{l}{x_{1}+x_{2}=97}{frac{x_{2}}{x_{1}}=2} സോൾവ് ചെയ്യുക

$$\left\{ \begin{array} { l } { x _ { 1 } + x _ { 2 } = 97 } \\ { \frac { x _ { 2 } } { x _ { 1 } } = 2 } \end{array} \right.$$

x_1, x_2 എന്നതിനായി സോൾവ് ചെയ്യുക

$$x_{1} = \frac{97}{3} = 32\frac{1}{3} \approx 32.333333333$$

$$x_{2} = \frac{194}{3} = 64\frac{2}{3} \approx 64.666666667$$

സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂഷൻ ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഘട്ടങ്ങൾ

രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക. പൂജ്യം ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഹരണം നിർവ്വചിക്കാത്തതിനാൽ, x_{1} എന്ന വേരിയബിൾ 0 എന്നതിന് തുല്യമാക്കാനാകില്ല. സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളെയും x_{1} കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക.

$$x_{2}=2x_{1}$$

ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും 2x_{1} കുറയ്ക്കുക.

$$x_{2}-2x_{1}=0$$

വ്യവകലനം ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ജോടി സമവാക്യങ്ങൾ സോൾവ് ചെയ്യാൻ, ആദ്യം വേരിയബിളുകളിൽ ഒന്നിനായി സമവാക്യങ്ങളിലൊന്ന് സോൾവ് ചെയ്യുക. തുടർന്ന്, രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിലെ ആ വേരിയബിളിനുള്ള ഫലം സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക.

$$x_{1}+x_{2}=97,-2x_{1}+x_{2}=0$$

സമവാക്യങ്ങളിലൊന്ന് നോക്കിയെടുത്ത്, സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇടതുഭാഗത്തുള്ള x_{1} മാറ്റിനിർത്തിക്കൊണ്ട് x_{1} എന്നതിനായി അത് സോൾവ് ചെയ്യുക.

$$x_{1}+x_{2}=97$$

സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും x_{2} കുറയ്ക്കുക.

$$x_{1}=-x_{2}+97$$

-2x_{1}+x_{2}=0 എന്ന മറ്റ് സമവാക്യങ്ങളിൽ x_{1} എന്നതിനായി -x_{2}+97 സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക.

$$-2\left(-x_{2}+97\right)+x_{2}=0$$

-2, -x_{2}+97 എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക.

$$2x_{2}-194+x_{2}=0$$

2x_{2}, x_{2} എന്നതിൽ ചേർക്കുക.

$$3x_{2}-194=0$$

സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലും 194 ചേർക്കുക.

$$3x_{2}=194$$

ഇരുവശങ്ങളെയും 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

$$x_{2}=\frac{194}{3}$$

x_{1}=-x_{2}+97 എന്നതിലെ x_{2} എന്നതിനായി \frac{194}{3} സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക. സംജാതമാകുന്ന സമവാക്യത്തിൽ ഒരേയൊരു വേരിയബിൾ മാത്രമുള്ളതിനാൽ, നിങ്ങൾക്ക് x_{1} എന്നതിനായി നേരിട്ട് സോൾവ് ചെയ്യാനാകും.

$$x_{1}=-\frac{194}{3}+97$$

97, -\frac{194}{3} എന്നതിൽ ചേർക്കുക.

$$x_{1}=\frac{97}{3}$$

സിസ്റ്റം ഇപ്പോൾ പരിഹരിച്ചു.

$$x_{1}=\frac{97}{3},x_{2}=\frac{194}{3}$$

മെട്രീസുകൾ ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഘട്ടങ്ങൾ

രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക. പൂജ്യം ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഹരണം നിർവ്വചിക്കാത്തതിനാൽ, x_{1} എന്ന വേരിയബിൾ 0 എന്നതിന് തുല്യമാക്കാനാകില്ല. സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളെയും x_{1} കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക.

$$x_{2}=2x_{1}$$

ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും 2x_{1} കുറയ്ക്കുക.

$$x_{2}-2x_{1}=0$$

സമവാക്യങ്ങൾ സാധാരണ രൂപത്തിൽ നൽകിയ ശേഷം സമവാക്യ ഘടന സോൾവ് ചെയ്യാനുള്ള മെട്രീസുകൾ ഉപയോഗിക്കുക.

$$x_{1}+x_{2}=97,-2x_{1}+x_{2}=0$$

സമവാക്യങ്ങൾ മെട്രിക്സ് രൂപത്തിൽ എഴുതുക.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}97\\0\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right) എന്നതിന്‍റെ വിപരീത മെട്രിക്‌സ് കൊണ്ട് സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇടതുഭാഗം ഗുണിക്കുക.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}97\\0\end{matrix}\right)$$

ഒരു മെട്രിക്‌സിന്‍റെയും അതിന്‍റെ വിപരീതത്തിന്‍റെയും ഗുണനഫലം അനന്യതാ മെട്രിക്‌സ് ആണ്.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}97\\0\end{matrix}\right)$$

സമചിഹ്നത്തിന് ഇടതുഭാഗത്തുള്ള മെട്രിക്‌സുകൾ ഗുണിക്കുക.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}97\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 മെട്രിക്സ് \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) എന്നതിനുള്ള, വിപരീത മെട്രിക്സ് \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ആണ്, അതിനാൽ മെട്രിക്സ് സമവാക്യം ഒരു മെട്രിക്സ് ഗുണന പ്രശ്നമായി മാറ്റിയെഴുതാവുന്നതാണ്.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-2\right)}&-\frac{1}{1-\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{1-\left(-2\right)}&\frac{1}{1-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}97\\0\end{matrix}\right)$$

ഗണിതം ചെയ്യുക.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}97\\0\end{matrix}\right)$$

മെട്രീസുകൾ ഗുണിക്കുക.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 97\\\frac{2}{3}\times 97\end{matrix}\right)$$

ഗണിതം ചെയ്യുക.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{97}{3}\\\frac{194}{3}\end{matrix}\right)$$

x_{1}, x_{2} എന്നീ മെട്രിക്സ് ഘടകാംശങ്ങൾ വേർതിരിച്ചെടുക്കുക.

$$x_{1}=\frac{97}{3},x_{2}=\frac{194}{3}$$

എലിമിനേഷൻ ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഘട്ടങ്ങൾ

രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക. പൂജ്യം ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഹരണം നിർവ്വചിക്കാത്തതിനാൽ, x_{1} എന്ന വേരിയബിൾ 0 എന്നതിന് തുല്യമാക്കാനാകില്ല. സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളെയും x_{1} കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക.

$$x_{2}=2x_{1}$$

ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും 2x_{1} കുറയ്ക്കുക.

$$x_{2}-2x_{1}=0$$

എലിമിനേഷൻ ഉപയോഗിച്ച് സോൾവ് ചെയ്യുന്നതിന്, വേരിയബിളുകളിൽ ഒന്നിന്റെ കോഎഫിഷ്യന്റുകൾ ഇരുസമവാക്യങ്ങളിലും ഒന്നുതന്നെയായിരിക്കണം, എന്നാൽ മാത്രമേ ഒരു സമവാക്യം മറ്റൊന്നിൽ നിന്നും വ്യവകലനം ചെയ്യുമ്പോൾ വേരിയബിൾ റദ്ദാക്കപ്പെടുകയുള്ളൂ.

$$x_{1}+x_{2}=97,-2x_{1}+x_{2}=0$$

സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലുമുള്ള ഒരുപോലുള്ള പദങ്ങൾ കുറച്ച് x_{1}+x_{2}=97 എന്നതിൽ നിന്ന് -2x_{1}+x_{2}=0 കുറയ്ക്കുക.

$$x_{1}+2x_{1}+x_{2}-x_{2}=97$$

x_{2}, -x_{2} എന്നതിൽ ചേർക്കുക. x_{2}, -x_{2} എന്നീ പദങ്ങൾ റദ്ദാക്കപ്പെട്ടു, സോൾവ് ചെയ്യാനാകുന്ന ഒരേയൊരു വേരിയബിൾ മാത്രമുള്ള സമവാക്യം നൽകുന്നു.

$$x_{1}+2x_{1}=97$$

x_{1}, 2x_{1} എന്നതിൽ ചേർക്കുക.

$$3x_{1}=97$$

ഇരുവശങ്ങളെയും 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

$$x_{1}=\frac{97}{3}$$

-2x_{1}+x_{2}=0 എന്നതിലെ x_{1} എന്നതിനായി \frac{97}{3} സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക. സംജാതമാകുന്ന സമവാക്യത്തിൽ ഒരേയൊരു വേരിയബിൾ മാത്രമുള്ളതിനാൽ, നിങ്ങൾക്ക് x_{2} എന്നതിനായി നേരിട്ട് സോൾവ് ചെയ്യാനാകും.

$$-2\times \frac{97}{3}+x_{2}=0$$

-2, \frac{97}{3} എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക.

$$-\frac{194}{3}+x_{2}=0$$

സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലും \frac{194}{3} ചേർക്കുക.

$$x_{2}=\frac{194}{3}$$

സിസ്റ്റം ഇപ്പോൾ പരിഹരിച്ചു.

$$x_{1}=\frac{97}{3},x_{2}=\frac{194}{3}$$