{l}{text{(4)}(acosalpha,2acosalpha)}{text{f}y+b=m_{1}(x+a)text{and}y+b=m_{2}(x+a)text{are}}{text{wotangentstotheparabola}y^2=4ax,text{then}}{{llll}{text{(1)}m_{1}+m_{2}=0}&{text{(2)}m_{1}m_{2}=1}} സോൾവ് ചെയ്യുക

$$\left. \begin{array} { l } { \text { (4) } ( a \cos \alpha , 2 a \cos \alpha ) } \\ { \text { f } y + b = m _ { 1 } ( x + a ) \text { and } y + b = m _ { 2 } ( x + a ) \text { are } } \\ { \text { wo tangents to the parabola } y ^ { 2 } = 4 a x , \text { then } } \\ { \left. \begin{array} { l l l l } { \text { (1) } m _ { 1 } + m _ { 2 } = 0 } & { \text { (2) } m _ { 1 } m _ { 2 } = 1 } \end{array} \right. } \end{array} \right.$$

x, y എന്നതിനായി സോൾവ് ചെയ്യുക (സങ്കീർണ്ണ സൊല്യൂഷൻ)

$$\left\{\begin{matrix}\\x=-a\text{, }y=-b\text{, }&\text{unconditionally}\\x\in \mathrm{C}\text{, }y=-b\text{, }&m_{2}=0\text{ and }m_{1}=0\\x=\frac{y-am_{2}+b}{m_{2}}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&m_{2}\neq 0\text{ and }m_{1}=m_{2}\end{matrix}\right.$$

സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂഷൻ ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഘട്ടങ്ങൾ

ആദ്യ സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക. x+a കൊണ്ട് m_{1} ഗുണിക്കാൻ ഡിസ്ട്രിബ്യൂട്ടീവ് ഗുണവിശേഷത ഉപയോഗിക്കുക.

$$y+b=m_{1}x+m_{1}a$$

ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും m_{1}x കുറയ്ക്കുക.

$$y+b-m_{1}x=m_{1}a$$

ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും b കുറയ്ക്കുക.

$$y-m_{1}x=m_{1}a-b$$

രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക. x+a കൊണ്ട് m_{2} ഗുണിക്കാൻ ഡിസ്ട്രിബ്യൂട്ടീവ് ഗുണവിശേഷത ഉപയോഗിക്കുക.

$$y+b=m_{2}x+m_{2}a$$

ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും m_{2}x കുറയ്ക്കുക.

$$y+b-m_{2}x=m_{2}a$$

ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും b കുറയ്ക്കുക.

$$y-m_{2}x=m_{2}a-b$$

വ്യവകലനം ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ജോടി സമവാക്യങ്ങൾ സോൾവ് ചെയ്യാൻ, ആദ്യം വേരിയബിളുകളിൽ ഒന്നിനായി സമവാക്യങ്ങളിലൊന്ന് സോൾവ് ചെയ്യുക. തുടർന്ന്, രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിലെ ആ വേരിയബിളിനുള്ള ഫലം സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക.

$$y+\left(-m_{1}\right)x=am_{1}-b,y+\left(-m_{2}\right)x=am_{2}-b$$

സമവാക്യങ്ങളിലൊന്ന് നോക്കിയെടുത്ത്, സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇടതുഭാഗത്തുള്ള y മാറ്റിനിർത്തിക്കൊണ്ട് y എന്നതിനായി അത് സോൾവ് ചെയ്യുക.

$$y+\left(-m_{1}\right)x=am_{1}-b$$

സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലും m_{1}x ചേർക്കുക.

$$y=m_{1}x+am_{1}-b$$

y+\left(-m_{2}\right)x=am_{2}-b എന്ന മറ്റ് സമവാക്യങ്ങളിൽ y എന്നതിനായി m_{1}x+am_{1}-b സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക.

$$m_{1}x+am_{1}-b+\left(-m_{2}\right)x=am_{2}-b$$

m_{1}x, -m_{2}x എന്നതിൽ ചേർക്കുക.

$$\left(m_{1}-m_{2}\right)x+am_{1}-b=am_{2}-b$$

സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും am_{1}-b കുറയ്ക്കുക.

$$\left(m_{1}-m_{2}\right)x=a\left(m_{2}-m_{1}\right)$$

ഇരുവശങ്ങളെയും m_{1}-m_{2} കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

$$x=-a$$

y=m_{1}x+am_{1}-b എന്നതിലെ x എന്നതിനായി -a സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക. സംജാതമാകുന്ന സമവാക്യത്തിൽ ഒരേയൊരു വേരിയബിൾ മാത്രമുള്ളതിനാൽ, നിങ്ങൾക്ക് y എന്നതിനായി നേരിട്ട് സോൾവ് ചെയ്യാനാകും.

$$y=m_{1}\left(-a\right)+am_{1}-b$$

m_{1}, -a എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക.

$$y=-am_{1}+am_{1}-b$$

am_{1}-b, -m_{1}a എന്നതിൽ ചേർക്കുക.

$$y=-b$$

സിസ്റ്റം ഇപ്പോൾ പരിഹരിച്ചു.

$$y=-b,x=-a$$

മെട്രീസുകൾ ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഘട്ടങ്ങൾ

ആദ്യ സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക. x+a കൊണ്ട് m_{1} ഗുണിക്കാൻ ഡിസ്ട്രിബ്യൂട്ടീവ് ഗുണവിശേഷത ഉപയോഗിക്കുക.

$$y+b=m_{1}x+m_{1}a$$

ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും m_{1}x കുറയ്ക്കുക.

$$y+b-m_{1}x=m_{1}a$$

ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും b കുറയ്ക്കുക.

$$y-m_{1}x=m_{1}a-b$$

രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക. x+a കൊണ്ട് m_{2} ഗുണിക്കാൻ ഡിസ്ട്രിബ്യൂട്ടീവ് ഗുണവിശേഷത ഉപയോഗിക്കുക.

$$y+b=m_{2}x+m_{2}a$$

ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും m_{2}x കുറയ്ക്കുക.

$$y+b-m_{2}x=m_{2}a$$

ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും b കുറയ്ക്കുക.

$$y-m_{2}x=m_{2}a-b$$

സമവാക്യങ്ങൾ സാധാരണ രൂപത്തിൽ നൽകിയ ശേഷം സമവാക്യ ഘടന സോൾവ് ചെയ്യാനുള്ള മെട്രീസുകൾ ഉപയോഗിക്കുക.

$$y+\left(-m_{1}\right)x=am_{1}-b,y+\left(-m_{2}\right)x=am_{2}-b$$

സമവാക്യങ്ങൾ മെട്രിക്സ് രൂപത്തിൽ എഴുതുക.

$$\left(\begin{matrix}1&-m_{1}\\1&-m_{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}am_{1}-b\\am_{2}-b\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-m_{1}\\1&-m_{2}\end{matrix}\right) എന്നതിന്‍റെ വിപരീത മെട്രിക്‌സ് കൊണ്ട് സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇടതുഭാഗം ഗുണിക്കുക.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-m_{1}\\1&-m_{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-m_{1}\\1&-m_{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-m_{1}\\1&-m_{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}am_{1}-b\\am_{2}-b\end{matrix}\right)$$

ഒരു മെട്രിക്‌സിന്‍റെയും അതിന്‍റെ വിപരീതത്തിന്‍റെയും ഗുണനഫലം അനന്യതാ മെട്രിക്‌സ് ആണ്.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-m_{1}\\1&-m_{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}am_{1}-b\\am_{2}-b\end{matrix}\right)$$

സമചിഹ്നത്തിന് ഇടതുഭാഗത്തുള്ള മെട്രിക്‌സുകൾ ഗുണിക്കുക.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-m_{1}\\1&-m_{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}am_{1}-b\\am_{2}-b\end{matrix}\right)$$

2\times 2 മെട്രിക്സ് \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) എന്നതിനുള്ള, വിപരീത മെട്രിക്സ് \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ആണ്, അതിനാൽ മെട്രിക്സ് സമവാക്യം ഒരു മെട്രിക്സ് ഗുണന പ്രശ്നമായി മാറ്റിയെഴുതാവുന്നതാണ്.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{m_{2}}{-m_{2}-\left(-m_{1}\right)}&-\frac{-m_{1}}{-m_{2}-\left(-m_{1}\right)}\\-\frac{1}{-m_{2}-\left(-m_{1}\right)}&\frac{1}{-m_{2}-\left(-m_{1}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}am_{1}-b\\am_{2}-b\end{matrix}\right)$$

ഗണിതം ചെയ്യുക.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{m_{2}}{m_{1}-m_{2}}&\frac{m_{1}}{m_{1}-m_{2}}\\-\frac{1}{m_{1}-m_{2}}&\frac{1}{m_{1}-m_{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}am_{1}-b\\am_{2}-b\end{matrix}\right)$$

മെട്രീസുകൾ ഗുണിക്കുക.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\left(-\frac{m_{2}}{m_{1}-m_{2}}\right)\left(am_{1}-b\right)+\frac{m_{1}}{m_{1}-m_{2}}\left(am_{2}-b\right)\\\left(-\frac{1}{m_{1}-m_{2}}\right)\left(am_{1}-b\right)+\frac{1}{m_{1}-m_{2}}\left(am_{2}-b\right)\end{matrix}\right)$$

ഗണിതം ചെയ്യുക.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-b\\-a\end{matrix}\right)$$

y, x എന്നീ മെട്രിക്സ് ഘടകാംശങ്ങൾ വേർതിരിച്ചെടുക്കുക.

$$y=-b,x=-a$$

എലിമിനേഷൻ ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഘട്ടങ്ങൾ

ആദ്യ സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക. x+a കൊണ്ട് m_{1} ഗുണിക്കാൻ ഡിസ്ട്രിബ്യൂട്ടീവ് ഗുണവിശേഷത ഉപയോഗിക്കുക.

$$y+b=m_{1}x+m_{1}a$$

ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും m_{1}x കുറയ്ക്കുക.

$$y+b-m_{1}x=m_{1}a$$

ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും b കുറയ്ക്കുക.

$$y-m_{1}x=m_{1}a-b$$

രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക. x+a കൊണ്ട് m_{2} ഗുണിക്കാൻ ഡിസ്ട്രിബ്യൂട്ടീവ് ഗുണവിശേഷത ഉപയോഗിക്കുക.

$$y+b=m_{2}x+m_{2}a$$

ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും m_{2}x കുറയ്ക്കുക.

$$y+b-m_{2}x=m_{2}a$$

ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും b കുറയ്ക്കുക.

$$y-m_{2}x=m_{2}a-b$$

എലിമിനേഷൻ ഉപയോഗിച്ച് സോൾവ് ചെയ്യുന്നതിന്, വേരിയബിളുകളിൽ ഒന്നിന്റെ കോഎഫിഷ്യന്റുകൾ ഇരുസമവാക്യങ്ങളിലും ഒന്നുതന്നെയായിരിക്കണം, എന്നാൽ മാത്രമേ ഒരു സമവാക്യം മറ്റൊന്നിൽ നിന്നും വ്യവകലനം ചെയ്യുമ്പോൾ വേരിയബിൾ റദ്ദാക്കപ്പെടുകയുള്ളൂ.

$$y+\left(-m_{1}\right)x=am_{1}-b,y+\left(-m_{2}\right)x=am_{2}-b$$

സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലുമുള്ള ഒരുപോലുള്ള പദങ്ങൾ കുറച്ച് y+\left(-m_{1}\right)x=am_{1}-b എന്നതിൽ നിന്ന് y+\left(-m_{2}\right)x=am_{2}-b കുറയ്ക്കുക.

$$y-y+\left(-m_{1}\right)x+m_{2}x=am_{1}-b+b-am_{2}$$

y, -y എന്നതിൽ ചേർക്കുക. y, -y എന്നീ പദങ്ങൾ റദ്ദാക്കപ്പെട്ടു, സോൾവ് ചെയ്യാനാകുന്ന ഒരേയൊരു വേരിയബിൾ മാത്രമുള്ള സമവാക്യം നൽകുന്നു.

$$\left(-m_{1}\right)x+m_{2}x=am_{1}-b+b-am_{2}$$

-m_{1}x, m_{2}x എന്നതിൽ ചേർക്കുക.

$$\left(m_{2}-m_{1}\right)x=am_{1}-b+b-am_{2}$$

am_{1}-b, -m_{2}a+b എന്നതിൽ ചേർക്കുക.

$$\left(m_{2}-m_{1}\right)x=a\left(m_{1}-m_{2}\right)$$

ഇരുവശങ്ങളെയും -m_{1}+m_{2} കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

$$x=-a$$

y+\left(-m_{2}\right)x=am_{2}-b എന്നതിലെ x എന്നതിനായി -a സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക. സംജാതമാകുന്ന സമവാക്യത്തിൽ ഒരേയൊരു വേരിയബിൾ മാത്രമുള്ളതിനാൽ, നിങ്ങൾക്ക് y എന്നതിനായി നേരിട്ട് സോൾവ് ചെയ്യാനാകും.

$$y+\left(-m_{2}\right)\left(-a\right)=am_{2}-b$$

-m_{2}, -a എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക.

$$y+am_{2}=am_{2}-b$$

സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും m_{2}a കുറയ്ക്കുക.

$$y=-b$$

സിസ്റ്റം ഇപ്പോൾ പരിഹരിച്ചു.

$$y=-b,x=-a$$

x, y എന്നതിനായി സോൾവ് ചെയ്യുക

$$\left\{\begin{matrix}\\x=-a\text{, }y=-b\text{, }&\text{unconditionally}\\x\in \mathrm{R}\text{, }y=-b\text{, }&m_{2}=0\text{ and }m_{1}=0\\x=\frac{y-am_{2}+b}{m_{2}}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&m_{2}\neq 0\text{ and }m_{1}=m_{2}\end{matrix}\right.$$

സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂഷൻ ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഘട്ടങ്ങൾ

ആദ്യ സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക. x+a കൊണ്ട് m_{1} ഗുണിക്കാൻ ഡിസ്ട്രിബ്യൂട്ടീവ് ഗുണവിശേഷത ഉപയോഗിക്കുക.

$$y+b=m_{1}x+m_{1}a$$

ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും m_{1}x കുറയ്ക്കുക.

$$y+b-m_{1}x=m_{1}a$$

ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും b കുറയ്ക്കുക.

$$y-m_{1}x=m_{1}a-b$$

രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക. x+a കൊണ്ട് m_{2} ഗുണിക്കാൻ ഡിസ്ട്രിബ്യൂട്ടീവ് ഗുണവിശേഷത ഉപയോഗിക്കുക.

$$y+b=m_{2}x+m_{2}a$$

ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും m_{2}x കുറയ്ക്കുക.

$$y+b-m_{2}x=m_{2}a$$

ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും b കുറയ്ക്കുക.

$$y-m_{2}x=m_{2}a-b$$

വ്യവകലനം ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ജോടി സമവാക്യങ്ങൾ സോൾവ് ചെയ്യാൻ, ആദ്യം വേരിയബിളുകളിൽ ഒന്നിനായി സമവാക്യങ്ങളിലൊന്ന് സോൾവ് ചെയ്യുക. തുടർന്ന്, രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിലെ ആ വേരിയബിളിനുള്ള ഫലം സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക.

$$y+\left(-m_{1}\right)x=am_{1}-b,y+\left(-m_{2}\right)x=am_{2}-b$$

സമവാക്യങ്ങളിലൊന്ന് നോക്കിയെടുത്ത്, സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇടതുഭാഗത്തുള്ള y മാറ്റിനിർത്തിക്കൊണ്ട് y എന്നതിനായി അത് സോൾവ് ചെയ്യുക.

$$y+\left(-m_{1}\right)x=am_{1}-b$$

സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലും m_{1}x ചേർക്കുക.

$$y=m_{1}x+am_{1}-b$$

y+\left(-m_{2}\right)x=am_{2}-b എന്ന മറ്റ് സമവാക്യങ്ങളിൽ y എന്നതിനായി m_{1}x+am_{1}-b സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക.

$$m_{1}x+am_{1}-b+\left(-m_{2}\right)x=am_{2}-b$$

m_{1}x, -m_{2}x എന്നതിൽ ചേർക്കുക.

$$\left(m_{1}-m_{2}\right)x+am_{1}-b=am_{2}-b$$

സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും am_{1}-b കുറയ്ക്കുക.

$$\left(m_{1}-m_{2}\right)x=a\left(m_{2}-m_{1}\right)$$

ഇരുവശങ്ങളെയും m_{1}-m_{2} കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

$$x=-a$$

y=m_{1}x+am_{1}-b എന്നതിലെ x എന്നതിനായി -a സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക. സംജാതമാകുന്ന സമവാക്യത്തിൽ ഒരേയൊരു വേരിയബിൾ മാത്രമുള്ളതിനാൽ, നിങ്ങൾക്ക് y എന്നതിനായി നേരിട്ട് സോൾവ് ചെയ്യാനാകും.

$$y=m_{1}\left(-a\right)+am_{1}-b$$

m_{1}, -a എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക.

$$y=-am_{1}+am_{1}-b$$

am_{1}-b, -m_{1}a എന്നതിൽ ചേർക്കുക.

$$y=-b$$

സിസ്റ്റം ഇപ്പോൾ പരിഹരിച്ചു.

$$y=-b,x=-a$$

മെട്രീസുകൾ ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഘട്ടങ്ങൾ

ആദ്യ സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക. x+a കൊണ്ട് m_{1} ഗുണിക്കാൻ ഡിസ്ട്രിബ്യൂട്ടീവ് ഗുണവിശേഷത ഉപയോഗിക്കുക.

$$y+b=m_{1}x+m_{1}a$$

ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും m_{1}x കുറയ്ക്കുക.

$$y+b-m_{1}x=m_{1}a$$

ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും b കുറയ്ക്കുക.

$$y-m_{1}x=m_{1}a-b$$

രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക. x+a കൊണ്ട് m_{2} ഗുണിക്കാൻ ഡിസ്ട്രിബ്യൂട്ടീവ് ഗുണവിശേഷത ഉപയോഗിക്കുക.

$$y+b=m_{2}x+m_{2}a$$

ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും m_{2}x കുറയ്ക്കുക.

$$y+b-m_{2}x=m_{2}a$$

ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും b കുറയ്ക്കുക.

$$y-m_{2}x=m_{2}a-b$$

സമവാക്യങ്ങൾ സാധാരണ രൂപത്തിൽ നൽകിയ ശേഷം സമവാക്യ ഘടന സോൾവ് ചെയ്യാനുള്ള മെട്രീസുകൾ ഉപയോഗിക്കുക.

$$y+\left(-m_{1}\right)x=am_{1}-b,y+\left(-m_{2}\right)x=am_{2}-b$$

സമവാക്യങ്ങൾ മെട്രിക്സ് രൂപത്തിൽ എഴുതുക.

$$\left(\begin{matrix}1&-m_{1}\\1&-m_{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}am_{1}-b\\am_{2}-b\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-m_{1}\\1&-m_{2}\end{matrix}\right) എന്നതിന്‍റെ വിപരീത മെട്രിക്‌സ് കൊണ്ട് സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇടതുഭാഗം ഗുണിക്കുക.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-m_{1}\\1&-m_{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-m_{1}\\1&-m_{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-m_{1}\\1&-m_{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}am_{1}-b\\am_{2}-b\end{matrix}\right)$$

ഒരു മെട്രിക്‌സിന്‍റെയും അതിന്‍റെ വിപരീതത്തിന്‍റെയും ഗുണനഫലം അനന്യതാ മെട്രിക്‌സ് ആണ്.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-m_{1}\\1&-m_{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}am_{1}-b\\am_{2}-b\end{matrix}\right)$$

സമചിഹ്നത്തിന് ഇടതുഭാഗത്തുള്ള മെട്രിക്‌സുകൾ ഗുണിക്കുക.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-m_{1}\\1&-m_{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}am_{1}-b\\am_{2}-b\end{matrix}\right)$$

2\times 2 മെട്രിക്സ് \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) എന്നതിനുള്ള, വിപരീത മെട്രിക്സ് \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ആണ്, അതിനാൽ മെട്രിക്സ് സമവാക്യം ഒരു മെട്രിക്സ് ഗുണന പ്രശ്നമായി മാറ്റിയെഴുതാവുന്നതാണ്.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{m_{2}}{-m_{2}-\left(-m_{1}\right)}&-\frac{-m_{1}}{-m_{2}-\left(-m_{1}\right)}\\-\frac{1}{-m_{2}-\left(-m_{1}\right)}&\frac{1}{-m_{2}-\left(-m_{1}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}am_{1}-b\\am_{2}-b\end{matrix}\right)$$

ഗണിതം ചെയ്യുക.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{m_{2}}{m_{1}-m_{2}}&\frac{m_{1}}{m_{1}-m_{2}}\\-\frac{1}{m_{1}-m_{2}}&\frac{1}{m_{1}-m_{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}am_{1}-b\\am_{2}-b\end{matrix}\right)$$

മെട്രീസുകൾ ഗുണിക്കുക.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\left(-\frac{m_{2}}{m_{1}-m_{2}}\right)\left(am_{1}-b\right)+\frac{m_{1}}{m_{1}-m_{2}}\left(am_{2}-b\right)\\\left(-\frac{1}{m_{1}-m_{2}}\right)\left(am_{1}-b\right)+\frac{1}{m_{1}-m_{2}}\left(am_{2}-b\right)\end{matrix}\right)$$

ഗണിതം ചെയ്യുക.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-b\\-a\end{matrix}\right)$$

y, x എന്നീ മെട്രിക്സ് ഘടകാംശങ്ങൾ വേർതിരിച്ചെടുക്കുക.

$$y=-b,x=-a$$

എലിമിനേഷൻ ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഘട്ടങ്ങൾ

ആദ്യ സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക. x+a കൊണ്ട് m_{1} ഗുണിക്കാൻ ഡിസ്ട്രിബ്യൂട്ടീവ് ഗുണവിശേഷത ഉപയോഗിക്കുക.

$$y+b=m_{1}x+m_{1}a$$

ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും m_{1}x കുറയ്ക്കുക.

$$y+b-m_{1}x=m_{1}a$$

ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും b കുറയ്ക്കുക.

$$y-m_{1}x=m_{1}a-b$$

രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക. x+a കൊണ്ട് m_{2} ഗുണിക്കാൻ ഡിസ്ട്രിബ്യൂട്ടീവ് ഗുണവിശേഷത ഉപയോഗിക്കുക.

$$y+b=m_{2}x+m_{2}a$$

ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും m_{2}x കുറയ്ക്കുക.

$$y+b-m_{2}x=m_{2}a$$

ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും b കുറയ്ക്കുക.

$$y-m_{2}x=m_{2}a-b$$

എലിമിനേഷൻ ഉപയോഗിച്ച് സോൾവ് ചെയ്യുന്നതിന്, വേരിയബിളുകളിൽ ഒന്നിന്റെ കോഎഫിഷ്യന്റുകൾ ഇരുസമവാക്യങ്ങളിലും ഒന്നുതന്നെയായിരിക്കണം, എന്നാൽ മാത്രമേ ഒരു സമവാക്യം മറ്റൊന്നിൽ നിന്നും വ്യവകലനം ചെയ്യുമ്പോൾ വേരിയബിൾ റദ്ദാക്കപ്പെടുകയുള്ളൂ.

$$y+\left(-m_{1}\right)x=am_{1}-b,y+\left(-m_{2}\right)x=am_{2}-b$$

സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലുമുള്ള ഒരുപോലുള്ള പദങ്ങൾ കുറച്ച് y+\left(-m_{1}\right)x=am_{1}-b എന്നതിൽ നിന്ന് y+\left(-m_{2}\right)x=am_{2}-b കുറയ്ക്കുക.

$$y-y+\left(-m_{1}\right)x+m_{2}x=am_{1}-b+b-am_{2}$$

y, -y എന്നതിൽ ചേർക്കുക. y, -y എന്നീ പദങ്ങൾ റദ്ദാക്കപ്പെട്ടു, സോൾവ് ചെയ്യാനാകുന്ന ഒരേയൊരു വേരിയബിൾ മാത്രമുള്ള സമവാക്യം നൽകുന്നു.

$$\left(-m_{1}\right)x+m_{2}x=am_{1}-b+b-am_{2}$$

-m_{1}x, m_{2}x എന്നതിൽ ചേർക്കുക.

$$\left(m_{2}-m_{1}\right)x=am_{1}-b+b-am_{2}$$

am_{1}-b, -m_{2}a+b എന്നതിൽ ചേർക്കുക.

$$\left(m_{2}-m_{1}\right)x=a\left(m_{1}-m_{2}\right)$$

ഇരുവശങ്ങളെയും -m_{1}+m_{2} കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

$$x=-a$$

y+\left(-m_{2}\right)x=am_{2}-b എന്നതിലെ x എന്നതിനായി -a സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക. സംജാതമാകുന്ന സമവാക്യത്തിൽ ഒരേയൊരു വേരിയബിൾ മാത്രമുള്ളതിനാൽ, നിങ്ങൾക്ക് y എന്നതിനായി നേരിട്ട് സോൾവ് ചെയ്യാനാകും.

$$y+\left(-m_{2}\right)\left(-a\right)=am_{2}-b$$

-m_{2}, -a എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക.

$$y+am_{2}=am_{2}-b$$

സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും m_{2}a കുറയ്ക്കുക.

$$y=-b$$

സിസ്റ്റം ഇപ്പോൾ പരിഹരിച്ചു.

$$y=-b,x=-a$$