{l}{2m-3n=1}{15/9m-2n=1} സോൾവ് ചെയ്യുക

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 m - 3 n = 1 } \\ { \frac { 15 } { 9 } m - 2 n = 1 } \end{array} \right.$$

m, n എന്നതിനായി സോൾവ് ചെയ്യുക

$$m=1$$

$$n=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂഷൻ ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഘട്ടങ്ങൾ

വ്യവകലനം ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ജോടി സമവാക്യങ്ങൾ സോൾവ് ചെയ്യാൻ, ആദ്യം വേരിയബിളുകളിൽ ഒന്നിനായി സമവാക്യങ്ങളിലൊന്ന് സോൾവ് ചെയ്യുക. തുടർന്ന്, രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിലെ ആ വേരിയബിളിനുള്ള ഫലം സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക.

$$2m-3n=1,\frac{5}{3}m-2n=1$$

സമവാക്യങ്ങളിലൊന്ന് നോക്കിയെടുത്ത്, സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇടതുഭാഗത്തുള്ള m മാറ്റിനിർത്തിക്കൊണ്ട് m എന്നതിനായി അത് സോൾവ് ചെയ്യുക.

$$2m-3n=1$$

സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലും 3n ചേർക്കുക.

$$2m=3n+1$$

ഇരുവശങ്ങളെയും 2 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

$$m=\frac{1}{2}\left(3n+1\right)$$

\frac{1}{2}, 3n+1 എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക.

$$m=\frac{3}{2}n+\frac{1}{2}$$

\frac{5}{3}m-2n=1 എന്ന മറ്റ് സമവാക്യങ്ങളിൽ m എന്നതിനായി \frac{3n+1}{2} സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക.

$$\frac{5}{3}\left(\frac{3}{2}n+\frac{1}{2}\right)-2n=1$$

\frac{5}{3}, \frac{3n+1}{2} എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക.

$$\frac{5}{2}n+\frac{5}{6}-2n=1$$

\frac{5n}{2}, -2n എന്നതിൽ ചേർക്കുക.

$$\frac{1}{2}n+\frac{5}{6}=1$$

സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും \frac{5}{6} കുറയ്ക്കുക.

$$\frac{1}{2}n=\frac{1}{6}$$

ഇരുവശങ്ങളെയും 2 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക.

$$n=\frac{1}{3}$$

m=\frac{3}{2}n+\frac{1}{2} എന്നതിലെ n എന്നതിനായി \frac{1}{3} സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക. സംജാതമാകുന്ന സമവാക്യത്തിൽ ഒരേയൊരു വേരിയബിൾ മാത്രമുള്ളതിനാൽ, നിങ്ങൾക്ക് m എന്നതിനായി നേരിട്ട് സോൾവ് ചെയ്യാനാകും.

$$m=\frac{3}{2}\times \frac{1}{3}+\frac{1}{2}$$

ന്യൂമറേറ്റർ കൊണ്ട് ന്യൂമറേറ്ററിനെയും ഭിന്നസംഖ്യാഛേദി കൊണ്ട് ഭിന്നസംഖ്യാഛേദിയേയും ഗുണിച്ചുകൊണ്ട് \frac{3}{2}, \frac{1}{3} എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക. തുടർന്ന്, സാധ്യമായത്രയും കുറഞ്ഞ പദങ്ങളിലേക്ക് അംശം കുറയ്ക്കുക.

$$m=\frac{1+1}{2}$$

ഒരു പൊതുവായ ഭിന്നസംഖ്യാഛേദം കണ്ടെത്തി ന്യൂമറേറ്ററുകൾ ചേർക്കാൻ \frac{1}{2} എന്നത് \frac{1}{2} എന്നതിൽ ചേർക്കുക. തുടർന്ന്, സാധ്യമായത്രയും കുറഞ്ഞ പദങ്ങളിലേക്ക് അംശം കുറയ്ക്കുക.

$$m=1$$

സിസ്റ്റം ഇപ്പോൾ പരിഹരിച്ചു.

$$m=1,n=\frac{1}{3}$$

മെട്രീസുകൾ ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഘട്ടങ്ങൾ

സമവാക്യങ്ങൾ സാധാരണ രൂപത്തിൽ നൽകിയ ശേഷം സമവാക്യ ഘടന സോൾവ് ചെയ്യാനുള്ള മെട്രീസുകൾ ഉപയോഗിക്കുക.

$$2m-3n=1,\frac{5}{3}m-2n=1$$

സമവാക്യങ്ങൾ മെട്രിക്സ് രൂപത്തിൽ എഴുതുക.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&-3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right) എന്നതിന്‍റെ വിപരീത മെട്രിക്‌സ് കൊണ്ട് സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇടതുഭാഗം ഗുണിക്കുക.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

ഒരു മെട്രിക്‌സിന്‍റെയും അതിന്‍റെ വിപരീതത്തിന്‍റെയും ഗുണനഫലം അനന്യതാ മെട്രിക്‌സ് ആണ്.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

സമചിഹ്നത്തിന് ഇടതുഭാഗത്തുള്ള മെട്രിക്‌സുകൾ ഗുണിക്കുക.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2-ന് മാട്രിക്സിന് \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) വിപരീത മാട്രിക്സ് \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ആണ്, അതിനാൽ മാട്രിക്സ് സമവാക്യം ഒരു മാട്രിക്സ് പെരുക്ക പ്രശ്നമായി വീണ്ടും എഴുതാനാവും.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-\left(-3\times \frac{5}{3}\right)}&-\frac{-3}{2\left(-2\right)-\left(-3\times \frac{5}{3}\right)}\\-\frac{\frac{5}{3}}{2\left(-2\right)-\left(-3\times \frac{5}{3}\right)}&\frac{2}{2\left(-2\right)-\left(-3\times \frac{5}{3}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

ഗണിതം ചെയ്യുക.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&3\\-\frac{5}{3}&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

മെട്രീസുകൾ ഗുണിക്കുക.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2+3\\-\frac{5}{3}+2\end{matrix}\right)$$

ഗണിതം ചെയ്യുക.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

m, n എന്നീ മെട്രിക്സ് ഘടകാംശങ്ങൾ വേർതിരിച്ചെടുക്കുക.

$$m=1,n=\frac{1}{3}$$

എലിമിനേഷൻ ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഘട്ടങ്ങൾ

എലിമിനേഷൻ ഉപയോഗിച്ച് സോൾവ് ചെയ്യുന്നതിന്, വേരിയബിളുകളിൽ ഒന്നിന്റെ കോഎഫിഷ്യന്റുകൾ ഇരുസമവാക്യങ്ങളിലും ഒന്നുതന്നെയായിരിക്കണം, എന്നാൽ മാത്രമേ ഒരു സമവാക്യം മറ്റൊന്നിൽ നിന്നും വ്യവകലനം ചെയ്യുമ്പോൾ വേരിയബിൾ റദ്ദാക്കപ്പെടുകയുള്ളൂ.

$$2m-3n=1,\frac{5}{3}m-2n=1$$

2m, \frac{5m}{3} എന്നിവ തുല്യമാക്കാൻ, ആദ്യ സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലെ എല്ലാ പദങ്ങളെയും \frac{5}{3} കൊണ്ടും രണ്ടാമത്തേതിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലെ എല്ലാ പദങ്ങളെയും 2 കൊണ്ടും ഗുണിക്കുക.

$$\frac{5}{3}\times 2m+\frac{5}{3}\left(-3\right)n=\frac{5}{3},2\times \frac{5}{3}m+2\left(-2\right)n=2$$

ലഘൂകരിക്കുക.

$$\frac{10}{3}m-5n=\frac{5}{3},\frac{10}{3}m-4n=2$$

സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലുമുള്ള ഒരുപോലുള്ള പദങ്ങൾ കുറച്ച് \frac{10}{3}m-5n=\frac{5}{3} എന്നതിൽ നിന്ന് \frac{10}{3}m-4n=2 കുറയ്ക്കുക.

$$\frac{10}{3}m-\frac{10}{3}m-5n+4n=\frac{5}{3}-2$$

\frac{10m}{3}, -\frac{10m}{3} എന്നതിൽ ചേർക്കുക. \frac{10m}{3}, -\frac{10m}{3} എന്നീ പദങ്ങൾ റദ്ദാക്കപ്പെട്ടു, സോൾവ് ചെയ്യാനാകുന്ന ഒരേയൊരു വേരിയബിൾ മാത്രമുള്ള സമവാക്യം നൽകുന്നു.

$$-5n+4n=\frac{5}{3}-2$$

-5n, 4n എന്നതിൽ ചേർക്കുക.

$$-n=\frac{5}{3}-2$$

\frac{5}{3}, -2 എന്നതിൽ ചേർക്കുക.

$$-n=-\frac{1}{3}$$

ഇരുവശങ്ങളെയും -1 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

$$n=\frac{1}{3}$$

\frac{5}{3}m-2n=1 എന്നതിലെ n എന്നതിനായി \frac{1}{3} സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക. സംജാതമാകുന്ന സമവാക്യത്തിൽ ഒരേയൊരു വേരിയബിൾ മാത്രമുള്ളതിനാൽ, നിങ്ങൾക്ക് m എന്നതിനായി നേരിട്ട് സോൾവ് ചെയ്യാനാകും.

$$\frac{5}{3}m-2\times \frac{1}{3}=1$$

-2, \frac{1}{3} എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക.

$$\frac{5}{3}m-\frac{2}{3}=1$$

സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലും \frac{2}{3} ചേർക്കുക.

$$\frac{5}{3}m=\frac{5}{3}$$

\frac{5}{3} കൊണ്ട് സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളെയും ഹരിക്കുക, ഇത് അംശത്തിന്‍റെ പരസ്പരപൂരകത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളെയും ഗുണിക്കുന്നതിന് തുല്യമാണ്.

$$m=1$$

സിസ്റ്റം ഇപ്പോൾ പരിഹരിച്ചു.

$$m=1,n=\frac{1}{3}$$