{l}{x-ay=-23}{2x+y=-1} സോൾവ് ചെയ്യുക

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - a y = - 23 } \\ { 2 x + y = - 1 } \end{array} \right.$$

x, y എന്നതിനായി സോൾവ് ചെയ്യുക

$$x=-\frac{a+23}{2a+1}$$

$$y=\frac{45}{2a+1}$$

$$a\neq -\frac{1}{2}$$

സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂഷൻ ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഘട്ടങ്ങൾ

വ്യവകലനം ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ജോടി സമവാക്യങ്ങൾ സോൾവ് ചെയ്യാൻ, ആദ്യം വേരിയബിളുകളിൽ ഒന്നിനായി സമവാക്യങ്ങളിലൊന്ന് സോൾവ് ചെയ്യുക. തുടർന്ന്, രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിലെ ആ വേരിയബിളിനുള്ള ഫലം സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക.

$$x+\left(-a\right)y=-23,2x+y=-1$$

സമവാക്യങ്ങളിലൊന്ന് നോക്കിയെടുത്ത്, സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇടതുഭാഗത്തുള്ള x മാറ്റിനിർത്തിക്കൊണ്ട് x എന്നതിനായി അത് സോൾവ് ചെയ്യുക.

$$x+\left(-a\right)y=-23$$

സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലും ay ചേർക്കുക.

$$x=ay-23$$

2x+y=-1 എന്ന മറ്റ് സമവാക്യങ്ങളിൽ x എന്നതിനായി ay-23 സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക.

$$2\left(ay-23\right)+y=-1$$

2, ay-23 എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക.

$$2ay-46+y=-1$$

2ay, y എന്നതിൽ ചേർക്കുക.

$$\left(2a+1\right)y-46=-1$$

സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലും 46 ചേർക്കുക.

$$\left(2a+1\right)y=45$$

ഇരുവശങ്ങളെയും 2a+1 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

$$y=\frac{45}{2a+1}$$

x=ay-23 എന്നതിലെ y എന്നതിനായി \frac{45}{2a+1} സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക. സംജാതമാകുന്ന സമവാക്യത്തിൽ ഒരേയൊരു വേരിയബിൾ മാത്രമുള്ളതിനാൽ, നിങ്ങൾക്ക് x എന്നതിനായി നേരിട്ട് സോൾവ് ചെയ്യാനാകും.

$$x=a\times \frac{45}{2a+1}-23$$

a, \frac{45}{2a+1} എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക.

$$x=\frac{45a}{2a+1}-23$$

-23, \frac{45a}{2a+1} എന്നതിൽ ചേർക്കുക.

$$x=-\frac{a+23}{2a+1}$$

സിസ്റ്റം ഇപ്പോൾ പരിഹരിച്ചു.

$$x=-\frac{a+23}{2a+1},y=\frac{45}{2a+1}$$

മെട്രീസുകൾ ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഘട്ടങ്ങൾ

സമവാക്യങ്ങൾ സാധാരണ രൂപത്തിൽ നൽകിയ ശേഷം സമവാക്യ ഘടന സോൾവ് ചെയ്യാനുള്ള മെട്രീസുകൾ ഉപയോഗിക്കുക.

$$x+\left(-a\right)y=-23,2x+y=-1$$

സമവാക്യങ്ങൾ മെട്രിക്സ് രൂപത്തിൽ എഴുതുക.

$$\left(\begin{matrix}1&-a\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-23\\-1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-a\\2&1\end{matrix}\right) എന്നതിന്‍റെ വിപരീത മെട്രിക്‌സ് കൊണ്ട് സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇടതുഭാഗം ഗുണിക്കുക.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-a\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-a\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-a\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-23\\-1\end{matrix}\right)$$

ഒരു മെട്രിക്‌സിന്‍റെയും അതിന്‍റെ വിപരീതത്തിന്‍റെയും ഗുണനഫലം അനന്യതാ മെട്രിക്‌സ് ആണ്.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-a\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-23\\-1\end{matrix}\right)$$

സമചിഹ്നത്തിന് ഇടതുഭാഗത്തുള്ള മെട്രിക്‌സുകൾ ഗുണിക്കുക.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-a\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-23\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 മെട്രിക്സ് \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) എന്നതിനുള്ള, വിപരീത മെട്രിക്സ് \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ആണ്, അതിനാൽ മെട്രിക്സ് സമവാക്യം ഒരു മെട്രിക്സ് ഗുണന പ്രശ്നമായി മാറ്റിയെഴുതാവുന്നതാണ്.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-a\right)\times 2}&-\frac{-a}{1-\left(-a\right)\times 2}\\-\frac{2}{1-\left(-a\right)\times 2}&\frac{1}{1-\left(-a\right)\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-23\\-1\end{matrix}\right)$$

ഗണിതം ചെയ്യുക.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2a+1}&\frac{a}{2a+1}\\-\frac{2}{2a+1}&\frac{1}{2a+1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-23\\-1\end{matrix}\right)$$

മെട്രീസുകൾ ഗുണിക്കുക.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2a+1}\left(-23\right)+\frac{a}{2a+1}\left(-1\right)\\\left(-\frac{2}{2a+1}\right)\left(-23\right)+\frac{1}{2a+1}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

ഗണിതം ചെയ്യുക.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{a+23}{2a+1}\\\frac{45}{2a+1}\end{matrix}\right)$$

x, y എന്നീ മെട്രിക്സ് ഘടകാംശങ്ങൾ വേർതിരിച്ചെടുക്കുക.

$$x=-\frac{a+23}{2a+1},y=\frac{45}{2a+1}$$

എലിമിനേഷൻ ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഘട്ടങ്ങൾ

എലിമിനേഷൻ ഉപയോഗിച്ച് സോൾവ് ചെയ്യുന്നതിന്, വേരിയബിളുകളിൽ ഒന്നിന്റെ കോഎഫിഷ്യന്റുകൾ ഇരുസമവാക്യങ്ങളിലും ഒന്നുതന്നെയായിരിക്കണം, എന്നാൽ മാത്രമേ ഒരു സമവാക്യം മറ്റൊന്നിൽ നിന്നും വ്യവകലനം ചെയ്യുമ്പോൾ വേരിയബിൾ റദ്ദാക്കപ്പെടുകയുള്ളൂ.

$$x+\left(-a\right)y=-23,2x+y=-1$$

x, 2x എന്നിവ തുല്യമാക്കാൻ, ആദ്യ സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലെ എല്ലാ പദങ്ങളെയും 2 കൊണ്ടും രണ്ടാമത്തേതിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലെ എല്ലാ പദങ്ങളെയും 1 കൊണ്ടും ഗുണിക്കുക.

$$2x+2\left(-a\right)y=2\left(-23\right),2x+y=-1$$

ലഘൂകരിക്കുക.

$$2x+\left(-2a\right)y=-46,2x+y=-1$$

സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലുമുള്ള ഒരുപോലുള്ള പദങ്ങൾ കുറച്ച് 2x+\left(-2a\right)y=-46 എന്നതിൽ നിന്ന് 2x+y=-1 കുറയ്ക്കുക.

$$2x-2x+\left(-2a\right)y-y=-46+1$$

2x, -2x എന്നതിൽ ചേർക്കുക. 2x, -2x എന്നീ പദങ്ങൾ റദ്ദാക്കപ്പെട്ടു, സോൾവ് ചെയ്യാനാകുന്ന ഒരേയൊരു വേരിയബിൾ മാത്രമുള്ള സമവാക്യം നൽകുന്നു.

$$\left(-2a\right)y-y=-46+1$$

-2ay, -y എന്നതിൽ ചേർക്കുക.

$$\left(-2a-1\right)y=-46+1$$

-46, 1 എന്നതിൽ ചേർക്കുക.

$$\left(-2a-1\right)y=-45$$

ഇരുവശങ്ങളെയും -2a-1 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

$$y=\frac{45}{2a+1}$$

2x+y=-1 എന്നതിലെ y എന്നതിനായി \frac{45}{2a+1} സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക. സംജാതമാകുന്ന സമവാക്യത്തിൽ ഒരേയൊരു വേരിയബിൾ മാത്രമുള്ളതിനാൽ, നിങ്ങൾക്ക് x എന്നതിനായി നേരിട്ട് സോൾവ് ചെയ്യാനാകും.

$$2x+\frac{45}{2a+1}=-1$$

സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും \frac{45}{2a+1} കുറയ്ക്കുക.

$$2x=-\frac{2\left(a+23\right)}{2a+1}$$

ഇരുവശങ്ങളെയും 2 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

$$x=-\frac{a+23}{2a+1}$$

സിസ്റ്റം ഇപ്പോൾ പരിഹരിച്ചു.

$$x=-\frac{a+23}{2a+1},y=\frac{45}{2a+1}$$