{l}{2x-3y=5}{-4x-9y=19} സോൾവ് ചെയ്യുക

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 3 y = 5 } \\ { - 4 x - 9 y = 19 } \end{array} \right.$$

x, y എന്നതിനായി സോൾവ് ചെയ്യുക

$$x=-\frac{2}{5}=-0.4$$

$$y = -\frac{29}{15} = -1\frac{14}{15} \approx -1.933333333$$

സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂഷൻ ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഘട്ടങ്ങൾ

വ്യവകലനം ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ജോടി സമവാക്യങ്ങൾ സോൾവ് ചെയ്യാൻ, ആദ്യം വേരിയബിളുകളിൽ ഒന്നിനായി സമവാക്യങ്ങളിലൊന്ന് സോൾവ് ചെയ്യുക. തുടർന്ന്, രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിലെ ആ വേരിയബിളിനുള്ള ഫലം സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക.

$$2x-3y=5,-4x-9y=19$$

സമവാക്യങ്ങളിലൊന്ന് നോക്കിയെടുത്ത്, സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇടതുഭാഗത്തുള്ള x മാറ്റിനിർത്തിക്കൊണ്ട് x എന്നതിനായി അത് സോൾവ് ചെയ്യുക.

$$2x-3y=5$$

സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലും 3y ചേർക്കുക.

$$2x=3y+5$$

ഇരുവശങ്ങളെയും 2 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+5\right)$$

\frac{1}{2}, 3y+5 എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക.

$$x=\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}$$

-4x-9y=19 എന്ന മറ്റ് സമവാക്യങ്ങളിൽ x എന്നതിനായി \frac{3y+5}{2} സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക.

$$-4\left(\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}\right)-9y=19$$

-4, \frac{3y+5}{2} എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക.

$$-6y-10-9y=19$$

-6y, -9y എന്നതിൽ ചേർക്കുക.

$$-15y-10=19$$

സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലും 10 ചേർക്കുക.

$$-15y=29$$

ഇരുവശങ്ങളെയും -15 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

$$y=-\frac{29}{15}$$

x=\frac{3}{2}y+\frac{5}{2} എന്നതിലെ y എന്നതിനായി -\frac{29}{15} സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക. സംജാതമാകുന്ന സമവാക്യത്തിൽ ഒരേയൊരു വേരിയബിൾ മാത്രമുള്ളതിനാൽ, നിങ്ങൾക്ക് x എന്നതിനായി നേരിട്ട് സോൾവ് ചെയ്യാനാകും.

$$x=\frac{3}{2}\left(-\frac{29}{15}\right)+\frac{5}{2}$$

ന്യൂമറേറ്റർ കൊണ്ട് ന്യൂമറേറ്ററിനെയും ഭിന്നസംഖ്യാഛേദി കൊണ്ട് ഭിന്നസംഖ്യാഛേദിയേയും ഗുണിച്ചുകൊണ്ട് \frac{3}{2}, -\frac{29}{15} എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക. തുടർന്ന്, സാധ്യമായത്രയും കുറഞ്ഞ പദങ്ങളിലേക്ക് അംശം കുറയ്ക്കുക.

$$x=-\frac{29}{10}+\frac{5}{2}$$

ഒരു പൊതുവായ ഭിന്നസംഖ്യാഛേദം കണ്ടെത്തി ന്യൂമറേറ്ററുകൾ ചേർക്കാൻ \frac{5}{2} എന്നത് -\frac{29}{10} എന്നതിൽ ചേർക്കുക. തുടർന്ന്, സാധ്യമായത്രയും കുറഞ്ഞ പദങ്ങളിലേക്ക് അംശം കുറയ്ക്കുക.

$$x=-\frac{2}{5}$$

സിസ്റ്റം ഇപ്പോൾ പരിഹരിച്ചു.

$$x=-\frac{2}{5},y=-\frac{29}{15}$$

മെട്രീസുകൾ ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഘട്ടങ്ങൾ

സമവാക്യങ്ങൾ സാധാരണ രൂപത്തിൽ നൽകിയ ശേഷം സമവാക്യ ഘടന സോൾവ് ചെയ്യാനുള്ള മെട്രീസുകൾ ഉപയോഗിക്കുക.

$$2x-3y=5,-4x-9y=19$$

സമവാക്യങ്ങൾ മെട്രിക്സ് രൂപത്തിൽ എഴുതുക.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\-4&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\19\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&-3\\-4&-9\end{matrix}\right) എന്നതിന്‍റെ വിപരീത മെട്രിക്‌സ് കൊണ്ട് സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇടതുഭാഗം ഗുണിക്കുക.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-4&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\-4&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-4&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\19\end{matrix}\right)$$

ഒരു മെട്രിക്‌സിന്‍റെയും അതിന്‍റെ വിപരീതത്തിന്‍റെയും ഗുണനഫലം അനന്യതാ മെട്രിക്‌സ് ആണ്.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-4&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\19\end{matrix}\right)$$

സമചിഹ്നത്തിന് ഇടതുഭാഗത്തുള്ള മെട്രിക്‌സുകൾ ഗുണിക്കുക.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-4&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\19\end{matrix}\right)$$

2\times 2 മെട്രിക്സ് \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) എന്നതിനുള്ള, വിപരീത മെട്രിക്സ് \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ആണ്, അതിനാൽ മെട്രിക്സ് സമവാക്യം ഒരു മെട്രിക്സ് ഗുണന പ്രശ്നമായി മാറ്റിയെഴുതാവുന്നതാണ്.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{2\left(-9\right)-\left(-3\left(-4\right)\right)}&-\frac{-3}{2\left(-9\right)-\left(-3\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{2\left(-9\right)-\left(-3\left(-4\right)\right)}&\frac{2}{2\left(-9\right)-\left(-3\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\19\end{matrix}\right)$$

ഗണിതം ചെയ്യുക.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}&-\frac{1}{10}\\-\frac{2}{15}&-\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\19\end{matrix}\right)$$

മെട്രീസുകൾ ഗുണിക്കുക.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}\times 5-\frac{1}{10}\times 19\\-\frac{2}{15}\times 5-\frac{1}{15}\times 19\end{matrix}\right)$$

ഗണിതം ചെയ്യുക.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}\\-\frac{29}{15}\end{matrix}\right)$$

x, y എന്നീ മെട്രിക്സ് ഘടകാംശങ്ങൾ വേർതിരിച്ചെടുക്കുക.

$$x=-\frac{2}{5},y=-\frac{29}{15}$$

എലിമിനേഷൻ ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഘട്ടങ്ങൾ

എലിമിനേഷൻ ഉപയോഗിച്ച് സോൾവ് ചെയ്യുന്നതിന്, വേരിയബിളുകളിൽ ഒന്നിന്റെ കോഎഫിഷ്യന്റുകൾ ഇരുസമവാക്യങ്ങളിലും ഒന്നുതന്നെയായിരിക്കണം, എന്നാൽ മാത്രമേ ഒരു സമവാക്യം മറ്റൊന്നിൽ നിന്നും വ്യവകലനം ചെയ്യുമ്പോൾ വേരിയബിൾ റദ്ദാക്കപ്പെടുകയുള്ളൂ.

$$2x-3y=5,-4x-9y=19$$

2x, -4x എന്നിവ തുല്യമാക്കാൻ, ആദ്യ സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലെ എല്ലാ പദങ്ങളെയും -4 കൊണ്ടും രണ്ടാമത്തേതിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലെ എല്ലാ പദങ്ങളെയും 2 കൊണ്ടും ഗുണിക്കുക.

$$-4\times 2x-4\left(-3\right)y=-4\times 5,2\left(-4\right)x+2\left(-9\right)y=2\times 19$$

ലഘൂകരിക്കുക.

$$-8x+12y=-20,-8x-18y=38$$

സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലുമുള്ള ഒരുപോലുള്ള പദങ്ങൾ കുറച്ച് -8x+12y=-20 എന്നതിൽ നിന്ന് -8x-18y=38 കുറയ്ക്കുക.

$$-8x+8x+12y+18y=-20-38$$

-8x, 8x എന്നതിൽ ചേർക്കുക. -8x, 8x എന്നീ പദങ്ങൾ റദ്ദാക്കപ്പെട്ടു, സോൾവ് ചെയ്യാനാകുന്ന ഒരേയൊരു വേരിയബിൾ മാത്രമുള്ള സമവാക്യം നൽകുന്നു.

$$12y+18y=-20-38$$

12y, 18y എന്നതിൽ ചേർക്കുക.

$$30y=-20-38$$

-20, -38 എന്നതിൽ ചേർക്കുക.

$$30y=-58$$

ഇരുവശങ്ങളെയും 30 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

$$y=-\frac{29}{15}$$

-4x-9y=19 എന്നതിലെ y എന്നതിനായി -\frac{29}{15} സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക. സംജാതമാകുന്ന സമവാക്യത്തിൽ ഒരേയൊരു വേരിയബിൾ മാത്രമുള്ളതിനാൽ, നിങ്ങൾക്ക് x എന്നതിനായി നേരിട്ട് സോൾവ് ചെയ്യാനാകും.

$$-4x-9\left(-\frac{29}{15}\right)=19$$

-9, -\frac{29}{15} എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക.

$$-4x+\frac{87}{5}=19$$

സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും \frac{87}{5} കുറയ്ക്കുക.

$$-4x=\frac{8}{5}$$

ഇരുവശങ്ങളെയും -4 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

$$x=-\frac{2}{5}$$

സിസ്റ്റം ഇപ്പോൾ പരിഹരിച്ചു.

$$x=-\frac{2}{5},y=-\frac{29}{15}$$