{l}{3x-y=19}{2x+7y=5} സോൾവ് ചെയ്യുക

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - y = 19 } \\ { 2 x + 7 y = 5 } \end{array} \right.$$

x, y എന്നതിനായി സോൾവ് ചെയ്യുക

$$x=6$$

$$y=-1$$

സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂഷൻ ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഘട്ടങ്ങൾ

വ്യവകലനം ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ജോടി സമവാക്യങ്ങൾ സോൾവ് ചെയ്യാൻ, ആദ്യം വേരിയബിളുകളിൽ ഒന്നിനായി സമവാക്യങ്ങളിലൊന്ന് സോൾവ് ചെയ്യുക. തുടർന്ന്, രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിലെ ആ വേരിയബിളിനുള്ള ഫലം സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക.

$$3x-y=19,2x+7y=5$$

സമവാക്യങ്ങളിലൊന്ന് നോക്കിയെടുത്ത്, സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇടതുഭാഗത്തുള്ള x മാറ്റിനിർത്തിക്കൊണ്ട് x എന്നതിനായി അത് സോൾവ് ചെയ്യുക.

$$3x-y=19$$

സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലും y ചേർക്കുക.

$$3x=y+19$$

ഇരുവശങ്ങളെയും 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

$$x=\frac{1}{3}\left(y+19\right)$$

\frac{1}{3}, y+19 എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക.

$$x=\frac{1}{3}y+\frac{19}{3}$$

2x+7y=5 എന്ന മറ്റ് സമവാക്യങ്ങളിൽ x എന്നതിനായി \frac{19+y}{3} സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക.

$$2\left(\frac{1}{3}y+\frac{19}{3}\right)+7y=5$$

2, \frac{19+y}{3} എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക.

$$\frac{2}{3}y+\frac{38}{3}+7y=5$$

\frac{2y}{3}, 7y എന്നതിൽ ചേർക്കുക.

$$\frac{23}{3}y+\frac{38}{3}=5$$

സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും \frac{38}{3} കുറയ്ക്കുക.

$$\frac{23}{3}y=-\frac{23}{3}$$

\frac{23}{3} കൊണ്ട് സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളെയും ഹരിക്കുക, ഇത് അംശത്തിന്‍റെ പരസ്പരപൂരകത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളെയും ഗുണിക്കുന്നതിന് തുല്യമാണ്.

$$y=-1$$

x=\frac{1}{3}y+\frac{19}{3} എന്നതിലെ y എന്നതിനായി -1 സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക. സംജാതമാകുന്ന സമവാക്യത്തിൽ ഒരേയൊരു വേരിയബിൾ മാത്രമുള്ളതിനാൽ, നിങ്ങൾക്ക് x എന്നതിനായി നേരിട്ട് സോൾവ് ചെയ്യാനാകും.

$$x=\frac{1}{3}\left(-1\right)+\frac{19}{3}$$

\frac{1}{3}, -1 എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക.

$$x=\frac{-1+19}{3}$$

ഒരു പൊതുവായ ഭിന്നസംഖ്യാഛേദം കണ്ടെത്തി ന്യൂമറേറ്ററുകൾ ചേർക്കാൻ \frac{19}{3} എന്നത് -\frac{1}{3} എന്നതിൽ ചേർക്കുക. തുടർന്ന്, സാധ്യമായത്രയും കുറഞ്ഞ പദങ്ങളിലേക്ക് അംശം കുറയ്ക്കുക.

$$x=6$$

സിസ്റ്റം ഇപ്പോൾ പരിഹരിച്ചു.

$$x=6,y=-1$$

മെട്രീസുകൾ ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഘട്ടങ്ങൾ

സമവാക്യങ്ങൾ സാധാരണ രൂപത്തിൽ നൽകിയ ശേഷം സമവാക്യ ഘടന സോൾവ് ചെയ്യാനുള്ള മെട്രീസുകൾ ഉപയോഗിക്കുക.

$$3x-y=19,2x+7y=5$$

സമവാക്യങ്ങൾ മെട്രിക്സ് രൂപത്തിൽ എഴുതുക.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\2&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}19\\5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&-1\\2&7\end{matrix}\right) എന്നതിന്‍റെ വിപരീത മെട്രിക്‌സ് കൊണ്ട് സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇടതുഭാഗം ഗുണിക്കുക.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\2&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\5\end{matrix}\right)$$

ഒരു മെട്രിക്‌സിന്‍റെയും അതിന്‍റെ വിപരീതത്തിന്‍റെയും ഗുണനഫലം അനന്യതാ മെട്രിക്‌സ് ആണ്.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\5\end{matrix}\right)$$

സമചിഹ്നത്തിന് ഇടതുഭാഗത്തുള്ള മെട്രിക്‌സുകൾ ഗുണിക്കുക.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 മെട്രിക്സ് \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) എന്നതിനുള്ള, വിപരീത മെട്രിക്സ് \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ആണ്, അതിനാൽ മെട്രിക്സ് സമവാക്യം ഒരു മെട്രിക്സ് ഗുണന പ്രശ്നമായി മാറ്റിയെഴുതാവുന്നതാണ്.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{3\times 7-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{3\times 7-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{3\times 7-\left(-2\right)}&\frac{3}{3\times 7-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\5\end{matrix}\right)$$

ഗണിതം ചെയ്യുക.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{23}&\frac{1}{23}\\-\frac{2}{23}&\frac{3}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\5\end{matrix}\right)$$

മെട്രീസുകൾ ഗുണിക്കുക.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{23}\times 19+\frac{1}{23}\times 5\\-\frac{2}{23}\times 19+\frac{3}{23}\times 5\end{matrix}\right)$$

ഗണിതം ചെയ്യുക.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-1\end{matrix}\right)$$

x, y എന്നീ മെട്രിക്സ് ഘടകാംശങ്ങൾ വേർതിരിച്ചെടുക്കുക.

$$x=6,y=-1$$

എലിമിനേഷൻ ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഘട്ടങ്ങൾ

എലിമിനേഷൻ ഉപയോഗിച്ച് സോൾവ് ചെയ്യുന്നതിന്, വേരിയബിളുകളിൽ ഒന്നിന്റെ കോഎഫിഷ്യന്റുകൾ ഇരുസമവാക്യങ്ങളിലും ഒന്നുതന്നെയായിരിക്കണം, എന്നാൽ മാത്രമേ ഒരു സമവാക്യം മറ്റൊന്നിൽ നിന്നും വ്യവകലനം ചെയ്യുമ്പോൾ വേരിയബിൾ റദ്ദാക്കപ്പെടുകയുള്ളൂ.

$$3x-y=19,2x+7y=5$$

3x, 2x എന്നിവ തുല്യമാക്കാൻ, ആദ്യ സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലെ എല്ലാ പദങ്ങളെയും 2 കൊണ്ടും രണ്ടാമത്തേതിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലെ എല്ലാ പദങ്ങളെയും 3 കൊണ്ടും ഗുണിക്കുക.

$$2\times 3x+2\left(-1\right)y=2\times 19,3\times 2x+3\times 7y=3\times 5$$

ലഘൂകരിക്കുക.

$$6x-2y=38,6x+21y=15$$

സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലുമുള്ള ഒരുപോലുള്ള പദങ്ങൾ കുറച്ച് 6x-2y=38 എന്നതിൽ നിന്ന് 6x+21y=15 കുറയ്ക്കുക.

$$6x-6x-2y-21y=38-15$$

6x, -6x എന്നതിൽ ചേർക്കുക. 6x, -6x എന്നീ പദങ്ങൾ റദ്ദാക്കപ്പെട്ടു, സോൾവ് ചെയ്യാനാകുന്ന ഒരേയൊരു വേരിയബിൾ മാത്രമുള്ള സമവാക്യം നൽകുന്നു.

$$-2y-21y=38-15$$

-2y, -21y എന്നതിൽ ചേർക്കുക.

$$-23y=38-15$$

38, -15 എന്നതിൽ ചേർക്കുക.

$$-23y=23$$

ഇരുവശങ്ങളെയും -23 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

$$y=-1$$

2x+7y=5 എന്നതിലെ y എന്നതിനായി -1 സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക. സംജാതമാകുന്ന സമവാക്യത്തിൽ ഒരേയൊരു വേരിയബിൾ മാത്രമുള്ളതിനാൽ, നിങ്ങൾക്ക് x എന്നതിനായി നേരിട്ട് സോൾവ് ചെയ്യാനാകും.

$$2x+7\left(-1\right)=5$$

7, -1 എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക.

$$2x-7=5$$

സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലും 7 ചേർക്കുക.

$$2x=12$$

ഇരുവശങ്ങളെയും 2 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

$$x=6$$

സിസ്റ്റം ഇപ്പോൾ പരിഹരിച്ചു.

$$x=6,y=-1$$