{l}{12x+4y=6}{9x+16y=8} സോൾവ് ചെയ്യുക

$$\left. \begin{array} { l } { 12 x + 4 y = 6 } \\ { 9 x + 16 y = 8 } \end{array} \right.$$

x, y എന്നതിനായി സോൾവ് ചെയ്യുക

$$x=\frac{16}{39}\approx 0.41025641$$

$$y=\frac{7}{26}\approx 0.269230769$$

സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂഷൻ ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഘട്ടങ്ങൾ

വ്യവകലനം ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ജോടി സമവാക്യങ്ങൾ സോൾവ് ചെയ്യാൻ, ആദ്യം വേരിയബിളുകളിൽ ഒന്നിനായി സമവാക്യങ്ങളിലൊന്ന് സോൾവ് ചെയ്യുക. തുടർന്ന്, രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിലെ ആ വേരിയബിളിനുള്ള ഫലം സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക.

$$12x+4y=6,9x+16y=8$$

സമവാക്യങ്ങളിലൊന്ന് നോക്കിയെടുത്ത്, സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇടതുഭാഗത്തുള്ള x മാറ്റിനിർത്തിക്കൊണ്ട് x എന്നതിനായി അത് സോൾവ് ചെയ്യുക.

$$12x+4y=6$$

സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും 4y കുറയ്ക്കുക.

$$12x=-4y+6$$

ഇരുവശങ്ങളെയും 12 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

$$x=\frac{1}{12}\left(-4y+6\right)$$

\frac{1}{12}, -4y+6 എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{1}{2}$$

9x+16y=8 എന്ന മറ്റ് സമവാക്യങ്ങളിൽ x എന്നതിനായി -\frac{y}{3}+\frac{1}{2} സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക.

$$9\left(-\frac{1}{3}y+\frac{1}{2}\right)+16y=8$$

9, -\frac{y}{3}+\frac{1}{2} എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക.

$$-3y+\frac{9}{2}+16y=8$$

-3y, 16y എന്നതിൽ ചേർക്കുക.

$$13y+\frac{9}{2}=8$$

സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും \frac{9}{2} കുറയ്ക്കുക.

$$13y=\frac{7}{2}$$

ഇരുവശങ്ങളെയും 13 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

$$y=\frac{7}{26}$$

x=-\frac{1}{3}y+\frac{1}{2} എന്നതിലെ y എന്നതിനായി \frac{7}{26} സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക. സംജാതമാകുന്ന സമവാക്യത്തിൽ ഒരേയൊരു വേരിയബിൾ മാത്രമുള്ളതിനാൽ, നിങ്ങൾക്ക് x എന്നതിനായി നേരിട്ട് സോൾവ് ചെയ്യാനാകും.

$$x=-\frac{1}{3}\times \frac{7}{26}+\frac{1}{2}$$

ന്യൂമറേറ്റർ കൊണ്ട് ന്യൂമറേറ്ററിനെയും ഭിന്നസംഖ്യാഛേദി കൊണ്ട് ഭിന്നസംഖ്യാഛേദിയേയും ഗുണിച്ചുകൊണ്ട് -\frac{1}{3}, \frac{7}{26} എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക. തുടർന്ന്, സാധ്യമായത്രയും കുറഞ്ഞ പദങ്ങളിലേക്ക് അംശം കുറയ്ക്കുക.

$$x=-\frac{7}{78}+\frac{1}{2}$$

ഒരു പൊതുവായ ഭിന്നസംഖ്യാഛേദം കണ്ടെത്തി ന്യൂമറേറ്ററുകൾ ചേർക്കാൻ \frac{1}{2} എന്നത് -\frac{7}{78} എന്നതിൽ ചേർക്കുക. തുടർന്ന്, സാധ്യമായത്രയും കുറഞ്ഞ പദങ്ങളിലേക്ക് അംശം കുറയ്ക്കുക.

$$x=\frac{16}{39}$$

സിസ്റ്റം ഇപ്പോൾ പരിഹരിച്ചു.

$$x=\frac{16}{39},y=\frac{7}{26}$$

മെട്രീസുകൾ ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഘട്ടങ്ങൾ

സമവാക്യങ്ങൾ സാധാരണ രൂപത്തിൽ നൽകിയ ശേഷം സമവാക്യ ഘടന സോൾവ് ചെയ്യാനുള്ള മെട്രീസുകൾ ഉപയോഗിക്കുക.

$$12x+4y=6,9x+16y=8$$

സമവാക്യങ്ങൾ മെട്രിക്സ് രൂപത്തിൽ എഴുതുക.

$$\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right) എന്നതിന്‍റെ വിപരീത മെട്രിക്‌സ് കൊണ്ട് സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇടതുഭാഗം ഗുണിക്കുക.

$$inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

ഒരു മെട്രിക്‌സിന്‍റെയും അതിന്‍റെ വിപരീതത്തിന്‍റെയും ഗുണനഫലം അനന്യതാ മെട്രിക്‌സ് ആണ്.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

സമചിഹ്നത്തിന് ഇടതുഭാഗത്തുള്ള മെട്രിക്‌സുകൾ ഗുണിക്കുക.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2-ന് മാട്രിക്സിന് \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) വിപരീത മാട്രിക്സ് \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ആണ്, അതിനാൽ മാട്രിക്സ് സമവാക്യം ഒരു മാട്രിക്സ് പെരുക്ക പ്രശ്നമായി വീണ്ടും എഴുതാനാവും.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{12\times 16-4\times 9}&-\frac{4}{12\times 16-4\times 9}\\-\frac{9}{12\times 16-4\times 9}&\frac{12}{12\times 16-4\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

ഗണിതം ചെയ്യുക.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{39}&-\frac{1}{39}\\-\frac{3}{52}&\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

മെട്രീസുകൾ ഗുണിക്കുക.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{39}\times 6-\frac{1}{39}\times 8\\-\frac{3}{52}\times 6+\frac{1}{13}\times 8\end{matrix}\right)$$

ഗണിതം ചെയ്യുക.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{39}\\\frac{7}{26}\end{matrix}\right)$$

x, y എന്നീ മെട്രിക്സ് ഘടകാംശങ്ങൾ വേർതിരിച്ചെടുക്കുക.

$$x=\frac{16}{39},y=\frac{7}{26}$$

എലിമിനേഷൻ ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഘട്ടങ്ങൾ

എലിമിനേഷൻ ഉപയോഗിച്ച് സോൾവ് ചെയ്യുന്നതിന്, വേരിയബിളുകളിൽ ഒന്നിന്റെ കോഎഫിഷ്യന്റുകൾ ഇരുസമവാക്യങ്ങളിലും ഒന്നുതന്നെയായിരിക്കണം, എന്നാൽ മാത്രമേ ഒരു സമവാക്യം മറ്റൊന്നിൽ നിന്നും വ്യവകലനം ചെയ്യുമ്പോൾ വേരിയബിൾ റദ്ദാക്കപ്പെടുകയുള്ളൂ.

$$12x+4y=6,9x+16y=8$$

12x, 9x എന്നിവ തുല്യമാക്കാൻ, ആദ്യ സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലെ എല്ലാ പദങ്ങളെയും 9 കൊണ്ടും രണ്ടാമത്തേതിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലെ എല്ലാ പദങ്ങളെയും 12 കൊണ്ടും ഗുണിക്കുക.

$$9\times 12x+9\times 4y=9\times 6,12\times 9x+12\times 16y=12\times 8$$

ലഘൂകരിക്കുക.

$$108x+36y=54,108x+192y=96$$

സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലുമുള്ള ഒരുപോലുള്ള പദങ്ങൾ കുറച്ച് 108x+36y=54 എന്നതിൽ നിന്ന് 108x+192y=96 കുറയ്ക്കുക.

$$108x-108x+36y-192y=54-96$$

108x, -108x എന്നതിൽ ചേർക്കുക. 108x, -108x എന്നീ പദങ്ങൾ റദ്ദാക്കപ്പെട്ടു, സോൾവ് ചെയ്യാനാകുന്ന ഒരേയൊരു വേരിയബിൾ മാത്രമുള്ള സമവാക്യം നൽകുന്നു.

$$36y-192y=54-96$$

36y, -192y എന്നതിൽ ചേർക്കുക.

$$-156y=54-96$$

54, -96 എന്നതിൽ ചേർക്കുക.

$$-156y=-42$$

ഇരുവശങ്ങളെയും -156 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

$$y=\frac{7}{26}$$

9x+16y=8 എന്നതിലെ y എന്നതിനായി \frac{7}{26} സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക. സംജാതമാകുന്ന സമവാക്യത്തിൽ ഒരേയൊരു വേരിയബിൾ മാത്രമുള്ളതിനാൽ, നിങ്ങൾക്ക് x എന്നതിനായി നേരിട്ട് സോൾവ് ചെയ്യാനാകും.

$$9x+16\times \frac{7}{26}=8$$

16, \frac{7}{26} എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക.

$$9x+\frac{56}{13}=8$$

സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും \frac{56}{13} കുറയ്ക്കുക.

$$9x=\frac{48}{13}$$

ഇരുവശങ്ങളെയും 9 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

$$x=\frac{16}{39}$$

സിസ്റ്റം ഇപ്പോൾ പരിഹരിച്ചു.

$$x=\frac{16}{39},y=\frac{7}{26}$$