{l}{-9x+6y=13}{cx+8y=-12} സോൾവ് ചെയ്യുക

$$\left. \begin{array} { l } { - 9 x + 6 y = 13 } \\ { c x + 8 y = - 12 } \end{array} \right.$$

x, y എന്നതിനായി സോൾവ് ചെയ്യുക

$$x=-\frac{88}{3\left(c+12\right)}$$

$$y=-\frac{108-13c}{6\left(c+12\right)}$$

$$c\neq -12$$

സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂഷൻ ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഘട്ടങ്ങൾ

വ്യവകലനം ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ജോടി സമവാക്യങ്ങൾ സോൾവ് ചെയ്യാൻ, ആദ്യം വേരിയബിളുകളിൽ ഒന്നിനായി സമവാക്യങ്ങളിലൊന്ന് സോൾവ് ചെയ്യുക. തുടർന്ന്, രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിലെ ആ വേരിയബിളിനുള്ള ഫലം സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക.

$$-9x+6y=13,cx+8y=-12$$

സമവാക്യങ്ങളിലൊന്ന് നോക്കിയെടുത്ത്, സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇടതുഭാഗത്തുള്ള x മാറ്റിനിർത്തിക്കൊണ്ട് x എന്നതിനായി അത് സോൾവ് ചെയ്യുക.

$$-9x+6y=13$$

സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും 6y കുറയ്ക്കുക.

$$-9x=-6y+13$$

ഇരുവശങ്ങളെയും -9 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

$$x=-\frac{1}{9}\left(-6y+13\right)$$

-\frac{1}{9}, -6y+13 എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക.

$$x=\frac{2}{3}y-\frac{13}{9}$$

cx+8y=-12 എന്ന മറ്റ് സമവാക്യങ്ങളിൽ x എന്നതിനായി \frac{2y}{3}-\frac{13}{9} സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക.

$$c\left(\frac{2}{3}y-\frac{13}{9}\right)+8y=-12$$

c, \frac{2y}{3}-\frac{13}{9} എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക.

$$\frac{2c}{3}y-\frac{13c}{9}+8y=-12$$

\frac{2cy}{3}, 8y എന്നതിൽ ചേർക്കുക.

$$\left(\frac{2c}{3}+8\right)y-\frac{13c}{9}=-12$$

സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലും \frac{13c}{9} ചേർക്കുക.

$$\left(\frac{2c}{3}+8\right)y=\frac{13c}{9}-12$$

ഇരുവശങ്ങളെയും \frac{2c}{3}+8 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

$$y=\frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}$$

x=\frac{2}{3}y-\frac{13}{9} എന്നതിലെ y എന്നതിനായി \frac{-108+13c}{6\left(c+12\right)} സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക. സംജാതമാകുന്ന സമവാക്യത്തിൽ ഒരേയൊരു വേരിയബിൾ മാത്രമുള്ളതിനാൽ, നിങ്ങൾക്ക് x എന്നതിനായി നേരിട്ട് സോൾവ് ചെയ്യാനാകും.

$$x=\frac{2}{3}\times \frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}-\frac{13}{9}$$

\frac{2}{3}, \frac{-108+13c}{6\left(c+12\right)} എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക.

$$x=\frac{13c-108}{9\left(c+12\right)}-\frac{13}{9}$$

-\frac{13}{9}, \frac{-108+13c}{9\left(c+12\right)} എന്നതിൽ ചേർക്കുക.

$$x=-\frac{88}{3\left(c+12\right)}$$

സിസ്റ്റം ഇപ്പോൾ പരിഹരിച്ചു.

$$x=-\frac{88}{3\left(c+12\right)},y=\frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}$$

മെട്രീസുകൾ ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഘട്ടങ്ങൾ

സമവാക്യങ്ങൾ സാധാരണ രൂപത്തിൽ നൽകിയ ശേഷം സമവാക്യ ഘടന സോൾവ് ചെയ്യാനുള്ള മെട്രീസുകൾ ഉപയോഗിക്കുക.

$$-9x+6y=13,cx+8y=-12$$

സമവാക്യങ്ങൾ മെട്രിക്സ് രൂപത്തിൽ എഴുതുക.

$$\left(\begin{matrix}-9&6\\c&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\-12\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-9&6\\c&8\end{matrix}\right) എന്നതിന്‍റെ വിപരീത മെട്രിക്‌സ് കൊണ്ട് സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇടതുഭാഗം ഗുണിക്കുക.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-9&6\\c&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9&6\\c&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&6\\c&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-12\end{matrix}\right)$$

ഒരു മെട്രിക്‌സിന്‍റെയും അതിന്‍റെ വിപരീതത്തിന്‍റെയും ഗുണനഫലം അനന്യതാ മെട്രിക്‌സ് ആണ്.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&6\\c&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-12\end{matrix}\right)$$

സമചിഹ്നത്തിന് ഇടതുഭാഗത്തുള്ള മെട്രിക്‌സുകൾ ഗുണിക്കുക.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&6\\c&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-12\end{matrix}\right)$$

2\times 2 മെട്രിക്സ് \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) എന്നതിനുള്ള, വിപരീത മെട്രിക്സ് \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ആണ്, അതിനാൽ മെട്രിക്സ് സമവാക്യം ഒരു മെട്രിക്സ് ഗുണന പ്രശ്നമായി മാറ്റിയെഴുതാവുന്നതാണ്.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{-9\times 8-6c}&-\frac{6}{-9\times 8-6c}\\-\frac{c}{-9\times 8-6c}&-\frac{9}{-9\times 8-6c}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-12\end{matrix}\right)$$

ഗണിതം ചെയ്യുക.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{3\left(c+12\right)}&\frac{1}{c+12}\\\frac{c}{6\left(c+12\right)}&\frac{3}{2\left(c+12\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-12\end{matrix}\right)$$

മെട്രീസുകൾ ഗുണിക്കുക.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\left(-\frac{4}{3\left(c+12\right)}\right)\times 13+\frac{1}{c+12}\left(-12\right)\\\frac{c}{6\left(c+12\right)}\times 13+\frac{3}{2\left(c+12\right)}\left(-12\right)\end{matrix}\right)$$

ഗണിതം ചെയ്യുക.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{88}{3\left(c+12\right)}\\\frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}\end{matrix}\right)$$

x, y എന്നീ മെട്രിക്സ് ഘടകാംശങ്ങൾ വേർതിരിച്ചെടുക്കുക.

$$x=-\frac{88}{3\left(c+12\right)},y=\frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}$$

എലിമിനേഷൻ ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഘട്ടങ്ങൾ

എലിമിനേഷൻ ഉപയോഗിച്ച് സോൾവ് ചെയ്യുന്നതിന്, വേരിയബിളുകളിൽ ഒന്നിന്റെ കോഎഫിഷ്യന്റുകൾ ഇരുസമവാക്യങ്ങളിലും ഒന്നുതന്നെയായിരിക്കണം, എന്നാൽ മാത്രമേ ഒരു സമവാക്യം മറ്റൊന്നിൽ നിന്നും വ്യവകലനം ചെയ്യുമ്പോൾ വേരിയബിൾ റദ്ദാക്കപ്പെടുകയുള്ളൂ.

$$-9x+6y=13,cx+8y=-12$$

-9x, cx എന്നിവ തുല്യമാക്കാൻ, ആദ്യ സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലെ എല്ലാ പദങ്ങളെയും c കൊണ്ടും രണ്ടാമത്തേതിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലെ എല്ലാ പദങ്ങളെയും -9 കൊണ്ടും ഗുണിക്കുക.

$$c\left(-9\right)x+c\times 6y=c\times 13,-9cx-9\times 8y=-9\left(-12\right)$$

ലഘൂകരിക്കുക.

$$\left(-9c\right)x+6cy=13c,\left(-9c\right)x-72y=108$$

സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലുമുള്ള ഒരുപോലുള്ള പദങ്ങൾ കുറച്ച് \left(-9c\right)x+6cy=13c എന്നതിൽ നിന്ന് \left(-9c\right)x-72y=108 കുറയ്ക്കുക.

$$\left(-9c\right)x+9cx+6cy+72y=13c-108$$

-9cx, 9cx എന്നതിൽ ചേർക്കുക. -9cx, 9cx എന്നീ പദങ്ങൾ റദ്ദാക്കപ്പെട്ടു, സോൾവ് ചെയ്യാനാകുന്ന ഒരേയൊരു വേരിയബിൾ മാത്രമുള്ള സമവാക്യം നൽകുന്നു.

$$6cy+72y=13c-108$$

6cy, 72y എന്നതിൽ ചേർക്കുക.

$$\left(6c+72\right)y=13c-108$$

ഇരുവശങ്ങളെയും 72+6c കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

$$y=\frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}$$

cx+8y=-12 എന്നതിലെ y എന്നതിനായി \frac{13c-108}{6\left(c+12\right)} സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക. സംജാതമാകുന്ന സമവാക്യത്തിൽ ഒരേയൊരു വേരിയബിൾ മാത്രമുള്ളതിനാൽ, നിങ്ങൾക്ക് x എന്നതിനായി നേരിട്ട് സോൾവ് ചെയ്യാനാകും.

$$cx+8\times \frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}=-12$$

8, \frac{13c-108}{6\left(c+12\right)} എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക.

$$cx+\frac{4\left(13c-108\right)}{3\left(c+12\right)}=-12$$

സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും \frac{4\left(13c-108\right)}{3\left(c+12\right)} കുറയ്ക്കുക.

$$cx=-\frac{88c}{3\left(c+12\right)}$$

ഇരുവശങ്ങളെയും c കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

$$x=-\frac{88}{3\left(c+12\right)}$$

സിസ്റ്റം ഇപ്പോൾ പരിഹരിച്ചു.

$$x=-\frac{88}{3\left(c+12\right)},y=\frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}$$