{l}{110b+218c=-93}{109b+227c=-99} സോൾവ് ചെയ്യുക

$$\left. \begin{array} { l } { 110 b + 218 c = - 93 } \\ { 109 b + 227 c = - 99 } \end{array} \right.$$

b, c എന്നതിനായി സോൾവ് ചെയ്യുക

$$b=\frac{471}{1208}\approx 0.389900662$$

$$c=-\frac{753}{1208}\approx -0.623344371$$

സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂഷൻ ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഘട്ടങ്ങൾ

വ്യവകലനം ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ജോടി സമവാക്യങ്ങൾ സോൾവ് ചെയ്യാൻ, ആദ്യം വേരിയബിളുകളിൽ ഒന്നിനായി സമവാക്യങ്ങളിലൊന്ന് സോൾവ് ചെയ്യുക. തുടർന്ന്, രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിലെ ആ വേരിയബിളിനുള്ള ഫലം സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക.

$$110b+218c=-93,109b+227c=-99$$

സമവാക്യങ്ങളിലൊന്ന് നോക്കിയെടുത്ത്, സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇടതുഭാഗത്തുള്ള b മാറ്റിനിർത്തിക്കൊണ്ട് b എന്നതിനായി അത് സോൾവ് ചെയ്യുക.

$$110b+218c=-93$$

സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും 218c കുറയ്ക്കുക.

$$110b=-218c-93$$

ഇരുവശങ്ങളെയും 110 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

$$b=\frac{1}{110}\left(-218c-93\right)$$

\frac{1}{110}, -218c-93 എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക.

$$b=-\frac{109}{55}c-\frac{93}{110}$$

109b+227c=-99 എന്ന മറ്റ് സമവാക്യങ്ങളിൽ b എന്നതിനായി -\frac{109c}{55}-\frac{93}{110} സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക.

$$109\left(-\frac{109}{55}c-\frac{93}{110}\right)+227c=-99$$

109, -\frac{109c}{55}-\frac{93}{110} എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക.

$$-\frac{11881}{55}c-\frac{10137}{110}+227c=-99$$

-\frac{11881c}{55}, 227c എന്നതിൽ ചേർക്കുക.

$$\frac{604}{55}c-\frac{10137}{110}=-99$$

സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലും \frac{10137}{110} ചേർക്കുക.

$$\frac{604}{55}c=-\frac{753}{110}$$

\frac{604}{55} കൊണ്ട് സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളെയും ഹരിക്കുക, ഇത് അംശത്തിന്‍റെ പരസ്പരപൂരകത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളെയും ഗുണിക്കുന്നതിന് തുല്യമാണ്.

$$c=-\frac{753}{1208}$$

b=-\frac{109}{55}c-\frac{93}{110} എന്നതിലെ c എന്നതിനായി -\frac{753}{1208} സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക. സംജാതമാകുന്ന സമവാക്യത്തിൽ ഒരേയൊരു വേരിയബിൾ മാത്രമുള്ളതിനാൽ, നിങ്ങൾക്ക് b എന്നതിനായി നേരിട്ട് സോൾവ് ചെയ്യാനാകും.

$$b=-\frac{109}{55}\left(-\frac{753}{1208}\right)-\frac{93}{110}$$

ന്യൂമറേറ്റർ കൊണ്ട് ന്യൂമറേറ്ററിനെയും ഭിന്നസംഖ്യാഛേദി കൊണ്ട് ഭിന്നസംഖ്യാഛേദിയേയും ഗുണിച്ചുകൊണ്ട് -\frac{109}{55}, -\frac{753}{1208} എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക. തുടർന്ന്, സാധ്യമായത്രയും കുറഞ്ഞ പദങ്ങളിലേക്ക് അംശം കുറയ്ക്കുക.

$$b=\frac{82077}{66440}-\frac{93}{110}$$

ഒരു പൊതുവായ ഭിന്നസംഖ്യാഛേദം കണ്ടെത്തി ന്യൂമറേറ്ററുകൾ ചേർക്കാൻ -\frac{93}{110} എന്നത് \frac{82077}{66440} എന്നതിൽ ചേർക്കുക. തുടർന്ന്, സാധ്യമായത്രയും കുറഞ്ഞ പദങ്ങളിലേക്ക് അംശം കുറയ്ക്കുക.

$$b=\frac{471}{1208}$$

സിസ്റ്റം ഇപ്പോൾ പരിഹരിച്ചു.

$$b=\frac{471}{1208},c=-\frac{753}{1208}$$

മെട്രീസുകൾ ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഘട്ടങ്ങൾ

സമവാക്യങ്ങൾ സാധാരണ രൂപത്തിൽ നൽകിയ ശേഷം സമവാക്യ ഘടന സോൾവ് ചെയ്യാനുള്ള മെട്രീസുകൾ ഉപയോഗിക്കുക.

$$110b+218c=-93,109b+227c=-99$$

സമവാക്യങ്ങൾ മെട്രിക്സ് രൂപത്തിൽ എഴുതുക.

$$\left(\begin{matrix}110&218\\109&227\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-93\\-99\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}110&218\\109&227\end{matrix}\right) എന്നതിന്‍റെ വിപരീത മെട്രിക്‌സ് കൊണ്ട് സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇടതുഭാഗം ഗുണിക്കുക.

$$inverse(\left(\begin{matrix}110&218\\109&227\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}110&218\\109&227\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}110&218\\109&227\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-93\\-99\end{matrix}\right)$$

ഒരു മെട്രിക്‌സിന്‍റെയും അതിന്‍റെ വിപരീതത്തിന്‍റെയും ഗുണനഫലം അനന്യതാ മെട്രിക്‌സ് ആണ്.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}110&218\\109&227\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-93\\-99\end{matrix}\right)$$

സമചിഹ്നത്തിന് ഇടതുഭാഗത്തുള്ള മെട്രിക്‌സുകൾ ഗുണിക്കുക.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}110&218\\109&227\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-93\\-99\end{matrix}\right)$$

2\times 2 മെട്രിക്സ് \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) എന്നതിനുള്ള, വിപരീത മെട്രിക്സ് \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ആണ്, അതിനാൽ മെട്രിക്സ് സമവാക്യം ഒരു മെട്രിക്സ് ഗുണന പ്രശ്നമായി മാറ്റിയെഴുതാവുന്നതാണ്.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{227}{110\times 227-218\times 109}&-\frac{218}{110\times 227-218\times 109}\\-\frac{109}{110\times 227-218\times 109}&\frac{110}{110\times 227-218\times 109}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-93\\-99\end{matrix}\right)$$

ഗണിതം ചെയ്യുക.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{227}{1208}&-\frac{109}{604}\\-\frac{109}{1208}&\frac{55}{604}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-93\\-99\end{matrix}\right)$$

മെട്രീസുകൾ ഗുണിക്കുക.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{227}{1208}\left(-93\right)-\frac{109}{604}\left(-99\right)\\-\frac{109}{1208}\left(-93\right)+\frac{55}{604}\left(-99\right)\end{matrix}\right)$$

ഗണിതം ചെയ്യുക.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{471}{1208}\\-\frac{753}{1208}\end{matrix}\right)$$

b, c എന്നീ മെട്രിക്സ് ഘടകാംശങ്ങൾ വേർതിരിച്ചെടുക്കുക.

$$b=\frac{471}{1208},c=-\frac{753}{1208}$$

എലിമിനേഷൻ ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഘട്ടങ്ങൾ

എലിമിനേഷൻ ഉപയോഗിച്ച് സോൾവ് ചെയ്യുന്നതിന്, വേരിയബിളുകളിൽ ഒന്നിന്റെ കോഎഫിഷ്യന്റുകൾ ഇരുസമവാക്യങ്ങളിലും ഒന്നുതന്നെയായിരിക്കണം, എന്നാൽ മാത്രമേ ഒരു സമവാക്യം മറ്റൊന്നിൽ നിന്നും വ്യവകലനം ചെയ്യുമ്പോൾ വേരിയബിൾ റദ്ദാക്കപ്പെടുകയുള്ളൂ.

$$110b+218c=-93,109b+227c=-99$$

110b, 109b എന്നിവ തുല്യമാക്കാൻ, ആദ്യ സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലെ എല്ലാ പദങ്ങളെയും 109 കൊണ്ടും രണ്ടാമത്തേതിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലെ എല്ലാ പദങ്ങളെയും 110 കൊണ്ടും ഗുണിക്കുക.

$$109\times 110b+109\times 218c=109\left(-93\right),110\times 109b+110\times 227c=110\left(-99\right)$$

ലഘൂകരിക്കുക.

$$11990b+23762c=-10137,11990b+24970c=-10890$$

സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലുമുള്ള ഒരുപോലുള്ള പദങ്ങൾ കുറച്ച് 11990b+23762c=-10137 എന്നതിൽ നിന്ന് 11990b+24970c=-10890 കുറയ്ക്കുക.

$$11990b-11990b+23762c-24970c=-10137+10890$$

11990b, -11990b എന്നതിൽ ചേർക്കുക. 11990b, -11990b എന്നീ പദങ്ങൾ റദ്ദാക്കപ്പെട്ടു, സോൾവ് ചെയ്യാനാകുന്ന ഒരേയൊരു വേരിയബിൾ മാത്രമുള്ള സമവാക്യം നൽകുന്നു.

$$23762c-24970c=-10137+10890$$

23762c, -24970c എന്നതിൽ ചേർക്കുക.

$$-1208c=-10137+10890$$

-10137, 10890 എന്നതിൽ ചേർക്കുക.

$$-1208c=753$$

ഇരുവശങ്ങളെയും -1208 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

$$c=-\frac{753}{1208}$$

109b+227c=-99 എന്നതിലെ c എന്നതിനായി -\frac{753}{1208} സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക. സംജാതമാകുന്ന സമവാക്യത്തിൽ ഒരേയൊരു വേരിയബിൾ മാത്രമുള്ളതിനാൽ, നിങ്ങൾക്ക് b എന്നതിനായി നേരിട്ട് സോൾവ് ചെയ്യാനാകും.

$$109b+227\left(-\frac{753}{1208}\right)=-99$$

227, -\frac{753}{1208} എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക.

$$109b-\frac{170931}{1208}=-99$$

സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലും \frac{170931}{1208} ചേർക്കുക.

$$109b=\frac{51339}{1208}$$

ഇരുവശങ്ങളെയും 109 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

$$b=\frac{471}{1208}$$

സിസ്റ്റം ഇപ്പോൾ പരിഹരിച്ചു.

$$b=\frac{471}{1208},c=-\frac{753}{1208}$$