{l}{ty+2=x}{x^2+4y^2=4} സോൾവ് ചെയ്യുക

$$\left\{ \begin{array} { l } { t y + 2 = x } \\ { x ^ { 2 } + 4 y ^ { 2 } = 4 } \end{array} \right.$$

x, y എന്നതിനായി സോൾവ് ചെയ്യുക

$$x=2\text{, }y=0$$

$$x=\frac{2\left(4-t^{2}\right)}{t^{2}+4}\text{, }y=-\frac{4t}{t^{2}+4}$$

സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂഷനും ക്വാഡ്രാട്ടിക് സൂത്രവാക്യവും ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഘട്ടങ്ങൾ

ആദ്യ സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക. ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും x കുറയ്ക്കുക.

$$ty+2-x=0$$

ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും 2 കുറയ്ക്കുക. പൂജ്യത്തിൽ നിന്ന് കിഴിക്കുന്ന എന്തിനും അതിന്‍റെ നെഗറ്റീവ് ഫലം ലഭിക്കുന്നു.

$$ty-x=-2$$

വ്യവകലനം ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ജോടി സമവാക്യങ്ങൾ സോൾവ് ചെയ്യാൻ, ആദ്യം വേരിയബിളുകളിൽ ഒന്നിനായി സമവാക്യങ്ങളിലൊന്ന് സോൾവ് ചെയ്യുക. തുടർന്ന്, രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിലെ ആ വേരിയബിളിനുള്ള ഫലം സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക.

$$ty-x=-2,x^{2}+4y^{2}=4$$

സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇടതുഭാഗത്ത് y മാറ്റിനിർത്തിക്കൊണ്ട് y എന്നതിനായി ty-x=-2 സോൾവ് ചെയ്യുക.

$$ty-x=-2$$

സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും -x കുറയ്ക്കുക.

$$ty=x-2$$

ഇരുവശങ്ങളെയും t കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

$$y=\frac{1}{t}x-\frac{2}{t}$$

x^{2}+4y^{2}=4 എന്ന മറ്റ് സമവാക്യങ്ങളിൽ y എന്നതിനായി \frac{1}{t}x-\frac{2}{t} സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക.

$$x^{2}+4\left(\frac{1}{t}x-\frac{2}{t}\right)^{2}=4$$

\frac{1}{t}x-\frac{2}{t} സ്ക്വയർ ചെയ്യുക.

$$x^{2}+4\left(\left(\frac{1}{t}\right)^{2}x^{2}+2\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}x+\left(-\frac{2}{t}\right)^{2}\right)=4$$

4, \left(\frac{1}{t}\right)^{2}x^{2}+2\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}x+\left(-\frac{2}{t}\right)^{2} എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക.

$$x^{2}+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}x^{2}+8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}x+4\left(-\frac{2}{t}\right)^{2}=4$$

x^{2}, 4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}x^{2} എന്നതിൽ ചേർക്കുക.

$$\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)x^{2}+8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}x+4\left(-\frac{2}{t}\right)^{2}=4$$

സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും 4 കുറയ്ക്കുക.

$$\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)x^{2}+8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}x+4\left(-\frac{2}{t}\right)^{2}-4=0$$

ഈ സമവാക്യം സാധാരണ രൂപത്തിലാണുള്ളത്: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} എന്ന ക്വാഡ്രാട്ടിക് സൂത്രവാക്യത്തിൽ a എന്നതിനായി 1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2} എന്നതും b എന്നതിനായി 4\times 2\times \frac{1}{t}\left(-\frac{2}{t}\right) എന്നതും c എന്നതിനായി \frac{16}{t^{2}}-4 എന്നതും സബ്‌സ്റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക.

$$x=\frac{-8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}±\sqrt{\left(8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}\right)^{2}-4\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)\left(-4+\frac{16}{t^{2}}\right)}}{2\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)}$$

4\times 2\times \frac{1}{t}\left(-\frac{2}{t}\right) സ്ക്വയർ ചെയ്യുക.

$$x=\frac{-8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}±\sqrt{\frac{256}{t^{4}}-4\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)\left(-4+\frac{16}{t^{2}}\right)}}{2\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)}$$

-4, 1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2} എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക.

$$x=\frac{-8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}±\sqrt{\frac{256}{t^{4}}+\left(-4-\frac{16}{t^{2}}\right)\left(-4+\frac{16}{t^{2}}\right)}}{2\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)}$$

-4-\frac{16}{t^{2}}, \frac{16}{t^{2}}-4 എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക.

$$x=\frac{-8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}±\sqrt{\frac{256}{t^{4}}+16-\frac{256}{t^{4}}}}{2\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)}$$

\frac{256}{t^{4}}, -\frac{256}{t^{4}}+16 എന്നതിൽ ചേർക്കുക.

$$x=\frac{-8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}±\sqrt{16}}{2\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)}$$

16 എന്നതിന്‍റെ വർഗ്ഗമൂലം എടുക്കുക.

$$x=\frac{-8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}±4}{2\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)}$$

2, 1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2} എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക.

$$x=\frac{\frac{16}{t^{2}}±4}{2+\frac{8}{t^{2}}}$$

ഇപ്പോൾ ± എന്നത് അധിക ചിഹ്‌നമാകുമ്പോൾ, x=\frac{\frac{16}{t^{2}}±4}{2+\frac{8}{t^{2}}} എന്ന സമവാക്യം സോൾവ് ചെയ്യുക. \frac{16}{t^{2}}, 4 എന്നതിൽ ചേർക്കുക.

$$x=\frac{4+\frac{16}{t^{2}}}{2+\frac{8}{t^{2}}}$$

2+\frac{8}{t^{2}} കൊണ്ട് 4+\frac{16}{t^{2}} എന്നതിനെ ഹരിക്കുക.

$$x=2$$

ഇപ്പോൾ ± എന്നത് വ്യവകലന ചിഹ്‌നമാകുമ്പോൾ, x=\frac{\frac{16}{t^{2}}±4}{2+\frac{8}{t^{2}}} എന്ന സമവാക്യം സോൾവ് ചെയ്യുക. \frac{16}{t^{2}} എന്നതിൽ നിന്ന് 4 വ്യവകലനം ചെയ്യുക.

$$x=\frac{-4+\frac{16}{t^{2}}}{2+\frac{8}{t^{2}}}$$

2+\frac{8}{t^{2}} കൊണ്ട് \frac{16}{t^{2}}-4 എന്നതിനെ ഹരിക്കുക.

$$x=-\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{t^{2}+4}$$

x എന്നതിനായി രണ്ട് സൊല്യൂഷനുകളുണ്ട്: 2, -\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{4+t^{2}} എന്നിവ. ഇരുസമവാക്യങ്ങളെയും തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന y എന്നതിനുള്ള തത്തുല്യ സൊല്യൂഷൻ കണ്ടെത്തുന്നതിന്, y=\frac{1}{t}x-\frac{2}{t} എന്ന സമവാക്യത്തിൽ x എന്നതിനായി 2 സബ്സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക.

$$y=\frac{1}{t}\times 2-\frac{2}{t}$$

\frac{1}{t}, 2 എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക.

$$y=2\times \frac{1}{t}-\frac{2}{t}$$

ഇപ്പോൾ, ഇരു സമവാക്യങ്ങളെയും തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന y എന്നതിനുള്ള തത്തുല്യ സൊല്യൂഷൻ കണ്ടെത്താൻ y=\frac{1}{t}x-\frac{2}{t} എന്ന സമവാക്യത്തിലെ x എന്നതിനായി -\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{4+t^{2}} സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്ത് സോൾവ് ചെയ്യുക.

$$y=\frac{1}{t}\left(-\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{t^{2}+4}\right)-\frac{2}{t}$$

\frac{1}{t}, -\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{4+t^{2}} എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക.

$$y=\left(-\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{t^{2}+4}\right)\times \frac{1}{t}-\frac{2}{t}$$

സിസ്റ്റം ഇപ്പോൾ പരിഹരിച്ചു.

$$y=2\times \frac{1}{t}-\frac{2}{t},x=2\text{ or }y=\left(-\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{t^{2}+4}\right)\times \frac{1}{t}-\frac{2}{t},x=-\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{t^{2}+4}$$

x, y എന്നതിനായി സോൾവ് ചെയ്യുക (സങ്കീർണ്ണ സൊല്യൂഷൻ)

$$\left\{\begin{matrix}\\x=2\text{, }y=0\text{, }&\text{unconditionally}\\x=\frac{2\left(4-t^{2}\right)}{t^{2}+4}\text{, }y=-\frac{4t}{t^{2}+4}\text{, }&t\neq -2i\text{ and }t\neq 2i\end{matrix}\right.$$