{l}{6x+8y=20}{5y+3x=8} സോൾവ് ചെയ്യുക

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 x + 8 y = 20 } \\ { 5 y + 3 x = 8 } \end{array} \right.$$

x, y എന്നതിനായി സോൾവ് ചെയ്യുക

$$x=6$$

$$y=-2$$

സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂഷൻ ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഘട്ടങ്ങൾ

വ്യവകലനം ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ജോടി സമവാക്യങ്ങൾ സോൾവ് ചെയ്യാൻ, ആദ്യം വേരിയബിളുകളിൽ ഒന്നിനായി സമവാക്യങ്ങളിലൊന്ന് സോൾവ് ചെയ്യുക. തുടർന്ന്, രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിലെ ആ വേരിയബിളിനുള്ള ഫലം സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക.

$$6x+8y=20,3x+5y=8$$

സമവാക്യങ്ങളിലൊന്ന് നോക്കിയെടുത്ത്, സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇടതുഭാഗത്തുള്ള x മാറ്റിനിർത്തിക്കൊണ്ട് x എന്നതിനായി അത് സോൾവ് ചെയ്യുക.

$$6x+8y=20$$

സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും 8y കുറയ്ക്കുക.

$$6x=-8y+20$$

ഇരുവശങ്ങളെയും 6 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

$$x=\frac{1}{6}\left(-8y+20\right)$$

\frac{1}{6}, -8y+20 എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക.

$$x=-\frac{4}{3}y+\frac{10}{3}$$

3x+5y=8 എന്ന മറ്റ് സമവാക്യങ്ങളിൽ x എന്നതിനായി \frac{-4y+10}{3} സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക.

$$3\left(-\frac{4}{3}y+\frac{10}{3}\right)+5y=8$$

3, \frac{-4y+10}{3} എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക.

$$-4y+10+5y=8$$

-4y, 5y എന്നതിൽ ചേർക്കുക.

$$y+10=8$$

സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും 10 കുറയ്ക്കുക.

$$y=-2$$

x=-\frac{4}{3}y+\frac{10}{3} എന്നതിലെ y എന്നതിനായി -2 സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക. സംജാതമാകുന്ന സമവാക്യത്തിൽ ഒരേയൊരു വേരിയബിൾ മാത്രമുള്ളതിനാൽ, നിങ്ങൾക്ക് x എന്നതിനായി നേരിട്ട് സോൾവ് ചെയ്യാനാകും.

$$x=-\frac{4}{3}\left(-2\right)+\frac{10}{3}$$

-\frac{4}{3}, -2 എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക.

$$x=\frac{8+10}{3}$$

ഒരു പൊതുവായ ഭിന്നസംഖ്യാഛേദം കണ്ടെത്തി ന്യൂമറേറ്ററുകൾ ചേർക്കാൻ \frac{10}{3} എന്നത് \frac{8}{3} എന്നതിൽ ചേർക്കുക. തുടർന്ന്, സാധ്യമായത്രയും കുറഞ്ഞ പദങ്ങളിലേക്ക് അംശം കുറയ്ക്കുക.

$$x=6$$

സിസ്റ്റം ഇപ്പോൾ പരിഹരിച്ചു.

$$x=6,y=-2$$

മെട്രീസുകൾ ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഘട്ടങ്ങൾ

സമവാക്യങ്ങൾ സാധാരണ രൂപത്തിൽ നൽകിയ ശേഷം സമവാക്യ ഘടന സോൾവ് ചെയ്യാനുള്ള മെട്രീസുകൾ ഉപയോഗിക്കുക.

$$6x+8y=20,3x+5y=8$$

സമവാക്യങ്ങൾ മെട്രിക്സ് രൂപത്തിൽ എഴുതുക.

$$\left(\begin{matrix}6&8\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}6&8\\3&5\end{matrix}\right) എന്നതിന്‍റെ വിപരീത മെട്രിക്‌സ് കൊണ്ട് സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇടതുഭാഗം ഗുണിക്കുക.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&8\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&8\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&8\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

ഒരു മെട്രിക്‌സിന്‍റെയും അതിന്‍റെ വിപരീതത്തിന്‍റെയും ഗുണനഫലം അനന്യതാ മെട്രിക്‌സ് ആണ്.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&8\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

സമചിഹ്നത്തിന് ഇടതുഭാഗത്തുള്ള മെട്രിക്‌സുകൾ ഗുണിക്കുക.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&8\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 മെട്രിക്സ് \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) എന്നതിനുള്ള, വിപരീത മെട്രിക്സ് \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ആണ്, അതിനാൽ മെട്രിക്സ് സമവാക്യം ഒരു മെട്രിക്സ് ഗുണന പ്രശ്നമായി മാറ്റിയെഴുതാവുന്നതാണ്.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{6\times 5-8\times 3}&-\frac{8}{6\times 5-8\times 3}\\-\frac{3}{6\times 5-8\times 3}&\frac{6}{6\times 5-8\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

ഗണിതം ചെയ്യുക.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{6}&-\frac{4}{3}\\-\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

മെട്രീസുകൾ ഗുണിക്കുക.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{6}\times 20-\frac{4}{3}\times 8\\-\frac{1}{2}\times 20+8\end{matrix}\right)$$

ഗണിതം ചെയ്യുക.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-2\end{matrix}\right)$$

x, y എന്നീ മെട്രിക്സ് ഘടകാംശങ്ങൾ വേർതിരിച്ചെടുക്കുക.

$$x=6,y=-2$$

എലിമിനേഷൻ ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഘട്ടങ്ങൾ

എലിമിനേഷൻ ഉപയോഗിച്ച് സോൾവ് ചെയ്യുന്നതിന്, വേരിയബിളുകളിൽ ഒന്നിന്റെ കോഎഫിഷ്യന്റുകൾ ഇരുസമവാക്യങ്ങളിലും ഒന്നുതന്നെയായിരിക്കണം, എന്നാൽ മാത്രമേ ഒരു സമവാക്യം മറ്റൊന്നിൽ നിന്നും വ്യവകലനം ചെയ്യുമ്പോൾ വേരിയബിൾ റദ്ദാക്കപ്പെടുകയുള്ളൂ.

$$6x+8y=20,3x+5y=8$$

6x, 3x എന്നിവ തുല്യമാക്കാൻ, ആദ്യ സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലെ എല്ലാ പദങ്ങളെയും 3 കൊണ്ടും രണ്ടാമത്തേതിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലെ എല്ലാ പദങ്ങളെയും 6 കൊണ്ടും ഗുണിക്കുക.

$$3\times 6x+3\times 8y=3\times 20,6\times 3x+6\times 5y=6\times 8$$

ലഘൂകരിക്കുക.

$$18x+24y=60,18x+30y=48$$

സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലുമുള്ള ഒരുപോലുള്ള പദങ്ങൾ കുറച്ച് 18x+24y=60 എന്നതിൽ നിന്ന് 18x+30y=48 കുറയ്ക്കുക.

$$18x-18x+24y-30y=60-48$$

18x, -18x എന്നതിൽ ചേർക്കുക. 18x, -18x എന്നീ പദങ്ങൾ റദ്ദാക്കപ്പെട്ടു, സോൾവ് ചെയ്യാനാകുന്ന ഒരേയൊരു വേരിയബിൾ മാത്രമുള്ള സമവാക്യം നൽകുന്നു.

$$24y-30y=60-48$$

24y, -30y എന്നതിൽ ചേർക്കുക.

$$-6y=60-48$$

60, -48 എന്നതിൽ ചേർക്കുക.

$$-6y=12$$

ഇരുവശങ്ങളെയും -6 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

$$y=-2$$

3x+5y=8 എന്നതിലെ y എന്നതിനായി -2 സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക. സംജാതമാകുന്ന സമവാക്യത്തിൽ ഒരേയൊരു വേരിയബിൾ മാത്രമുള്ളതിനാൽ, നിങ്ങൾക്ക് x എന്നതിനായി നേരിട്ട് സോൾവ് ചെയ്യാനാകും.

$$3x+5\left(-2\right)=8$$

5, -2 എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക.

$$3x-10=8$$

സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലും 10 ചേർക്കുക.

$$3x=18$$

ഇരുവശങ്ങളെയും 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

$$x=6$$

സിസ്റ്റം ഇപ്പോൾ പരിഹരിച്ചു.

$$x=6,y=-2$$