{l}{a+b=7}{10a+b+45=10b+a} സോൾവ് ചെയ്യുക

$$\left\{ \begin{array} { l } { a + b = 7 } \\ { 10 a + b + 45 = 10 b + a } \end{array} \right.$$

a, b എന്നതിനായി സോൾവ് ചെയ്യുക

$$a=1$$

$$b=6$$

സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂഷൻ ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഘട്ടങ്ങൾ

രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക. ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും 10b കുറയ്ക്കുക.

$$10a+b+45-10b=a$$

-9b നേടാൻ b, -10b എന്നിവ യോജിപ്പിക്കുക.

$$10a-9b+45=a$$

ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും a കുറയ്ക്കുക.

$$10a-9b+45-a=0$$

9a നേടാൻ 10a, -a എന്നിവ യോജിപ്പിക്കുക.

$$9a-9b+45=0$$

ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും 45 കുറയ്ക്കുക. പൂജ്യത്തിൽ നിന്ന് കിഴിക്കുന്ന എന്തിനും അതിന്‍റെ നെഗറ്റീവ് ഫലം ലഭിക്കുന്നു.

$$9a-9b=-45$$

വ്യവകലനം ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ജോടി സമവാക്യങ്ങൾ സോൾവ് ചെയ്യാൻ, ആദ്യം വേരിയബിളുകളിൽ ഒന്നിനായി സമവാക്യങ്ങളിലൊന്ന് സോൾവ് ചെയ്യുക. തുടർന്ന്, രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിലെ ആ വേരിയബിളിനുള്ള ഫലം സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക.

$$a+b=7,9a-9b=-45$$

സമവാക്യങ്ങളിലൊന്ന് നോക്കിയെടുത്ത്, സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇടതുഭാഗത്തുള്ള a മാറ്റിനിർത്തിക്കൊണ്ട് a എന്നതിനായി അത് സോൾവ് ചെയ്യുക.

$$a+b=7$$

സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും b കുറയ്ക്കുക.

$$a=-b+7$$

9a-9b=-45 എന്ന മറ്റ് സമവാക്യങ്ങളിൽ a എന്നതിനായി -b+7 സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക.

$$9\left(-b+7\right)-9b=-45$$

9, -b+7 എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക.

$$-9b+63-9b=-45$$

-9b, -9b എന്നതിൽ ചേർക്കുക.

$$-18b+63=-45$$

സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും 63 കുറയ്ക്കുക.

$$-18b=-108$$

ഇരുവശങ്ങളെയും -18 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

$$b=6$$

a=-b+7 എന്നതിലെ b എന്നതിനായി 6 സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക. സംജാതമാകുന്ന സമവാക്യത്തിൽ ഒരേയൊരു വേരിയബിൾ മാത്രമുള്ളതിനാൽ, നിങ്ങൾക്ക് a എന്നതിനായി നേരിട്ട് സോൾവ് ചെയ്യാനാകും.

$$a=-6+7$$

7, -6 എന്നതിൽ ചേർക്കുക.

$$a=1$$

സിസ്റ്റം ഇപ്പോൾ പരിഹരിച്ചു.

$$a=1,b=6$$

മെട്രീസുകൾ ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഘട്ടങ്ങൾ

രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക. ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും 10b കുറയ്ക്കുക.

$$10a+b+45-10b=a$$

-9b നേടാൻ b, -10b എന്നിവ യോജിപ്പിക്കുക.

$$10a-9b+45=a$$

ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും a കുറയ്ക്കുക.

$$10a-9b+45-a=0$$

9a നേടാൻ 10a, -a എന്നിവ യോജിപ്പിക്കുക.

$$9a-9b+45=0$$

ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും 45 കുറയ്ക്കുക. പൂജ്യത്തിൽ നിന്ന് കിഴിക്കുന്ന എന്തിനും അതിന്‍റെ നെഗറ്റീവ് ഫലം ലഭിക്കുന്നു.

$$9a-9b=-45$$

സമവാക്യങ്ങൾ സാധാരണ രൂപത്തിൽ നൽകിയ ശേഷം സമവാക്യ ഘടന സോൾവ് ചെയ്യാനുള്ള മെട്രീസുകൾ ഉപയോഗിക്കുക.

$$a+b=7,9a-9b=-45$$

സമവാക്യങ്ങൾ മെട്രിക്സ് രൂപത്തിൽ എഴുതുക.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\9&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-45\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&1\\9&-9\end{matrix}\right) എന്നതിന്‍റെ വിപരീത മെട്രിക്‌സ് കൊണ്ട് സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇടതുഭാഗം ഗുണിക്കുക.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\9&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\9&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\9&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-45\end{matrix}\right)$$

ഒരു മെട്രിക്‌സിന്‍റെയും അതിന്‍റെ വിപരീതത്തിന്‍റെയും ഗുണനഫലം അനന്യതാ മെട്രിക്‌സ് ആണ്.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\9&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-45\end{matrix}\right)$$

സമചിഹ്നത്തിന് ഇടതുഭാഗത്തുള്ള മെട്രിക്‌സുകൾ ഗുണിക്കുക.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\9&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-45\end{matrix}\right)$$

2\times 2 മെട്രിക്സ് \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) എന്നതിനുള്ള, വിപരീത മെട്രിക്സ് \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ആണ്, അതിനാൽ മെട്രിക്സ് സമവാക്യം ഒരു മെട്രിക്സ് ഗുണന പ്രശ്നമായി മാറ്റിയെഴുതാവുന്നതാണ്.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{-9-9}&-\frac{1}{-9-9}\\-\frac{9}{-9-9}&\frac{1}{-9-9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-45\end{matrix}\right)$$

ഗണിതം ചെയ്യുക.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{18}\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-45\end{matrix}\right)$$

മെട്രീസുകൾ ഗുണിക്കുക.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 7+\frac{1}{18}\left(-45\right)\\\frac{1}{2}\times 7-\frac{1}{18}\left(-45\right)\end{matrix}\right)$$

ഗണിതം ചെയ്യുക.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\6\end{matrix}\right)$$

a, b എന്നീ മെട്രിക്സ് ഘടകാംശങ്ങൾ വേർതിരിച്ചെടുക്കുക.

$$a=1,b=6$$

എലിമിനേഷൻ ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഘട്ടങ്ങൾ

രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക. ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും 10b കുറയ്ക്കുക.

$$10a+b+45-10b=a$$

-9b നേടാൻ b, -10b എന്നിവ യോജിപ്പിക്കുക.

$$10a-9b+45=a$$

ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും a കുറയ്ക്കുക.

$$10a-9b+45-a=0$$

9a നേടാൻ 10a, -a എന്നിവ യോജിപ്പിക്കുക.

$$9a-9b+45=0$$

ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും 45 കുറയ്ക്കുക. പൂജ്യത്തിൽ നിന്ന് കിഴിക്കുന്ന എന്തിനും അതിന്‍റെ നെഗറ്റീവ് ഫലം ലഭിക്കുന്നു.

$$9a-9b=-45$$

എലിമിനേഷൻ ഉപയോഗിച്ച് സോൾവ് ചെയ്യുന്നതിന്, വേരിയബിളുകളിൽ ഒന്നിന്റെ കോഎഫിഷ്യന്റുകൾ ഇരുസമവാക്യങ്ങളിലും ഒന്നുതന്നെയായിരിക്കണം, എന്നാൽ മാത്രമേ ഒരു സമവാക്യം മറ്റൊന്നിൽ നിന്നും വ്യവകലനം ചെയ്യുമ്പോൾ വേരിയബിൾ റദ്ദാക്കപ്പെടുകയുള്ളൂ.

$$a+b=7,9a-9b=-45$$

a, 9a എന്നിവ തുല്യമാക്കാൻ, ആദ്യ സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലെ എല്ലാ പദങ്ങളെയും 9 കൊണ്ടും രണ്ടാമത്തേതിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലെ എല്ലാ പദങ്ങളെയും 1 കൊണ്ടും ഗുണിക്കുക.

$$9a+9b=9\times 7,9a-9b=-45$$

ലഘൂകരിക്കുക.

$$9a+9b=63,9a-9b=-45$$

സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലുമുള്ള ഒരുപോലുള്ള പദങ്ങൾ കുറച്ച് 9a+9b=63 എന്നതിൽ നിന്ന് 9a-9b=-45 കുറയ്ക്കുക.

$$9a-9a+9b+9b=63+45$$

9a, -9a എന്നതിൽ ചേർക്കുക. 9a, -9a എന്നീ പദങ്ങൾ റദ്ദാക്കപ്പെട്ടു, സോൾവ് ചെയ്യാനാകുന്ന ഒരേയൊരു വേരിയബിൾ മാത്രമുള്ള സമവാക്യം നൽകുന്നു.

$$9b+9b=63+45$$

9b, 9b എന്നതിൽ ചേർക്കുക.

$$18b=63+45$$

63, 45 എന്നതിൽ ചേർക്കുക.

$$18b=108$$

ഇരുവശങ്ങളെയും 18 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

$$b=6$$

9a-9b=-45 എന്നതിലെ b എന്നതിനായി 6 സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക. സംജാതമാകുന്ന സമവാക്യത്തിൽ ഒരേയൊരു വേരിയബിൾ മാത്രമുള്ളതിനാൽ, നിങ്ങൾക്ക് a എന്നതിനായി നേരിട്ട് സോൾവ് ചെയ്യാനാകും.

$$9a-9\times 6=-45$$

-9, 6 എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക.

$$9a-54=-45$$

സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലും 54 ചേർക്കുക.

$$9a=9$$

ഇരുവശങ്ങളെയും 9 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

$$a=1$$

സിസ്റ്റം ഇപ്പോൾ പരിഹരിച്ചു.

$$a=1,b=6$$