{l}{30x+40y=1800}{40x+30y=3000} സോൾവ് ചെയ്യുക

$$\left\{ \begin{array} { l } { 30 x + 40 y = 1800 } \\ { 40 x + 30 y = 3000 } \end{array} \right.$$

x, y എന്നതിനായി സോൾവ് ചെയ്യുക

$$x = \frac{660}{7} = 94\frac{2}{7} \approx 94.285714286$$

$$y = -\frac{180}{7} = -25\frac{5}{7} \approx -25.714285714$$

സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂഷൻ ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഘട്ടങ്ങൾ

വ്യവകലനം ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ജോടി സമവാക്യങ്ങൾ സോൾവ് ചെയ്യാൻ, ആദ്യം വേരിയബിളുകളിൽ ഒന്നിനായി സമവാക്യങ്ങളിലൊന്ന് സോൾവ് ചെയ്യുക. തുടർന്ന്, രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിലെ ആ വേരിയബിളിനുള്ള ഫലം സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക.

$$30x+40y=1800,40x+30y=3000$$

സമവാക്യങ്ങളിലൊന്ന് നോക്കിയെടുത്ത്, സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇടതുഭാഗത്തുള്ള x മാറ്റിനിർത്തിക്കൊണ്ട് x എന്നതിനായി അത് സോൾവ് ചെയ്യുക.

$$30x+40y=1800$$

സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും 40y കുറയ്ക്കുക.

$$30x=-40y+1800$$

ഇരുവശങ്ങളെയും 30 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

$$x=\frac{1}{30}\left(-40y+1800\right)$$

\frac{1}{30}, -40y+1800 എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക.

$$x=-\frac{4}{3}y+60$$

40x+30y=3000 എന്ന മറ്റ് സമവാക്യങ്ങളിൽ x എന്നതിനായി -\frac{4y}{3}+60 സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക.

$$40\left(-\frac{4}{3}y+60\right)+30y=3000$$

40, -\frac{4y}{3}+60 എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക.

$$-\frac{160}{3}y+2400+30y=3000$$

-\frac{160y}{3}, 30y എന്നതിൽ ചേർക്കുക.

$$-\frac{70}{3}y+2400=3000$$

സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും 2400 കുറയ്ക്കുക.

$$-\frac{70}{3}y=600$$

-\frac{70}{3} കൊണ്ട് സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളെയും ഹരിക്കുക, ഇത് അംശത്തിന്‍റെ പരസ്പരപൂരകത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളെയും ഗുണിക്കുന്നതിന് തുല്യമാണ്.

$$y=-\frac{180}{7}$$

x=-\frac{4}{3}y+60 എന്നതിലെ y എന്നതിനായി -\frac{180}{7} സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക. സംജാതമാകുന്ന സമവാക്യത്തിൽ ഒരേയൊരു വേരിയബിൾ മാത്രമുള്ളതിനാൽ, നിങ്ങൾക്ക് x എന്നതിനായി നേരിട്ട് സോൾവ് ചെയ്യാനാകും.

$$x=-\frac{4}{3}\left(-\frac{180}{7}\right)+60$$

ന്യൂമറേറ്റർ കൊണ്ട് ന്യൂമറേറ്ററിനെയും ഭിന്നസംഖ്യാഛേദി കൊണ്ട് ഭിന്നസംഖ്യാഛേദിയേയും ഗുണിച്ചുകൊണ്ട് -\frac{4}{3}, -\frac{180}{7} എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക. തുടർന്ന്, സാധ്യമായത്രയും കുറഞ്ഞ പദങ്ങളിലേക്ക് അംശം കുറയ്ക്കുക.

$$x=\frac{240}{7}+60$$

60, \frac{240}{7} എന്നതിൽ ചേർക്കുക.

$$x=\frac{660}{7}$$

സിസ്റ്റം ഇപ്പോൾ പരിഹരിച്ചു.

$$x=\frac{660}{7},y=-\frac{180}{7}$$

മെട്രീസുകൾ ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഘട്ടങ്ങൾ

സമവാക്യങ്ങൾ സാധാരണ രൂപത്തിൽ നൽകിയ ശേഷം സമവാക്യ ഘടന സോൾവ് ചെയ്യാനുള്ള മെട്രീസുകൾ ഉപയോഗിക്കുക.

$$30x+40y=1800,40x+30y=3000$$

സമവാക്യങ്ങൾ മെട്രിക്സ് രൂപത്തിൽ എഴുതുക.

$$\left(\begin{matrix}30&40\\40&30\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1800\\3000\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}30&40\\40&30\end{matrix}\right) എന്നതിന്‍റെ വിപരീത മെട്രിക്‌സ് കൊണ്ട് സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇടതുഭാഗം ഗുണിക്കുക.

$$inverse(\left(\begin{matrix}30&40\\40&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30&40\\40&30\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}30&40\\40&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1800\\3000\end{matrix}\right)$$

ഒരു മെട്രിക്‌സിന്‍റെയും അതിന്‍റെ വിപരീതത്തിന്‍റെയും ഗുണനഫലം അനന്യതാ മെട്രിക്‌സ് ആണ്.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}30&40\\40&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1800\\3000\end{matrix}\right)$$

സമചിഹ്നത്തിന് ഇടതുഭാഗത്തുള്ള മെട്രിക്‌സുകൾ ഗുണിക്കുക.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}30&40\\40&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1800\\3000\end{matrix}\right)$$

2\times 2 മെട്രിക്സ് \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) എന്നതിനുള്ള, വിപരീത മെട്രിക്സ് \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ആണ്, അതിനാൽ മെട്രിക്സ് സമവാക്യം ഒരു മെട്രിക്സ് ഗുണന പ്രശ്നമായി മാറ്റിയെഴുതാവുന്നതാണ്.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{30}{30\times 30-40\times 40}&-\frac{40}{30\times 30-40\times 40}\\-\frac{40}{30\times 30-40\times 40}&\frac{30}{30\times 30-40\times 40}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1800\\3000\end{matrix}\right)$$

ഗണിതം ചെയ്യുക.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{70}&\frac{2}{35}\\\frac{2}{35}&-\frac{3}{70}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1800\\3000\end{matrix}\right)$$

മെട്രീസുകൾ ഗുണിക്കുക.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{70}\times 1800+\frac{2}{35}\times 3000\\\frac{2}{35}\times 1800-\frac{3}{70}\times 3000\end{matrix}\right)$$

ഗണിതം ചെയ്യുക.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{660}{7}\\-\frac{180}{7}\end{matrix}\right)$$

x, y എന്നീ മെട്രിക്സ് ഘടകാംശങ്ങൾ വേർതിരിച്ചെടുക്കുക.

$$x=\frac{660}{7},y=-\frac{180}{7}$$

എലിമിനേഷൻ ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഘട്ടങ്ങൾ

എലിമിനേഷൻ ഉപയോഗിച്ച് സോൾവ് ചെയ്യുന്നതിന്, വേരിയബിളുകളിൽ ഒന്നിന്റെ കോഎഫിഷ്യന്റുകൾ ഇരുസമവാക്യങ്ങളിലും ഒന്നുതന്നെയായിരിക്കണം, എന്നാൽ മാത്രമേ ഒരു സമവാക്യം മറ്റൊന്നിൽ നിന്നും വ്യവകലനം ചെയ്യുമ്പോൾ വേരിയബിൾ റദ്ദാക്കപ്പെടുകയുള്ളൂ.

$$30x+40y=1800,40x+30y=3000$$

30x, 40x എന്നിവ തുല്യമാക്കാൻ, ആദ്യ സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലെ എല്ലാ പദങ്ങളെയും 40 കൊണ്ടും രണ്ടാമത്തേതിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലെ എല്ലാ പദങ്ങളെയും 30 കൊണ്ടും ഗുണിക്കുക.

$$40\times 30x+40\times 40y=40\times 1800,30\times 40x+30\times 30y=30\times 3000$$

ലഘൂകരിക്കുക.

$$1200x+1600y=72000,1200x+900y=90000$$

സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലുമുള്ള ഒരുപോലുള്ള പദങ്ങൾ കുറച്ച് 1200x+1600y=72000 എന്നതിൽ നിന്ന് 1200x+900y=90000 കുറയ്ക്കുക.

$$1200x-1200x+1600y-900y=72000-90000$$

1200x, -1200x എന്നതിൽ ചേർക്കുക. 1200x, -1200x എന്നീ പദങ്ങൾ റദ്ദാക്കപ്പെട്ടു, സോൾവ് ചെയ്യാനാകുന്ന ഒരേയൊരു വേരിയബിൾ മാത്രമുള്ള സമവാക്യം നൽകുന്നു.

$$1600y-900y=72000-90000$$

1600y, -900y എന്നതിൽ ചേർക്കുക.

$$700y=72000-90000$$

72000, -90000 എന്നതിൽ ചേർക്കുക.

$$700y=-18000$$

ഇരുവശങ്ങളെയും 700 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

$$y=-\frac{180}{7}$$

40x+30y=3000 എന്നതിലെ y എന്നതിനായി -\frac{180}{7} സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക. സംജാതമാകുന്ന സമവാക്യത്തിൽ ഒരേയൊരു വേരിയബിൾ മാത്രമുള്ളതിനാൽ, നിങ്ങൾക്ക് x എന്നതിനായി നേരിട്ട് സോൾവ് ചെയ്യാനാകും.

$$40x+30\left(-\frac{180}{7}\right)=3000$$

30, -\frac{180}{7} എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക.

$$40x-\frac{5400}{7}=3000$$

സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലും \frac{5400}{7} ചേർക്കുക.

$$40x=\frac{26400}{7}$$

ഇരുവശങ്ങളെയും 40 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

$$x=\frac{660}{7}$$

സിസ്റ്റം ഇപ്പോൾ പരിഹരിച്ചു.

$$x=\frac{660}{7},y=-\frac{180}{7}$$