{c}{4x+160y=128}{x+2y0y=82} സോൾവ് ചെയ്യുക

$$\left. \begin{array} { c } { 4 x + 160 y = 128 } \\ { x + 2 y 0 y = 82 } \end{array} \right.$$

x, y എന്നതിനായി സോൾവ് ചെയ്യുക

$$x=-\frac{8\left(205-4y_{0}\right)}{y_{0}-20}$$

$$y=\frac{25}{y_{0}-20}$$

$$y_{0}\neq 20$$

സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂഷൻ ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഘട്ടങ്ങൾ

വ്യവകലനം ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ജോടി സമവാക്യങ്ങൾ സോൾവ് ചെയ്യാൻ, ആദ്യം വേരിയബിളുകളിൽ ഒന്നിനായി സമവാക്യങ്ങളിലൊന്ന് സോൾവ് ചെയ്യുക. തുടർന്ന്, രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിലെ ആ വേരിയബിളിനുള്ള ഫലം സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക.

$$4x+160y=128,x+2y_{0}y=82$$

സമവാക്യങ്ങളിലൊന്ന് നോക്കിയെടുത്ത്, സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇടതുഭാഗത്തുള്ള x മാറ്റിനിർത്തിക്കൊണ്ട് x എന്നതിനായി അത് സോൾവ് ചെയ്യുക.

$$4x+160y=128$$

സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും 160y കുറയ്ക്കുക.

$$4x=-160y+128$$

ഇരുവശങ്ങളെയും 4 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

$$x=\frac{1}{4}\left(-160y+128\right)$$

\frac{1}{4}, -160y+128 എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക.

$$x=-40y+32$$

x+2y_{0}y=82 എന്ന മറ്റ് സമവാക്യങ്ങളിൽ x എന്നതിനായി -40y+32 സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക.

$$-40y+32+2y_{0}y=82$$

-40y, 2y_{0}y എന്നതിൽ ചേർക്കുക.

$$\left(2y_{0}-40\right)y+32=82$$

സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും 32 കുറയ്ക്കുക.

$$\left(2y_{0}-40\right)y=50$$

ഇരുവശങ്ങളെയും -40+2y_{0} കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

$$y=\frac{25}{y_{0}-20}$$

x=-40y+32 എന്നതിലെ y എന്നതിനായി \frac{25}{-20+y_{0}} സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക. സംജാതമാകുന്ന സമവാക്യത്തിൽ ഒരേയൊരു വേരിയബിൾ മാത്രമുള്ളതിനാൽ, നിങ്ങൾക്ക് x എന്നതിനായി നേരിട്ട് സോൾവ് ചെയ്യാനാകും.

$$x=-40\times \frac{25}{y_{0}-20}+32$$

-40, \frac{25}{-20+y_{0}} എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക.

$$x=-\frac{1000}{y_{0}-20}+32$$

32, -\frac{1000}{-20+y_{0}} എന്നതിൽ ചേർക്കുക.

$$x=\frac{8\left(4y_{0}-205\right)}{y_{0}-20}$$

സിസ്റ്റം ഇപ്പോൾ പരിഹരിച്ചു.

$$x=\frac{8\left(4y_{0}-205\right)}{y_{0}-20},y=\frac{25}{y_{0}-20}$$

മെട്രീസുകൾ ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഘട്ടങ്ങൾ

സമവാക്യങ്ങൾ സാധാരണ രൂപത്തിൽ നൽകിയ ശേഷം സമവാക്യ ഘടന സോൾവ് ചെയ്യാനുള്ള മെട്രീസുകൾ ഉപയോഗിക്കുക.

$$4x+160y=128,x+2y_{0}y=82$$

സമവാക്യങ്ങൾ മെട്രിക്സ് രൂപത്തിൽ എഴുതുക.

$$\left(\begin{matrix}4&160\\1&2y_{0}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}128\\82\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&160\\1&2y_{0}\end{matrix}\right) എന്നതിന്‍റെ വിപരീത മെട്രിക്‌സ് കൊണ്ട് സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇടതുഭാഗം ഗുണിക്കുക.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&160\\1&2y_{0}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&160\\1&2y_{0}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&160\\1&2y_{0}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}128\\82\end{matrix}\right)$$

ഒരു മെട്രിക്‌സിന്‍റെയും അതിന്‍റെ വിപരീതത്തിന്‍റെയും ഗുണനഫലം അനന്യതാ മെട്രിക്‌സ് ആണ്.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&160\\1&2y_{0}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}128\\82\end{matrix}\right)$$

സമചിഹ്നത്തിന് ഇടതുഭാഗത്തുള്ള മെട്രിക്‌സുകൾ ഗുണിക്കുക.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&160\\1&2y_{0}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}128\\82\end{matrix}\right)$$

2\times 2 മെട്രിക്സ് \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) എന്നതിനുള്ള, വിപരീത മെട്രിക്സ് \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ആണ്, അതിനാൽ മെട്രിക്സ് സമവാക്യം ഒരു മെട്രിക്സ് ഗുണന പ്രശ്നമായി മാറ്റിയെഴുതാവുന്നതാണ്.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2y_{0}}{4\times 2y_{0}-160}&-\frac{160}{4\times 2y_{0}-160}\\-\frac{1}{4\times 2y_{0}-160}&\frac{4}{4\times 2y_{0}-160}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}128\\82\end{matrix}\right)$$

ഗണിതം ചെയ്യുക.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{y_{0}}{4\left(y_{0}-20\right)}&-\frac{20}{y_{0}-20}\\-\frac{1}{8\left(y_{0}-20\right)}&\frac{1}{2\left(y_{0}-20\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}128\\82\end{matrix}\right)$$

മെട്രീസുകൾ ഗുണിക്കുക.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{y_{0}}{4\left(y_{0}-20\right)}\times 128+\left(-\frac{20}{y_{0}-20}\right)\times 82\\\left(-\frac{1}{8\left(y_{0}-20\right)}\right)\times 128+\frac{1}{2\left(y_{0}-20\right)}\times 82\end{matrix}\right)$$

ഗണിതം ചെയ്യുക.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8\left(4y_{0}-205\right)}{y_{0}-20}\\\frac{25}{y_{0}-20}\end{matrix}\right)$$

x, y എന്നീ മെട്രിക്സ് ഘടകാംശങ്ങൾ വേർതിരിച്ചെടുക്കുക.

$$x=\frac{8\left(4y_{0}-205\right)}{y_{0}-20},y=\frac{25}{y_{0}-20}$$

എലിമിനേഷൻ ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഘട്ടങ്ങൾ

എലിമിനേഷൻ ഉപയോഗിച്ച് സോൾവ് ചെയ്യുന്നതിന്, വേരിയബിളുകളിൽ ഒന്നിന്റെ കോഎഫിഷ്യന്റുകൾ ഇരുസമവാക്യങ്ങളിലും ഒന്നുതന്നെയായിരിക്കണം, എന്നാൽ മാത്രമേ ഒരു സമവാക്യം മറ്റൊന്നിൽ നിന്നും വ്യവകലനം ചെയ്യുമ്പോൾ വേരിയബിൾ റദ്ദാക്കപ്പെടുകയുള്ളൂ.

$$4x+160y=128,x+2y_{0}y=82$$

4x, x എന്നിവ തുല്യമാക്കാൻ, ആദ്യ സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലെ എല്ലാ പദങ്ങളെയും 1 കൊണ്ടും രണ്ടാമത്തേതിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലെ എല്ലാ പദങ്ങളെയും 4 കൊണ്ടും ഗുണിക്കുക.

$$4x+160y=128,4x+4\times 2y_{0}y=4\times 82$$

ലഘൂകരിക്കുക.

$$4x+160y=128,4x+8y_{0}y=328$$

സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലുമുള്ള ഒരുപോലുള്ള പദങ്ങൾ കുറച്ച് 4x+160y=128 എന്നതിൽ നിന്ന് 4x+8y_{0}y=328 കുറയ്ക്കുക.

$$4x-4x+160y+\left(-8y_{0}\right)y=128-328$$

4x, -4x എന്നതിൽ ചേർക്കുക. 4x, -4x എന്നീ പദങ്ങൾ റദ്ദാക്കപ്പെട്ടു, സോൾവ് ചെയ്യാനാകുന്ന ഒരേയൊരു വേരിയബിൾ മാത്രമുള്ള സമവാക്യം നൽകുന്നു.

$$160y+\left(-8y_{0}\right)y=128-328$$

160y, -8y_{0}y എന്നതിൽ ചേർക്കുക.

$$\left(160-8y_{0}\right)y=128-328$$

128, -328 എന്നതിൽ ചേർക്കുക.

$$\left(160-8y_{0}\right)y=-200$$

ഇരുവശങ്ങളെയും 160-8y_{0} കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

$$y=-\frac{25}{20-y_{0}}$$

x+2y_{0}y=82 എന്നതിലെ y എന്നതിനായി -\frac{25}{20-y_{0}} സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക. സംജാതമാകുന്ന സമവാക്യത്തിൽ ഒരേയൊരു വേരിയബിൾ മാത്രമുള്ളതിനാൽ, നിങ്ങൾക്ക് x എന്നതിനായി നേരിട്ട് സോൾവ് ചെയ്യാനാകും.

$$x+2y_{0}\left(-\frac{25}{20-y_{0}}\right)=82$$

2y_{0}, -\frac{25}{20-y_{0}} എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക.

$$x-\frac{50y_{0}}{20-y_{0}}=82$$

സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലും \frac{50y_{0}}{20-y_{0}} ചേർക്കുക.

$$x=\frac{8\left(205-4y_{0}\right)}{20-y_{0}}$$

സിസ്റ്റം ഇപ്പോൾ പരിഹരിച്ചു.

$$x=\frac{8\left(205-4y_{0}\right)}{20-y_{0}},y=-\frac{25}{20-y_{0}}$$