{l}{-4x+y=29}{5x-11y=32} സോൾവ് ചെയ്യുക

$$\left. \begin{array} { l } { - 4 x + y = 29 } \\ { 5 x - 11 y = 32 } \end{array} \right.$$

x, y എന്നതിനായി സോൾവ് ചെയ്യുക

$$x=-9$$

$$y=-7$$

സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂഷൻ ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഘട്ടങ്ങൾ

വ്യവകലനം ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ജോടി സമവാക്യങ്ങൾ സോൾവ് ചെയ്യാൻ, ആദ്യം വേരിയബിളുകളിൽ ഒന്നിനായി സമവാക്യങ്ങളിലൊന്ന് സോൾവ് ചെയ്യുക. തുടർന്ന്, രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിലെ ആ വേരിയബിളിനുള്ള ഫലം സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക.

$$-4x+y=29,5x-11y=32$$

സമവാക്യങ്ങളിലൊന്ന് നോക്കിയെടുത്ത്, സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇടതുഭാഗത്തുള്ള x മാറ്റിനിർത്തിക്കൊണ്ട് x എന്നതിനായി അത് സോൾവ് ചെയ്യുക.

$$-4x+y=29$$

സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും y കുറയ്ക്കുക.

$$-4x=-y+29$$

ഇരുവശങ്ങളെയും -4 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

$$x=-\frac{1}{4}\left(-y+29\right)$$

-\frac{1}{4}, -y+29 എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക.

$$x=\frac{1}{4}y-\frac{29}{4}$$

5x-11y=32 എന്ന മറ്റ് സമവാക്യങ്ങളിൽ x എന്നതിനായി \frac{-29+y}{4} സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക.

$$5\left(\frac{1}{4}y-\frac{29}{4}\right)-11y=32$$

5, \frac{-29+y}{4} എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക.

$$\frac{5}{4}y-\frac{145}{4}-11y=32$$

\frac{5y}{4}, -11y എന്നതിൽ ചേർക്കുക.

$$-\frac{39}{4}y-\frac{145}{4}=32$$

സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലും \frac{145}{4} ചേർക്കുക.

$$-\frac{39}{4}y=\frac{273}{4}$$

-\frac{39}{4} കൊണ്ട് സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളെയും ഹരിക്കുക, ഇത് അംശത്തിന്‍റെ പരസ്പരപൂരകത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളെയും ഗുണിക്കുന്നതിന് തുല്യമാണ്.

$$y=-7$$

x=\frac{1}{4}y-\frac{29}{4} എന്നതിലെ y എന്നതിനായി -7 സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക. സംജാതമാകുന്ന സമവാക്യത്തിൽ ഒരേയൊരു വേരിയബിൾ മാത്രമുള്ളതിനാൽ, നിങ്ങൾക്ക് x എന്നതിനായി നേരിട്ട് സോൾവ് ചെയ്യാനാകും.

$$x=\frac{1}{4}\left(-7\right)-\frac{29}{4}$$

\frac{1}{4}, -7 എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക.

$$x=\frac{-7-29}{4}$$

ഒരു പൊതുവായ ഭിന്നസംഖ്യാഛേദം കണ്ടെത്തി ന്യൂമറേറ്ററുകൾ ചേർക്കാൻ -\frac{29}{4} എന്നത് -\frac{7}{4} എന്നതിൽ ചേർക്കുക. തുടർന്ന്, സാധ്യമായത്രയും കുറഞ്ഞ പദങ്ങളിലേക്ക് അംശം കുറയ്ക്കുക.

$$x=-9$$

സിസ്റ്റം ഇപ്പോൾ പരിഹരിച്ചു.

$$x=-9,y=-7$$

മെട്രീസുകൾ ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഘട്ടങ്ങൾ

സമവാക്യങ്ങൾ സാധാരണ രൂപത്തിൽ നൽകിയ ശേഷം സമവാക്യ ഘടന സോൾവ് ചെയ്യാനുള്ള മെട്രീസുകൾ ഉപയോഗിക്കുക.

$$-4x+y=29,5x-11y=32$$

സമവാക്യങ്ങൾ മെട്രിക്സ് രൂപത്തിൽ എഴുതുക.

$$\left(\begin{matrix}-4&1\\5&-11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}29\\32\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-4&1\\5&-11\end{matrix}\right) എന്നതിന്‍റെ വിപരീത മെട്രിക്‌സ് കൊണ്ട് സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇടതുഭാഗം ഗുണിക്കുക.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-4&1\\5&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4&1\\5&-11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&1\\5&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}29\\32\end{matrix}\right)$$

ഒരു മെട്രിക്‌സിന്‍റെയും അതിന്‍റെ വിപരീതത്തിന്‍റെയും ഗുണനഫലം അനന്യതാ മെട്രിക്‌സ് ആണ്.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&1\\5&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}29\\32\end{matrix}\right)$$

സമചിഹ്നത്തിന് ഇടതുഭാഗത്തുള്ള മെട്രിക്‌സുകൾ ഗുണിക്കുക.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&1\\5&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}29\\32\end{matrix}\right)$$

2\times 2 മെട്രിക്സ് \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) എന്നതിനുള്ള, വിപരീത മെട്രിക്സ് \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ആണ്, അതിനാൽ മെട്രിക്സ് സമവാക്യം ഒരു മെട്രിക്സ് ഗുണന പ്രശ്നമായി മാറ്റിയെഴുതാവുന്നതാണ്.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{-4\left(-11\right)-5}&-\frac{1}{-4\left(-11\right)-5}\\-\frac{5}{-4\left(-11\right)-5}&-\frac{4}{-4\left(-11\right)-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}29\\32\end{matrix}\right)$$

ഗണിതം ചെയ്യുക.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{39}&-\frac{1}{39}\\-\frac{5}{39}&-\frac{4}{39}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}29\\32\end{matrix}\right)$$

മെട്രീസുകൾ ഗുണിക്കുക.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{39}\times 29-\frac{1}{39}\times 32\\-\frac{5}{39}\times 29-\frac{4}{39}\times 32\end{matrix}\right)$$

ഗണിതം ചെയ്യുക.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\-7\end{matrix}\right)$$

x, y എന്നീ മെട്രിക്സ് ഘടകാംശങ്ങൾ വേർതിരിച്ചെടുക്കുക.

$$x=-9,y=-7$$

എലിമിനേഷൻ ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഘട്ടങ്ങൾ

എലിമിനേഷൻ ഉപയോഗിച്ച് സോൾവ് ചെയ്യുന്നതിന്, വേരിയബിളുകളിൽ ഒന്നിന്റെ കോഎഫിഷ്യന്റുകൾ ഇരുസമവാക്യങ്ങളിലും ഒന്നുതന്നെയായിരിക്കണം, എന്നാൽ മാത്രമേ ഒരു സമവാക്യം മറ്റൊന്നിൽ നിന്നും വ്യവകലനം ചെയ്യുമ്പോൾ വേരിയബിൾ റദ്ദാക്കപ്പെടുകയുള്ളൂ.

$$-4x+y=29,5x-11y=32$$

-4x, 5x എന്നിവ തുല്യമാക്കാൻ, ആദ്യ സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലെ എല്ലാ പദങ്ങളെയും 5 കൊണ്ടും രണ്ടാമത്തേതിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലെ എല്ലാ പദങ്ങളെയും -4 കൊണ്ടും ഗുണിക്കുക.

$$5\left(-4\right)x+5y=5\times 29,-4\times 5x-4\left(-11\right)y=-4\times 32$$

ലഘൂകരിക്കുക.

$$-20x+5y=145,-20x+44y=-128$$

സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലുമുള്ള ഒരുപോലുള്ള പദങ്ങൾ കുറച്ച് -20x+5y=145 എന്നതിൽ നിന്ന് -20x+44y=-128 കുറയ്ക്കുക.

$$-20x+20x+5y-44y=145+128$$

-20x, 20x എന്നതിൽ ചേർക്കുക. -20x, 20x എന്നീ പദങ്ങൾ റദ്ദാക്കപ്പെട്ടു, സോൾവ് ചെയ്യാനാകുന്ന ഒരേയൊരു വേരിയബിൾ മാത്രമുള്ള സമവാക്യം നൽകുന്നു.

$$5y-44y=145+128$$

5y, -44y എന്നതിൽ ചേർക്കുക.

$$-39y=145+128$$

145, 128 എന്നതിൽ ചേർക്കുക.

$$-39y=273$$

ഇരുവശങ്ങളെയും -39 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

$$y=-7$$

5x-11y=32 എന്നതിലെ y എന്നതിനായി -7 സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക. സംജാതമാകുന്ന സമവാക്യത്തിൽ ഒരേയൊരു വേരിയബിൾ മാത്രമുള്ളതിനാൽ, നിങ്ങൾക്ക് x എന്നതിനായി നേരിട്ട് സോൾവ് ചെയ്യാനാകും.

$$5x-11\left(-7\right)=32$$

-11, -7 എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക.

$$5x+77=32$$

സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും 77 കുറയ്ക്കുക.

$$5x=-45$$

ഇരുവശങ്ങളെയും 5 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

$$x=-9$$

സിസ്റ്റം ഇപ്പോൾ പരിഹരിച്ചു.

$$x=-9,y=-7$$