{l}{3X+3Y=9}{X+6Y=4} സോൾവ് ചെയ്യുക

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 X + 3 Y = 9 } \\ { X + 6 Y = 4 } \end{array} \right.$$

X, Y എന്നതിനായി സോൾവ് ചെയ്യുക

$$X = \frac{14}{5} = 2\frac{4}{5} = 2.8$$

$$Y=\frac{1}{5}=0.2$$

സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂഷൻ ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഘട്ടങ്ങൾ

വ്യവകലനം ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ജോടി സമവാക്യങ്ങൾ സോൾവ് ചെയ്യാൻ, ആദ്യം വേരിയബിളുകളിൽ ഒന്നിനായി സമവാക്യങ്ങളിലൊന്ന് സോൾവ് ചെയ്യുക. തുടർന്ന്, രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിലെ ആ വേരിയബിളിനുള്ള ഫലം സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക.

$$3X+3Y=9,X+6Y=4$$

സമവാക്യങ്ങളിലൊന്ന് നോക്കിയെടുത്ത്, സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇടതുഭാഗത്തുള്ള X മാറ്റിനിർത്തിക്കൊണ്ട് X എന്നതിനായി അത് സോൾവ് ചെയ്യുക.

$$3X+3Y=9$$

സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും 3Y കുറയ്ക്കുക.

$$3X=-3Y+9$$

ഇരുവശങ്ങളെയും 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

$$X=\frac{1}{3}\left(-3Y+9\right)$$

\frac{1}{3}, -3Y+9 എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക.

$$X=-Y+3$$

X+6Y=4 എന്ന മറ്റ് സമവാക്യങ്ങളിൽ X എന്നതിനായി -Y+3 സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക.

$$-Y+3+6Y=4$$

-Y, 6Y എന്നതിൽ ചേർക്കുക.

$$5Y+3=4$$

സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും 3 കുറയ്ക്കുക.

$$5Y=1$$

ഇരുവശങ്ങളെയും 5 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

$$Y=\frac{1}{5}$$

X=-Y+3 എന്നതിലെ Y എന്നതിനായി \frac{1}{5} സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക. സംജാതമാകുന്ന സമവാക്യത്തിൽ ഒരേയൊരു വേരിയബിൾ മാത്രമുള്ളതിനാൽ, നിങ്ങൾക്ക് X എന്നതിനായി നേരിട്ട് സോൾവ് ചെയ്യാനാകും.

$$X=-\frac{1}{5}+3$$

3, -\frac{1}{5} എന്നതിൽ ചേർക്കുക.

$$X=\frac{14}{5}$$

സിസ്റ്റം ഇപ്പോൾ പരിഹരിച്ചു.

$$X=\frac{14}{5},Y=\frac{1}{5}$$

മെട്രീസുകൾ ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഘട്ടങ്ങൾ

സമവാക്യങ്ങൾ സാധാരണ രൂപത്തിൽ നൽകിയ ശേഷം സമവാക്യ ഘടന സോൾവ് ചെയ്യാനുള്ള മെട്രീസുകൾ ഉപയോഗിക്കുക.

$$3X+3Y=9,X+6Y=4$$

സമവാക്യങ്ങൾ മെട്രിക്സ് രൂപത്തിൽ എഴുതുക.

$$\left(\begin{matrix}3&3\\1&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&3\\1&6\end{matrix}\right) എന്നതിന്‍റെ വിപരീത മെട്രിക്‌സ് കൊണ്ട് സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇടതുഭാഗം ഗുണിക്കുക.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&3\\1&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&3\\1&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&3\\1&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\4\end{matrix}\right)$$

ഒരു മെട്രിക്‌സിന്‍റെയും അതിന്‍റെ വിപരീതത്തിന്‍റെയും ഗുണനഫലം അനന്യതാ മെട്രിക്‌സ് ആണ്.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&3\\1&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\4\end{matrix}\right)$$

സമചിഹ്നത്തിന് ഇടതുഭാഗത്തുള്ള മെട്രിക്‌സുകൾ ഗുണിക്കുക.

$$\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&3\\1&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 മെട്രിക്സ് \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) എന്നതിനുള്ള, വിപരീത മെട്രിക്സ് \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ആണ്, അതിനാൽ മെട്രിക്സ് സമവാക്യം ഒരു മെട്രിക്സ് ഗുണന പ്രശ്നമായി മാറ്റിയെഴുതാവുന്നതാണ്.

$$\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{3\times 6-3}&-\frac{3}{3\times 6-3}\\-\frac{1}{3\times 6-3}&\frac{3}{3\times 6-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\4\end{matrix}\right)$$

ഗണിതം ചെയ്യുക.

$$\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\\-\frac{1}{15}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\4\end{matrix}\right)$$

മെട്രീസുകൾ ഗുണിക്കുക.

$$\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\times 9-\frac{1}{5}\times 4\\-\frac{1}{15}\times 9+\frac{1}{5}\times 4\end{matrix}\right)$$

ഗണിതം ചെയ്യുക.

$$\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{14}{5}\\\frac{1}{5}\end{matrix}\right)$$

X, Y എന്നീ മെട്രിക്സ് ഘടകാംശങ്ങൾ വേർതിരിച്ചെടുക്കുക.

$$X=\frac{14}{5},Y=\frac{1}{5}$$

എലിമിനേഷൻ ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഘട്ടങ്ങൾ

എലിമിനേഷൻ ഉപയോഗിച്ച് സോൾവ് ചെയ്യുന്നതിന്, വേരിയബിളുകളിൽ ഒന്നിന്റെ കോഎഫിഷ്യന്റുകൾ ഇരുസമവാക്യങ്ങളിലും ഒന്നുതന്നെയായിരിക്കണം, എന്നാൽ മാത്രമേ ഒരു സമവാക്യം മറ്റൊന്നിൽ നിന്നും വ്യവകലനം ചെയ്യുമ്പോൾ വേരിയബിൾ റദ്ദാക്കപ്പെടുകയുള്ളൂ.

$$3X+3Y=9,X+6Y=4$$

3X, X എന്നിവ തുല്യമാക്കാൻ, ആദ്യ സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലെ എല്ലാ പദങ്ങളെയും 1 കൊണ്ടും രണ്ടാമത്തേതിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലെ എല്ലാ പദങ്ങളെയും 3 കൊണ്ടും ഗുണിക്കുക.

$$3X+3Y=9,3X+3\times 6Y=3\times 4$$

ലഘൂകരിക്കുക.

$$3X+3Y=9,3X+18Y=12$$

സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലുമുള്ള ഒരുപോലുള്ള പദങ്ങൾ കുറച്ച് 3X+3Y=9 എന്നതിൽ നിന്ന് 3X+18Y=12 കുറയ്ക്കുക.

$$3X-3X+3Y-18Y=9-12$$

3X, -3X എന്നതിൽ ചേർക്കുക. 3X, -3X എന്നീ പദങ്ങൾ റദ്ദാക്കപ്പെട്ടു, സോൾവ് ചെയ്യാനാകുന്ന ഒരേയൊരു വേരിയബിൾ മാത്രമുള്ള സമവാക്യം നൽകുന്നു.

$$3Y-18Y=9-12$$

3Y, -18Y എന്നതിൽ ചേർക്കുക.

$$-15Y=9-12$$

9, -12 എന്നതിൽ ചേർക്കുക.

$$-15Y=-3$$

ഇരുവശങ്ങളെയും -15 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

$$Y=\frac{1}{5}$$

X+6Y=4 എന്നതിലെ Y എന്നതിനായി \frac{1}{5} സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക. സംജാതമാകുന്ന സമവാക്യത്തിൽ ഒരേയൊരു വേരിയബിൾ മാത്രമുള്ളതിനാൽ, നിങ്ങൾക്ക് X എന്നതിനായി നേരിട്ട് സോൾവ് ചെയ്യാനാകും.

$$X+6\times \frac{1}{5}=4$$

6, \frac{1}{5} എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക.

$$X+\frac{6}{5}=4$$

സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും \frac{6}{5} കുറയ്ക്കുക.

$$X=\frac{14}{5}$$

സിസ്റ്റം ഇപ്പോൾ പരിഹരിച്ചു.

$$X=\frac{14}{5},Y=\frac{1}{5}$$