{l}{2x-y+3/3-x-2y+3/4=4}{3x-4y+3/4+4x-2y-9/3=4} സോൾവ് ചെയ്യുക

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 2 x - y + 3 } { 3 } - \frac { x - 2 y + 3 } { 4 } = 4 } \\ { \frac { 3 x - 4 y + 3 } { 4 } + \frac { 4 x - 2 y - 9 } { 3 } = 4 } \end{array} \right.$$

x, y എന്നതിനായി സോൾവ് ചെയ്യുക

$$x=7$$

$$y=5$$

സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂഷൻ ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഘട്ടങ്ങൾ

ആദ്യ സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക. 3,4 എന്നതിന്‍റെ ലഘുതമ സാധാരണ ഗുണിതമായ 12 ഉപയോഗിച്ച് സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളും ഗുണിക്കുക.

$$4\left(2x-y+3\right)-3\left(x-2y+3\right)=48$$

2x-y+3 കൊണ്ട് 4 ഗുണിക്കാൻ ഡിസ്ട്രിബ്യൂട്ടീവ് ഗുണവിശേഷത ഉപയോഗിക്കുക.

$$8x-4y+12-3\left(x-2y+3\right)=48$$

x-2y+3 കൊണ്ട് -3 ഗുണിക്കാൻ ഡിസ്ട്രിബ്യൂട്ടീവ് ഗുണവിശേഷത ഉപയോഗിക്കുക.

$$8x-4y+12-3x+6y-9=48$$

5x നേടാൻ 8x, -3x എന്നിവ യോജിപ്പിക്കുക.

$$5x-4y+12+6y-9=48$$

2y നേടാൻ -4y, 6y എന്നിവ യോജിപ്പിക്കുക.

$$5x+2y+12-9=48$$

3 നേടാൻ 12 എന്നതിൽ നിന്ന് 9 കുറയ്ക്കുക.

$$5x+2y+3=48$$

ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും 3 കുറയ്ക്കുക.

$$5x+2y=48-3$$

45 നേടാൻ 48 എന്നതിൽ നിന്ന് 3 കുറയ്ക്കുക.

$$5x+2y=45$$

രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക. 4,3 എന്നതിന്‍റെ ലഘുതമ സാധാരണ ഗുണിതമായ 12 ഉപയോഗിച്ച് സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളും ഗുണിക്കുക.

$$3\left(3x-4y+3\right)+4\left(4x-2y-9\right)=48$$

3x-4y+3 കൊണ്ട് 3 ഗുണിക്കാൻ ഡിസ്ട്രിബ്യൂട്ടീവ് ഗുണവിശേഷത ഉപയോഗിക്കുക.

$$9x-12y+9+4\left(4x-2y-9\right)=48$$

4x-2y-9 കൊണ്ട് 4 ഗുണിക്കാൻ ഡിസ്ട്രിബ്യൂട്ടീവ് ഗുണവിശേഷത ഉപയോഗിക്കുക.

$$9x-12y+9+16x-8y-36=48$$

25x നേടാൻ 9x, 16x എന്നിവ യോജിപ്പിക്കുക.

$$25x-12y+9-8y-36=48$$

-20y നേടാൻ -12y, -8y എന്നിവ യോജിപ്പിക്കുക.

$$25x-20y+9-36=48$$

-27 നേടാൻ 9 എന്നതിൽ നിന്ന് 36 കുറയ്ക്കുക.

$$25x-20y-27=48$$

27 ഇരു വശങ്ങളിലും ചേർക്കുക.

$$25x-20y=48+27$$

75 ലഭ്യമാക്കാൻ 48, 27 എന്നിവ ചേർക്കുക.

$$25x-20y=75$$

വ്യവകലനം ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ജോടി സമവാക്യങ്ങൾ സോൾവ് ചെയ്യാൻ, ആദ്യം വേരിയബിളുകളിൽ ഒന്നിനായി സമവാക്യങ്ങളിലൊന്ന് സോൾവ് ചെയ്യുക. തുടർന്ന്, രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിലെ ആ വേരിയബിളിനുള്ള ഫലം സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക.

$$5x+2y=45,25x-20y=75$$

സമവാക്യങ്ങളിലൊന്ന് നോക്കിയെടുത്ത്, സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇടതുഭാഗത്തുള്ള x മാറ്റിനിർത്തിക്കൊണ്ട് x എന്നതിനായി അത് സോൾവ് ചെയ്യുക.

$$5x+2y=45$$

സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും 2y കുറയ്ക്കുക.

$$5x=-2y+45$$

ഇരുവശങ്ങളെയും 5 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

$$x=\frac{1}{5}\left(-2y+45\right)$$

\frac{1}{5}, -2y+45 എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക.

$$x=-\frac{2}{5}y+9$$

25x-20y=75 എന്ന മറ്റ് സമവാക്യങ്ങളിൽ x എന്നതിനായി -\frac{2y}{5}+9 സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക.

$$25\left(-\frac{2}{5}y+9\right)-20y=75$$

25, -\frac{2y}{5}+9 എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക.

$$-10y+225-20y=75$$

-10y, -20y എന്നതിൽ ചേർക്കുക.

$$-30y+225=75$$

സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും 225 കുറയ്ക്കുക.

$$-30y=-150$$

ഇരുവശങ്ങളെയും -30 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

$$y=5$$

x=-\frac{2}{5}y+9 എന്നതിലെ y എന്നതിനായി 5 സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക. സംജാതമാകുന്ന സമവാക്യത്തിൽ ഒരേയൊരു വേരിയബിൾ മാത്രമുള്ളതിനാൽ, നിങ്ങൾക്ക് x എന്നതിനായി നേരിട്ട് സോൾവ് ചെയ്യാനാകും.

$$x=-\frac{2}{5}\times 5+9$$

-\frac{2}{5}, 5 എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക.

$$x=-2+9$$

9, -2 എന്നതിൽ ചേർക്കുക.

$$x=7$$

സിസ്റ്റം ഇപ്പോൾ പരിഹരിച്ചു.

$$x=7,y=5$$

മെട്രീസുകൾ ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഘട്ടങ്ങൾ

ആദ്യ സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക. 3,4 എന്നതിന്‍റെ ലഘുതമ സാധാരണ ഗുണിതമായ 12 ഉപയോഗിച്ച് സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളും ഗുണിക്കുക.

$$4\left(2x-y+3\right)-3\left(x-2y+3\right)=48$$

2x-y+3 കൊണ്ട് 4 ഗുണിക്കാൻ ഡിസ്ട്രിബ്യൂട്ടീവ് ഗുണവിശേഷത ഉപയോഗിക്കുക.

$$8x-4y+12-3\left(x-2y+3\right)=48$$

x-2y+3 കൊണ്ട് -3 ഗുണിക്കാൻ ഡിസ്ട്രിബ്യൂട്ടീവ് ഗുണവിശേഷത ഉപയോഗിക്കുക.

$$8x-4y+12-3x+6y-9=48$$

5x നേടാൻ 8x, -3x എന്നിവ യോജിപ്പിക്കുക.

$$5x-4y+12+6y-9=48$$

2y നേടാൻ -4y, 6y എന്നിവ യോജിപ്പിക്കുക.

$$5x+2y+12-9=48$$

3 നേടാൻ 12 എന്നതിൽ നിന്ന് 9 കുറയ്ക്കുക.

$$5x+2y+3=48$$

ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും 3 കുറയ്ക്കുക.

$$5x+2y=48-3$$

45 നേടാൻ 48 എന്നതിൽ നിന്ന് 3 കുറയ്ക്കുക.

$$5x+2y=45$$

രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക. 4,3 എന്നതിന്‍റെ ലഘുതമ സാധാരണ ഗുണിതമായ 12 ഉപയോഗിച്ച് സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളും ഗുണിക്കുക.

$$3\left(3x-4y+3\right)+4\left(4x-2y-9\right)=48$$

3x-4y+3 കൊണ്ട് 3 ഗുണിക്കാൻ ഡിസ്ട്രിബ്യൂട്ടീവ് ഗുണവിശേഷത ഉപയോഗിക്കുക.

$$9x-12y+9+4\left(4x-2y-9\right)=48$$

4x-2y-9 കൊണ്ട് 4 ഗുണിക്കാൻ ഡിസ്ട്രിബ്യൂട്ടീവ് ഗുണവിശേഷത ഉപയോഗിക്കുക.

$$9x-12y+9+16x-8y-36=48$$

25x നേടാൻ 9x, 16x എന്നിവ യോജിപ്പിക്കുക.

$$25x-12y+9-8y-36=48$$

-20y നേടാൻ -12y, -8y എന്നിവ യോജിപ്പിക്കുക.

$$25x-20y+9-36=48$$

-27 നേടാൻ 9 എന്നതിൽ നിന്ന് 36 കുറയ്ക്കുക.

$$25x-20y-27=48$$

27 ഇരു വശങ്ങളിലും ചേർക്കുക.

$$25x-20y=48+27$$

75 ലഭ്യമാക്കാൻ 48, 27 എന്നിവ ചേർക്കുക.

$$25x-20y=75$$

സമവാക്യങ്ങൾ സാധാരണ രൂപത്തിൽ നൽകിയ ശേഷം സമവാക്യ ഘടന സോൾവ് ചെയ്യാനുള്ള മെട്രീസുകൾ ഉപയോഗിക്കുക.

$$5x+2y=45,25x-20y=75$$

സമവാക്യങ്ങൾ മെട്രിക്സ് രൂപത്തിൽ എഴുതുക.

$$\left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}45\\75\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right) എന്നതിന്‍റെ വിപരീത മെട്രിക്‌സ് കൊണ്ട് സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇടതുഭാഗം ഗുണിക്കുക.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\75\end{matrix}\right)$$

ഒരു മെട്രിക്‌സിന്‍റെയും അതിന്‍റെ വിപരീതത്തിന്‍റെയും ഗുണനഫലം അനന്യതാ മെട്രിക്‌സ് ആണ്.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\75\end{matrix}\right)$$

സമചിഹ്നത്തിന് ഇടതുഭാഗത്തുള്ള മെട്രിക്‌സുകൾ ഗുണിക്കുക.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\75\end{matrix}\right)$$

2\times 2 മെട്രിക്സ് \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) എന്നതിനുള്ള, വിപരീത മെട്രിക്സ് \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ആണ്, അതിനാൽ മെട്രിക്സ് സമവാക്യം ഒരു മെട്രിക്സ് ഗുണന പ്രശ്നമായി മാറ്റിയെഴുതാവുന്നതാണ്.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{20}{5\left(-20\right)-2\times 25}&-\frac{2}{5\left(-20\right)-2\times 25}\\-\frac{25}{5\left(-20\right)-2\times 25}&\frac{5}{5\left(-20\right)-2\times 25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\75\end{matrix}\right)$$

ഗണിതം ചെയ്യുക.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{15}&\frac{1}{75}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\75\end{matrix}\right)$$

മെട്രീസുകൾ ഗുണിക്കുക.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{15}\times 45+\frac{1}{75}\times 75\\\frac{1}{6}\times 45-\frac{1}{30}\times 75\end{matrix}\right)$$

ഗണിതം ചെയ്യുക.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

x, y എന്നീ മെട്രിക്സ് ഘടകാംശങ്ങൾ വേർതിരിച്ചെടുക്കുക.

$$x=7,y=5$$

എലിമിനേഷൻ ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഘട്ടങ്ങൾ

ആദ്യ സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക. 3,4 എന്നതിന്‍റെ ലഘുതമ സാധാരണ ഗുണിതമായ 12 ഉപയോഗിച്ച് സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളും ഗുണിക്കുക.

$$4\left(2x-y+3\right)-3\left(x-2y+3\right)=48$$

2x-y+3 കൊണ്ട് 4 ഗുണിക്കാൻ ഡിസ്ട്രിബ്യൂട്ടീവ് ഗുണവിശേഷത ഉപയോഗിക്കുക.

$$8x-4y+12-3\left(x-2y+3\right)=48$$

x-2y+3 കൊണ്ട് -3 ഗുണിക്കാൻ ഡിസ്ട്രിബ്യൂട്ടീവ് ഗുണവിശേഷത ഉപയോഗിക്കുക.

$$8x-4y+12-3x+6y-9=48$$

5x നേടാൻ 8x, -3x എന്നിവ യോജിപ്പിക്കുക.

$$5x-4y+12+6y-9=48$$

2y നേടാൻ -4y, 6y എന്നിവ യോജിപ്പിക്കുക.

$$5x+2y+12-9=48$$

3 നേടാൻ 12 എന്നതിൽ നിന്ന് 9 കുറയ്ക്കുക.

$$5x+2y+3=48$$

ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും 3 കുറയ്ക്കുക.

$$5x+2y=48-3$$

45 നേടാൻ 48 എന്നതിൽ നിന്ന് 3 കുറയ്ക്കുക.

$$5x+2y=45$$

രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക. 4,3 എന്നതിന്‍റെ ലഘുതമ സാധാരണ ഗുണിതമായ 12 ഉപയോഗിച്ച് സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളും ഗുണിക്കുക.

$$3\left(3x-4y+3\right)+4\left(4x-2y-9\right)=48$$

3x-4y+3 കൊണ്ട് 3 ഗുണിക്കാൻ ഡിസ്ട്രിബ്യൂട്ടീവ് ഗുണവിശേഷത ഉപയോഗിക്കുക.

$$9x-12y+9+4\left(4x-2y-9\right)=48$$

4x-2y-9 കൊണ്ട് 4 ഗുണിക്കാൻ ഡിസ്ട്രിബ്യൂട്ടീവ് ഗുണവിശേഷത ഉപയോഗിക്കുക.

$$9x-12y+9+16x-8y-36=48$$

25x നേടാൻ 9x, 16x എന്നിവ യോജിപ്പിക്കുക.

$$25x-12y+9-8y-36=48$$

-20y നേടാൻ -12y, -8y എന്നിവ യോജിപ്പിക്കുക.

$$25x-20y+9-36=48$$

-27 നേടാൻ 9 എന്നതിൽ നിന്ന് 36 കുറയ്ക്കുക.

$$25x-20y-27=48$$

27 ഇരു വശങ്ങളിലും ചേർക്കുക.

$$25x-20y=48+27$$

75 ലഭ്യമാക്കാൻ 48, 27 എന്നിവ ചേർക്കുക.

$$25x-20y=75$$

എലിമിനേഷൻ ഉപയോഗിച്ച് സോൾവ് ചെയ്യുന്നതിന്, വേരിയബിളുകളിൽ ഒന്നിന്റെ കോഎഫിഷ്യന്റുകൾ ഇരുസമവാക്യങ്ങളിലും ഒന്നുതന്നെയായിരിക്കണം, എന്നാൽ മാത്രമേ ഒരു സമവാക്യം മറ്റൊന്നിൽ നിന്നും വ്യവകലനം ചെയ്യുമ്പോൾ വേരിയബിൾ റദ്ദാക്കപ്പെടുകയുള്ളൂ.

$$5x+2y=45,25x-20y=75$$

5x, 25x എന്നിവ തുല്യമാക്കാൻ, ആദ്യ സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലെ എല്ലാ പദങ്ങളെയും 25 കൊണ്ടും രണ്ടാമത്തേതിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലെ എല്ലാ പദങ്ങളെയും 5 കൊണ്ടും ഗുണിക്കുക.

$$25\times 5x+25\times 2y=25\times 45,5\times 25x+5\left(-20\right)y=5\times 75$$

ലഘൂകരിക്കുക.

$$125x+50y=1125,125x-100y=375$$

സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലുമുള്ള ഒരുപോലുള്ള പദങ്ങൾ കുറച്ച് 125x+50y=1125 എന്നതിൽ നിന്ന് 125x-100y=375 കുറയ്ക്കുക.

$$125x-125x+50y+100y=1125-375$$

125x, -125x എന്നതിൽ ചേർക്കുക. 125x, -125x എന്നീ പദങ്ങൾ റദ്ദാക്കപ്പെട്ടു, സോൾവ് ചെയ്യാനാകുന്ന ഒരേയൊരു വേരിയബിൾ മാത്രമുള്ള സമവാക്യം നൽകുന്നു.

$$50y+100y=1125-375$$

50y, 100y എന്നതിൽ ചേർക്കുക.

$$150y=1125-375$$

1125, -375 എന്നതിൽ ചേർക്കുക.

$$150y=750$$

ഇരുവശങ്ങളെയും 150 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

$$y=5$$

25x-20y=75 എന്നതിലെ y എന്നതിനായി 5 സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക. സംജാതമാകുന്ന സമവാക്യത്തിൽ ഒരേയൊരു വേരിയബിൾ മാത്രമുള്ളതിനാൽ, നിങ്ങൾക്ക് x എന്നതിനായി നേരിട്ട് സോൾവ് ചെയ്യാനാകും.

$$25x-20\times 5=75$$

-20, 5 എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക.

$$25x-100=75$$

സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലും 100 ചേർക്കുക.

$$25x=175$$

ഇരുവശങ്ങളെയും 25 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

$$x=7$$

സിസ്റ്റം ഇപ്പോൾ പരിഹരിച്ചു.

$$x=7,y=5$$