{l}{-3x-y=2x-1}{-3(2x+5y)=x+y-30} സോൾവ് ചെയ്യുക

$$\left. \begin{array} { l } { - 3 x - y = 2 x - 1 } \\ { - 3 ( 2 x + 5 y ) = x + y - 30 } \end{array} \right.$$

x, y എന്നതിനായി സോൾവ് ചെയ്യുക

$$x=-\frac{14}{73}\approx -0.191780822$$

$$y = \frac{143}{73} = 1\frac{70}{73} \approx 1.95890411$$

സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂഷൻ ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഘട്ടങ്ങൾ

ആദ്യ സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക. ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും 2x കുറയ്ക്കുക.

$$-3x-y-2x=-1$$

-5x നേടാൻ -3x, -2x എന്നിവ യോജിപ്പിക്കുക.

$$-5x-y=-1$$

രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക. 2x+5y കൊണ്ട് -3 ഗുണിക്കാൻ ഡിസ്ട്രിബ്യൂട്ടീവ് ഗുണവിശേഷത ഉപയോഗിക്കുക.

$$-6x-15y=x+y-30$$

ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും x കുറയ്ക്കുക.

$$-6x-15y-x=y-30$$

-7x നേടാൻ -6x, -x എന്നിവ യോജിപ്പിക്കുക.

$$-7x-15y=y-30$$

ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും y കുറയ്ക്കുക.

$$-7x-15y-y=-30$$

-16y നേടാൻ -15y, -y എന്നിവ യോജിപ്പിക്കുക.

$$-7x-16y=-30$$

വ്യവകലനം ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ജോടി സമവാക്യങ്ങൾ സോൾവ് ചെയ്യാൻ, ആദ്യം വേരിയബിളുകളിൽ ഒന്നിനായി സമവാക്യങ്ങളിലൊന്ന് സോൾവ് ചെയ്യുക. തുടർന്ന്, രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിലെ ആ വേരിയബിളിനുള്ള ഫലം സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക.

$$-5x-y=-1,-7x-16y=-30$$

സമവാക്യങ്ങളിലൊന്ന് നോക്കിയെടുത്ത്, സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇടതുഭാഗത്തുള്ള x മാറ്റിനിർത്തിക്കൊണ്ട് x എന്നതിനായി അത് സോൾവ് ചെയ്യുക.

$$-5x-y=-1$$

സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലും y ചേർക്കുക.

$$-5x=y-1$$

ഇരുവശങ്ങളെയും -5 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

$$x=-\frac{1}{5}\left(y-1\right)$$

-\frac{1}{5}, y-1 എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക.

$$x=-\frac{1}{5}y+\frac{1}{5}$$

-7x-16y=-30 എന്ന മറ്റ് സമവാക്യങ്ങളിൽ x എന്നതിനായി \frac{-y+1}{5} സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക.

$$-7\left(-\frac{1}{5}y+\frac{1}{5}\right)-16y=-30$$

-7, \frac{-y+1}{5} എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക.

$$\frac{7}{5}y-\frac{7}{5}-16y=-30$$

\frac{7y}{5}, -16y എന്നതിൽ ചേർക്കുക.

$$-\frac{73}{5}y-\frac{7}{5}=-30$$

സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലും \frac{7}{5} ചേർക്കുക.

$$-\frac{73}{5}y=-\frac{143}{5}$$

-\frac{73}{5} കൊണ്ട് സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളെയും ഹരിക്കുക, ഇത് അംശത്തിന്‍റെ പരസ്പരപൂരകത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളെയും ഗുണിക്കുന്നതിന് തുല്യമാണ്.

$$y=\frac{143}{73}$$

x=-\frac{1}{5}y+\frac{1}{5} എന്നതിലെ y എന്നതിനായി \frac{143}{73} സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക. സംജാതമാകുന്ന സമവാക്യത്തിൽ ഒരേയൊരു വേരിയബിൾ മാത്രമുള്ളതിനാൽ, നിങ്ങൾക്ക് x എന്നതിനായി നേരിട്ട് സോൾവ് ചെയ്യാനാകും.

$$x=-\frac{1}{5}\times \frac{143}{73}+\frac{1}{5}$$

ന്യൂമറേറ്റർ കൊണ്ട് ന്യൂമറേറ്ററിനെയും ഭിന്നസംഖ്യാഛേദി കൊണ്ട് ഭിന്നസംഖ്യാഛേദിയേയും ഗുണിച്ചുകൊണ്ട് -\frac{1}{5}, \frac{143}{73} എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക. തുടർന്ന്, സാധ്യമായത്രയും കുറഞ്ഞ പദങ്ങളിലേക്ക് അംശം കുറയ്ക്കുക.

$$x=-\frac{143}{365}+\frac{1}{5}$$

ഒരു പൊതുവായ ഭിന്നസംഖ്യാഛേദം കണ്ടെത്തി ന്യൂമറേറ്ററുകൾ ചേർക്കാൻ \frac{1}{5} എന്നത് -\frac{143}{365} എന്നതിൽ ചേർക്കുക. തുടർന്ന്, സാധ്യമായത്രയും കുറഞ്ഞ പദങ്ങളിലേക്ക് അംശം കുറയ്ക്കുക.

$$x=-\frac{14}{73}$$

സിസ്റ്റം ഇപ്പോൾ പരിഹരിച്ചു.

$$x=-\frac{14}{73},y=\frac{143}{73}$$

മെട്രീസുകൾ ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഘട്ടങ്ങൾ

ആദ്യ സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക. ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും 2x കുറയ്ക്കുക.

$$-3x-y-2x=-1$$

-5x നേടാൻ -3x, -2x എന്നിവ യോജിപ്പിക്കുക.

$$-5x-y=-1$$

രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക. 2x+5y കൊണ്ട് -3 ഗുണിക്കാൻ ഡിസ്ട്രിബ്യൂട്ടീവ് ഗുണവിശേഷത ഉപയോഗിക്കുക.

$$-6x-15y=x+y-30$$

ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും x കുറയ്ക്കുക.

$$-6x-15y-x=y-30$$

-7x നേടാൻ -6x, -x എന്നിവ യോജിപ്പിക്കുക.

$$-7x-15y=y-30$$

ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും y കുറയ്ക്കുക.

$$-7x-15y-y=-30$$

-16y നേടാൻ -15y, -y എന്നിവ യോജിപ്പിക്കുക.

$$-7x-16y=-30$$

സമവാക്യങ്ങൾ സാധാരണ രൂപത്തിൽ നൽകിയ ശേഷം സമവാക്യ ഘടന സോൾവ് ചെയ്യാനുള്ള മെട്രീസുകൾ ഉപയോഗിക്കുക.

$$-5x-y=-1,-7x-16y=-30$$

സമവാക്യങ്ങൾ മെട്രിക്സ് രൂപത്തിൽ എഴുതുക.

$$\left(\begin{matrix}-5&-1\\-7&-16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-30\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-5&-1\\-7&-16\end{matrix}\right) എന്നതിന്‍റെ വിപരീത മെട്രിക്‌സ് കൊണ്ട് സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇടതുഭാഗം ഗുണിക്കുക.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&-1\\-7&-16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&-1\\-7&-16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-1\\-7&-16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-30\end{matrix}\right)$$

ഒരു മെട്രിക്‌സിന്‍റെയും അതിന്‍റെ വിപരീതത്തിന്‍റെയും ഗുണനഫലം അനന്യതാ മെട്രിക്‌സ് ആണ്.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-1\\-7&-16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-30\end{matrix}\right)$$

സമചിഹ്നത്തിന് ഇടതുഭാഗത്തുള്ള മെട്രിക്‌സുകൾ ഗുണിക്കുക.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-1\\-7&-16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-30\end{matrix}\right)$$

2\times 2 മെട്രിക്സ് \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) എന്നതിനുള്ള, വിപരീത മെട്രിക്സ് \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ആണ്, അതിനാൽ മെട്രിക്സ് സമവാക്യം ഒരു മെട്രിക്സ് ഗുണന പ്രശ്നമായി മാറ്റിയെഴുതാവുന്നതാണ്.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{16}{-5\left(-16\right)-\left(-\left(-7\right)\right)}&-\frac{-1}{-5\left(-16\right)-\left(-\left(-7\right)\right)}\\-\frac{-7}{-5\left(-16\right)-\left(-\left(-7\right)\right)}&-\frac{5}{-5\left(-16\right)-\left(-\left(-7\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-30\end{matrix}\right)$$

ഗണിതം ചെയ്യുക.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{16}{73}&\frac{1}{73}\\\frac{7}{73}&-\frac{5}{73}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-30\end{matrix}\right)$$

മെട്രീസുകൾ ഗുണിക്കുക.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{16}{73}\left(-1\right)+\frac{1}{73}\left(-30\right)\\\frac{7}{73}\left(-1\right)-\frac{5}{73}\left(-30\right)\end{matrix}\right)$$

ഗണിതം ചെയ്യുക.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{14}{73}\\\frac{143}{73}\end{matrix}\right)$$

x, y എന്നീ മെട്രിക്സ് ഘടകാംശങ്ങൾ വേർതിരിച്ചെടുക്കുക.

$$x=-\frac{14}{73},y=\frac{143}{73}$$

എലിമിനേഷൻ ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഘട്ടങ്ങൾ

ആദ്യ സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക. ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും 2x കുറയ്ക്കുക.

$$-3x-y-2x=-1$$

-5x നേടാൻ -3x, -2x എന്നിവ യോജിപ്പിക്കുക.

$$-5x-y=-1$$

രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക. 2x+5y കൊണ്ട് -3 ഗുണിക്കാൻ ഡിസ്ട്രിബ്യൂട്ടീവ് ഗുണവിശേഷത ഉപയോഗിക്കുക.

$$-6x-15y=x+y-30$$

ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും x കുറയ്ക്കുക.

$$-6x-15y-x=y-30$$

-7x നേടാൻ -6x, -x എന്നിവ യോജിപ്പിക്കുക.

$$-7x-15y=y-30$$

ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും y കുറയ്ക്കുക.

$$-7x-15y-y=-30$$

-16y നേടാൻ -15y, -y എന്നിവ യോജിപ്പിക്കുക.

$$-7x-16y=-30$$

എലിമിനേഷൻ ഉപയോഗിച്ച് സോൾവ് ചെയ്യുന്നതിന്, വേരിയബിളുകളിൽ ഒന്നിന്റെ കോഎഫിഷ്യന്റുകൾ ഇരുസമവാക്യങ്ങളിലും ഒന്നുതന്നെയായിരിക്കണം, എന്നാൽ മാത്രമേ ഒരു സമവാക്യം മറ്റൊന്നിൽ നിന്നും വ്യവകലനം ചെയ്യുമ്പോൾ വേരിയബിൾ റദ്ദാക്കപ്പെടുകയുള്ളൂ.

$$-5x-y=-1,-7x-16y=-30$$

-5x, -7x എന്നിവ തുല്യമാക്കാൻ, ആദ്യ സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലെ എല്ലാ പദങ്ങളെയും -7 കൊണ്ടും രണ്ടാമത്തേതിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലെ എല്ലാ പദങ്ങളെയും -5 കൊണ്ടും ഗുണിക്കുക.

$$-7\left(-5\right)x-7\left(-1\right)y=-7\left(-1\right),-5\left(-7\right)x-5\left(-16\right)y=-5\left(-30\right)$$

ലഘൂകരിക്കുക.

$$35x+7y=7,35x+80y=150$$

സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലുമുള്ള ഒരുപോലുള്ള പദങ്ങൾ കുറച്ച് 35x+7y=7 എന്നതിൽ നിന്ന് 35x+80y=150 കുറയ്ക്കുക.

$$35x-35x+7y-80y=7-150$$

35x, -35x എന്നതിൽ ചേർക്കുക. 35x, -35x എന്നീ പദങ്ങൾ റദ്ദാക്കപ്പെട്ടു, സോൾവ് ചെയ്യാനാകുന്ന ഒരേയൊരു വേരിയബിൾ മാത്രമുള്ള സമവാക്യം നൽകുന്നു.

$$7y-80y=7-150$$

7y, -80y എന്നതിൽ ചേർക്കുക.

$$-73y=7-150$$

7, -150 എന്നതിൽ ചേർക്കുക.

$$-73y=-143$$

ഇരുവശങ്ങളെയും -73 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

$$y=\frac{143}{73}$$

-7x-16y=-30 എന്നതിലെ y എന്നതിനായി \frac{143}{73} സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക. സംജാതമാകുന്ന സമവാക്യത്തിൽ ഒരേയൊരു വേരിയബിൾ മാത്രമുള്ളതിനാൽ, നിങ്ങൾക്ക് x എന്നതിനായി നേരിട്ട് സോൾവ് ചെയ്യാനാകും.

$$-7x-16\times \frac{143}{73}=-30$$

-16, \frac{143}{73} എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക.

$$-7x-\frac{2288}{73}=-30$$

സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലും \frac{2288}{73} ചേർക്കുക.

$$-7x=\frac{98}{73}$$

ഇരുവശങ്ങളെയും -7 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

$$x=-\frac{14}{73}$$

സിസ്റ്റം ഇപ്പോൾ പരിഹരിച്ചു.

$$x=-\frac{14}{73},y=\frac{143}{73}$$