സോൾവ് ചെയ്യുന്നതിന്, വേരിയബിളുകളിൽ ഒന്നിന്റെ കോഎഫിഷ്യന്റുകൾ ഇരുസമവാക്യങ്ങളിലും ഒന്നുതന്നെയായിരിക്കണം, എന്നാൽ മാത്രമേ ഒരു സമവാക്യം മറ്റൊന്നിൽ നിന്നും വ്യവകലനം ചെയ്യുമ്പോൾ വേരിയബിൾ റദ്ദാക്കപ്പെടുകയുള്ളൂ.

$$2x+6y=11,5x-7y=10$$

2x, 5x എന്നിവ തുല്യമാക്കാൻ, ആദ്യ സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലെ എല്ലാ പദങ്ങളെയും 5 കൊണ്ടും രണ്ടാമത്തേതിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലെ എല്ലാ പദങ്ങളെയും 2 കൊണ്ടും ഗുണിക്കുക.

$$5\times 2x+5\times 6y=5\times 11,2\times 5x+2\left(-7\right)y=2\times 10$$

ലഘൂകരിക്കുക.

$$10x+30y=55,10x-14y=20$$

സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലുമുള്ള ഒരുപോലുള്ള പദങ്ങൾ കുറച്ച് 10x+30y=55 എന്നതിൽ നിന്ന് 10x-14y=20 കുറയ്ക്കുക.

$$10x-10x+30y+14y=55-20$$

10x, -10x എന്നതിൽ ചേർക്കുക. 10x, -10x എന്നീ പദങ്ങൾ റദ്ദാക്കപ്പെട്ടു, സോൾവ് ചെയ്യാനാകുന്ന ഒരേയൊരു വേരിയബിൾ മാത്രമുള്ള സമവാക്യം നൽകുന്നു.

$$30y+14y=55-20$$

30y, 14y എന്നതിൽ ചേർക്കുക.

$$44y=55-20$$

55, -20 എന്നതിൽ ചേർക്കുക.

$$44y=35$$

ഇരുവശങ്ങളെയും 44 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

$$y=\frac{35}{44}$$

5x-7y=10 എന്നതിലെ y എന്നതിനായി \frac{35}{44} സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക. സംജാതമാകുന്ന സമവാക്യത്തിൽ ഒരേയൊരു വേരിയബിൾ മാത്രമുള്ളതിനാൽ, നിങ്ങൾക്ക് x എന്നതിനായി നേരിട്ട് സോൾവ് ചെയ്യാനാകും.

$$5x-7\times \frac{35}{44}=10$$

-7, \frac{35}{44} എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക.

$$5x-\frac{245}{44}=10$$

സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലും \frac{245}{44} ചേർക്കുക.

$$5x=\frac{685}{44}$$

ഇരുവശങ്ങളെയും 5 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

$$x=\frac{137}{44}$$

സിസ്റ്റം ഇപ്പോൾ പരിഹരിച്ചു.

$$x=\frac{137}{44},y=\frac{35}{44}$$