{l}{2X-2+4Y=1/2}{8(Y-1/2)=9(X+1)-4} സോൾവ് ചെയ്യുക

$$\left. \begin{array} { l } { 2 X - 2 + 4 Y = \frac { 1 } { 2 } } \\ { 8 ( Y - \frac { 1 } { 2 } ) = 9 ( X + 1 ) - 4 } \end{array} \right.$$

X, Y എന്നതിനായി സോൾവ് ചെയ്യുക

$$X=-\frac{4}{13}\approx -0.307692308$$

$$Y=\frac{81}{104}\approx 0.778846154$$

സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂഷൻ ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഘട്ടങ്ങൾ

ആദ്യ സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക. 2 ഇരു വശങ്ങളിലും ചേർക്കുക.

$$2X+4Y=\frac{1}{2}+2$$

\frac{5}{2} ലഭ്യമാക്കാൻ \frac{1}{2}, 2 എന്നിവ ചേർക്കുക.

$$2X+4Y=\frac{5}{2}$$

രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക. Y-\frac{1}{2} കൊണ്ട് 8 ഗുണിക്കാൻ ഡിസ്ട്രിബ്യൂട്ടീവ് ഗുണവിശേഷത ഉപയോഗിക്കുക.

$$8Y-4=9\left(X+1\right)-4$$

X+1 കൊണ്ട് 9 ഗുണിക്കാൻ ഡിസ്ട്രിബ്യൂട്ടീവ് ഗുണവിശേഷത ഉപയോഗിക്കുക.

$$8Y-4=9X+9-4$$

5 നേടാൻ 9 എന്നതിൽ നിന്ന് 4 കുറയ്ക്കുക.

$$8Y-4=9X+5$$

ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും 9X കുറയ്ക്കുക.

$$8Y-4-9X=5$$

4 ഇരു വശങ്ങളിലും ചേർക്കുക.

$$8Y-9X=5+4$$

9 ലഭ്യമാക്കാൻ 5, 4 എന്നിവ ചേർക്കുക.

$$8Y-9X=9$$

വ്യവകലനം ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ജോടി സമവാക്യങ്ങൾ സോൾവ് ചെയ്യാൻ, ആദ്യം വേരിയബിളുകളിൽ ഒന്നിനായി സമവാക്യങ്ങളിലൊന്ന് സോൾവ് ചെയ്യുക. തുടർന്ന്, രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിലെ ആ വേരിയബിളിനുള്ള ഫലം സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക.

$$2X+4Y=\frac{5}{2},-9X+8Y=9$$

സമവാക്യങ്ങളിലൊന്ന് നോക്കിയെടുത്ത്, സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇടതുഭാഗത്തുള്ള X മാറ്റിനിർത്തിക്കൊണ്ട് X എന്നതിനായി അത് സോൾവ് ചെയ്യുക.

$$2X+4Y=\frac{5}{2}$$

സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും 4Y കുറയ്ക്കുക.

$$2X=-4Y+\frac{5}{2}$$

ഇരുവശങ്ങളെയും 2 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

$$X=\frac{1}{2}\left(-4Y+\frac{5}{2}\right)$$

\frac{1}{2}, -4Y+\frac{5}{2} എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക.

$$X=-2Y+\frac{5}{4}$$

-9X+8Y=9 എന്ന മറ്റ് സമവാക്യങ്ങളിൽ X എന്നതിനായി -2Y+\frac{5}{4} സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക.

$$-9\left(-2Y+\frac{5}{4}\right)+8Y=9$$

-9, -2Y+\frac{5}{4} എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക.

$$18Y-\frac{45}{4}+8Y=9$$

18Y, 8Y എന്നതിൽ ചേർക്കുക.

$$26Y-\frac{45}{4}=9$$

സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലും \frac{45}{4} ചേർക്കുക.

$$26Y=\frac{81}{4}$$

ഇരുവശങ്ങളെയും 26 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

$$Y=\frac{81}{104}$$

X=-2Y+\frac{5}{4} എന്നതിലെ Y എന്നതിനായി \frac{81}{104} സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക. സംജാതമാകുന്ന സമവാക്യത്തിൽ ഒരേയൊരു വേരിയബിൾ മാത്രമുള്ളതിനാൽ, നിങ്ങൾക്ക് X എന്നതിനായി നേരിട്ട് സോൾവ് ചെയ്യാനാകും.

$$X=-2\times \frac{81}{104}+\frac{5}{4}$$

-2, \frac{81}{104} എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക.

$$X=-\frac{81}{52}+\frac{5}{4}$$

ഒരു പൊതുവായ ഭിന്നസംഖ്യാഛേദം കണ്ടെത്തി ന്യൂമറേറ്ററുകൾ ചേർക്കാൻ \frac{5}{4} എന്നത് -\frac{81}{52} എന്നതിൽ ചേർക്കുക. തുടർന്ന്, സാധ്യമായത്രയും കുറഞ്ഞ പദങ്ങളിലേക്ക് അംശം കുറയ്ക്കുക.

$$X=-\frac{4}{13}$$

സിസ്റ്റം ഇപ്പോൾ പരിഹരിച്ചു.

$$X=-\frac{4}{13},Y=\frac{81}{104}$$

മെട്രീസുകൾ ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഘട്ടങ്ങൾ

ആദ്യ സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക. 2 ഇരു വശങ്ങളിലും ചേർക്കുക.

$$2X+4Y=\frac{1}{2}+2$$

\frac{5}{2} ലഭ്യമാക്കാൻ \frac{1}{2}, 2 എന്നിവ ചേർക്കുക.

$$2X+4Y=\frac{5}{2}$$

രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക. Y-\frac{1}{2} കൊണ്ട് 8 ഗുണിക്കാൻ ഡിസ്ട്രിബ്യൂട്ടീവ് ഗുണവിശേഷത ഉപയോഗിക്കുക.

$$8Y-4=9\left(X+1\right)-4$$

X+1 കൊണ്ട് 9 ഗുണിക്കാൻ ഡിസ്ട്രിബ്യൂട്ടീവ് ഗുണവിശേഷത ഉപയോഗിക്കുക.

$$8Y-4=9X+9-4$$

5 നേടാൻ 9 എന്നതിൽ നിന്ന് 4 കുറയ്ക്കുക.

$$8Y-4=9X+5$$

ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും 9X കുറയ്ക്കുക.

$$8Y-4-9X=5$$

4 ഇരു വശങ്ങളിലും ചേർക്കുക.

$$8Y-9X=5+4$$

9 ലഭ്യമാക്കാൻ 5, 4 എന്നിവ ചേർക്കുക.

$$8Y-9X=9$$

സമവാക്യങ്ങൾ സാധാരണ രൂപത്തിൽ നൽകിയ ശേഷം സമവാക്യ ഘടന സോൾവ് ചെയ്യാനുള്ള മെട്രീസുകൾ ഉപയോഗിക്കുക.

$$2X+4Y=\frac{5}{2},-9X+8Y=9$$

സമവാക്യങ്ങൾ മെട്രിക്സ് രൂപത്തിൽ എഴുതുക.

$$\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right) എന്നതിന്‍റെ വിപരീത മെട്രിക്‌സ് കൊണ്ട് സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇടതുഭാഗം ഗുണിക്കുക.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

ഒരു മെട്രിക്‌സിന്‍റെയും അതിന്‍റെ വിപരീതത്തിന്‍റെയും ഗുണനഫലം അനന്യതാ മെട്രിക്‌സ് ആണ്.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

സമചിഹ്നത്തിന് ഇടതുഭാഗത്തുള്ള മെട്രിക്‌സുകൾ ഗുണിക്കുക.

$$\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 മെട്രിക്സ് \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) എന്നതിനുള്ള, വിപരീത മെട്രിക്സ് \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ആണ്, അതിനാൽ മെട്രിക്സ് സമവാക്യം ഒരു മെട്രിക്സ് ഗുണന പ്രശ്നമായി മാറ്റിയെഴുതാവുന്നതാണ്.

$$\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{2\times 8-4\left(-9\right)}&-\frac{4}{2\times 8-4\left(-9\right)}\\-\frac{-9}{2\times 8-4\left(-9\right)}&\frac{2}{2\times 8-4\left(-9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

ഗണിതം ചെയ്യുക.

$$\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}&-\frac{1}{13}\\\frac{9}{52}&\frac{1}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

മെട്രീസുകൾ ഗുണിക്കുക.

$$\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}\times \frac{5}{2}-\frac{1}{13}\times 9\\\frac{9}{52}\times \frac{5}{2}+\frac{1}{26}\times 9\end{matrix}\right)$$

ഗണിതം ചെയ്യുക.

$$\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{13}\\\frac{81}{104}\end{matrix}\right)$$

X, Y എന്നീ മെട്രിക്സ് ഘടകാംശങ്ങൾ വേർതിരിച്ചെടുക്കുക.

$$X=-\frac{4}{13},Y=\frac{81}{104}$$

എലിമിനേഷൻ ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഘട്ടങ്ങൾ

ആദ്യ സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക. 2 ഇരു വശങ്ങളിലും ചേർക്കുക.

$$2X+4Y=\frac{1}{2}+2$$

\frac{5}{2} ലഭ്യമാക്കാൻ \frac{1}{2}, 2 എന്നിവ ചേർക്കുക.

$$2X+4Y=\frac{5}{2}$$

രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക. Y-\frac{1}{2} കൊണ്ട് 8 ഗുണിക്കാൻ ഡിസ്ട്രിബ്യൂട്ടീവ് ഗുണവിശേഷത ഉപയോഗിക്കുക.

$$8Y-4=9\left(X+1\right)-4$$

X+1 കൊണ്ട് 9 ഗുണിക്കാൻ ഡിസ്ട്രിബ്യൂട്ടീവ് ഗുണവിശേഷത ഉപയോഗിക്കുക.

$$8Y-4=9X+9-4$$

5 നേടാൻ 9 എന്നതിൽ നിന്ന് 4 കുറയ്ക്കുക.

$$8Y-4=9X+5$$

ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും 9X കുറയ്ക്കുക.

$$8Y-4-9X=5$$

4 ഇരു വശങ്ങളിലും ചേർക്കുക.

$$8Y-9X=5+4$$

9 ലഭ്യമാക്കാൻ 5, 4 എന്നിവ ചേർക്കുക.

$$8Y-9X=9$$

എലിമിനേഷൻ ഉപയോഗിച്ച് സോൾവ് ചെയ്യുന്നതിന്, വേരിയബിളുകളിൽ ഒന്നിന്റെ കോഎഫിഷ്യന്റുകൾ ഇരുസമവാക്യങ്ങളിലും ഒന്നുതന്നെയായിരിക്കണം, എന്നാൽ മാത്രമേ ഒരു സമവാക്യം മറ്റൊന്നിൽ നിന്നും വ്യവകലനം ചെയ്യുമ്പോൾ വേരിയബിൾ റദ്ദാക്കപ്പെടുകയുള്ളൂ.

$$2X+4Y=\frac{5}{2},-9X+8Y=9$$

2X, -9X എന്നിവ തുല്യമാക്കാൻ, ആദ്യ സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലെ എല്ലാ പദങ്ങളെയും -9 കൊണ്ടും രണ്ടാമത്തേതിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലെ എല്ലാ പദങ്ങളെയും 2 കൊണ്ടും ഗുണിക്കുക.

$$-9\times 2X-9\times 4Y=-9\times \frac{5}{2},2\left(-9\right)X+2\times 8Y=2\times 9$$

ലഘൂകരിക്കുക.

$$-18X-36Y=-\frac{45}{2},-18X+16Y=18$$

സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലുമുള്ള ഒരുപോലുള്ള പദങ്ങൾ കുറച്ച് -18X-36Y=-\frac{45}{2} എന്നതിൽ നിന്ന് -18X+16Y=18 കുറയ്ക്കുക.

$$-18X+18X-36Y-16Y=-\frac{45}{2}-18$$

-18X, 18X എന്നതിൽ ചേർക്കുക. -18X, 18X എന്നീ പദങ്ങൾ റദ്ദാക്കപ്പെട്ടു, സോൾവ് ചെയ്യാനാകുന്ന ഒരേയൊരു വേരിയബിൾ മാത്രമുള്ള സമവാക്യം നൽകുന്നു.

$$-36Y-16Y=-\frac{45}{2}-18$$

-36Y, -16Y എന്നതിൽ ചേർക്കുക.

$$-52Y=-\frac{45}{2}-18$$

-\frac{45}{2}, -18 എന്നതിൽ ചേർക്കുക.

$$-52Y=-\frac{81}{2}$$

ഇരുവശങ്ങളെയും -52 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

$$Y=\frac{81}{104}$$

-9X+8Y=9 എന്നതിലെ Y എന്നതിനായി \frac{81}{104} സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക. സംജാതമാകുന്ന സമവാക്യത്തിൽ ഒരേയൊരു വേരിയബിൾ മാത്രമുള്ളതിനാൽ, നിങ്ങൾക്ക് X എന്നതിനായി നേരിട്ട് സോൾവ് ചെയ്യാനാകും.

$$-9X+8\times \frac{81}{104}=9$$

8, \frac{81}{104} എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക.

$$-9X+\frac{81}{13}=9$$

സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും \frac{81}{13} കുറയ്ക്കുക.

$$-9X=\frac{36}{13}$$

ഇരുവശങ്ങളെയും -9 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

$$X=-\frac{4}{13}$$

സിസ്റ്റം ഇപ്പോൾ പരിഹരിച്ചു.

$$X=-\frac{4}{13},Y=\frac{81}{104}$$