{l}{-7x-4y=62}{3x+y=-2} സോൾവ് ചെയ്യുക

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 7 x - 4 y = 62 } \\ { 3 x + y = - 2 } \end{array} \right.$$

x, y എന്നതിനായി സോൾവ് ചെയ്യുക

$$x = \frac{54}{5} = 10\frac{4}{5} = 10.8$$

$$y = -\frac{172}{5} = -34\frac{2}{5} = -34.4$$

സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂഷൻ ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഘട്ടങ്ങൾ

വ്യവകലനം ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ജോടി സമവാക്യങ്ങൾ സോൾവ് ചെയ്യാൻ, ആദ്യം വേരിയബിളുകളിൽ ഒന്നിനായി സമവാക്യങ്ങളിലൊന്ന് സോൾവ് ചെയ്യുക. തുടർന്ന്, രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിലെ ആ വേരിയബിളിനുള്ള ഫലം സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക.

$$-7x-4y=62,3x+y=-2$$

സമവാക്യങ്ങളിലൊന്ന് നോക്കിയെടുത്ത്, സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇടതുഭാഗത്തുള്ള x മാറ്റിനിർത്തിക്കൊണ്ട് x എന്നതിനായി അത് സോൾവ് ചെയ്യുക.

$$-7x-4y=62$$

സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലും 4y ചേർക്കുക.

$$-7x=4y+62$$

ഇരുവശങ്ങളെയും -7 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

$$x=-\frac{1}{7}\left(4y+62\right)$$

-\frac{1}{7}, 4y+62 എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക.

$$x=-\frac{4}{7}y-\frac{62}{7}$$

3x+y=-2 എന്ന മറ്റ് സമവാക്യങ്ങളിൽ x എന്നതിനായി \frac{-4y-62}{7} സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക.

$$3\left(-\frac{4}{7}y-\frac{62}{7}\right)+y=-2$$

3, \frac{-4y-62}{7} എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക.

$$-\frac{12}{7}y-\frac{186}{7}+y=-2$$

-\frac{12y}{7}, y എന്നതിൽ ചേർക്കുക.

$$-\frac{5}{7}y-\frac{186}{7}=-2$$

സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലും \frac{186}{7} ചേർക്കുക.

$$-\frac{5}{7}y=\frac{172}{7}$$

-\frac{5}{7} കൊണ്ട് സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളെയും ഹരിക്കുക, ഇത് അംശത്തിന്‍റെ പരസ്പരപൂരകത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളെയും ഗുണിക്കുന്നതിന് തുല്യമാണ്.

$$y=-\frac{172}{5}$$

x=-\frac{4}{7}y-\frac{62}{7} എന്നതിലെ y എന്നതിനായി -\frac{172}{5} സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക. സംജാതമാകുന്ന സമവാക്യത്തിൽ ഒരേയൊരു വേരിയബിൾ മാത്രമുള്ളതിനാൽ, നിങ്ങൾക്ക് x എന്നതിനായി നേരിട്ട് സോൾവ് ചെയ്യാനാകും.

$$x=-\frac{4}{7}\left(-\frac{172}{5}\right)-\frac{62}{7}$$

ന്യൂമറേറ്റർ കൊണ്ട് ന്യൂമറേറ്ററിനെയും ഭിന്നസംഖ്യാഛേദി കൊണ്ട് ഭിന്നസംഖ്യാഛേദിയേയും ഗുണിച്ചുകൊണ്ട് -\frac{4}{7}, -\frac{172}{5} എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക. തുടർന്ന്, സാധ്യമായത്രയും കുറഞ്ഞ പദങ്ങളിലേക്ക് അംശം കുറയ്ക്കുക.

$$x=\frac{688}{35}-\frac{62}{7}$$

ഒരു പൊതുവായ ഭിന്നസംഖ്യാഛേദം കണ്ടെത്തി ന്യൂമറേറ്ററുകൾ ചേർക്കാൻ -\frac{62}{7} എന്നത് \frac{688}{35} എന്നതിൽ ചേർക്കുക. തുടർന്ന്, സാധ്യമായത്രയും കുറഞ്ഞ പദങ്ങളിലേക്ക് അംശം കുറയ്ക്കുക.

$$x=\frac{54}{5}$$

സിസ്റ്റം ഇപ്പോൾ പരിഹരിച്ചു.

$$x=\frac{54}{5},y=-\frac{172}{5}$$

മെട്രീസുകൾ ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഘട്ടങ്ങൾ

സമവാക്യങ്ങൾ സാധാരണ രൂപത്തിൽ നൽകിയ ശേഷം സമവാക്യ ഘടന സോൾവ് ചെയ്യാനുള്ള മെട്രീസുകൾ ഉപയോഗിക്കുക.

$$-7x-4y=62,3x+y=-2$$

സമവാക്യങ്ങൾ മെട്രിക്സ് രൂപത്തിൽ എഴുതുക.

$$\left(\begin{matrix}-7&-4\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}62\\-2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-7&-4\\3&1\end{matrix}\right) എന്നതിന്‍റെ വിപരീത മെട്രിക്‌സ് കൊണ്ട് സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇടതുഭാഗം ഗുണിക്കുക.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-7&-4\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7&-4\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-4\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}62\\-2\end{matrix}\right)$$

ഒരു മെട്രിക്‌സിന്‍റെയും അതിന്‍റെ വിപരീതത്തിന്‍റെയും ഗുണനഫലം അനന്യതാ മെട്രിക്‌സ് ആണ്.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-4\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}62\\-2\end{matrix}\right)$$

സമചിഹ്നത്തിന് ഇടതുഭാഗത്തുള്ള മെട്രിക്‌സുകൾ ഗുണിക്കുക.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-4\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}62\\-2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 മെട്രിക്സ് \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) എന്നതിനുള്ള, വിപരീത മെട്രിക്സ് \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ആണ്, അതിനാൽ മെട്രിക്സ് സമവാക്യം ഒരു മെട്രിക്സ് ഗുണന പ്രശ്നമായി മാറ്റിയെഴുതാവുന്നതാണ്.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-7-\left(-4\times 3\right)}&-\frac{-4}{-7-\left(-4\times 3\right)}\\-\frac{3}{-7-\left(-4\times 3\right)}&-\frac{7}{-7-\left(-4\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}62\\-2\end{matrix}\right)$$

ഗണിതം ചെയ്യുക.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{4}{5}\\-\frac{3}{5}&-\frac{7}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}62\\-2\end{matrix}\right)$$

മെട്രീസുകൾ ഗുണിക്കുക.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 62+\frac{4}{5}\left(-2\right)\\-\frac{3}{5}\times 62-\frac{7}{5}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

ഗണിതം ചെയ്യുക.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{54}{5}\\-\frac{172}{5}\end{matrix}\right)$$

x, y എന്നീ മെട്രിക്സ് ഘടകാംശങ്ങൾ വേർതിരിച്ചെടുക്കുക.

$$x=\frac{54}{5},y=-\frac{172}{5}$$

എലിമിനേഷൻ ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഘട്ടങ്ങൾ

എലിമിനേഷൻ ഉപയോഗിച്ച് സോൾവ് ചെയ്യുന്നതിന്, വേരിയബിളുകളിൽ ഒന്നിന്റെ കോഎഫിഷ്യന്റുകൾ ഇരുസമവാക്യങ്ങളിലും ഒന്നുതന്നെയായിരിക്കണം, എന്നാൽ മാത്രമേ ഒരു സമവാക്യം മറ്റൊന്നിൽ നിന്നും വ്യവകലനം ചെയ്യുമ്പോൾ വേരിയബിൾ റദ്ദാക്കപ്പെടുകയുള്ളൂ.

$$-7x-4y=62,3x+y=-2$$

-7x, 3x എന്നിവ തുല്യമാക്കാൻ, ആദ്യ സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലെ എല്ലാ പദങ്ങളെയും 3 കൊണ്ടും രണ്ടാമത്തേതിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലെ എല്ലാ പദങ്ങളെയും -7 കൊണ്ടും ഗുണിക്കുക.

$$3\left(-7\right)x+3\left(-4\right)y=3\times 62,-7\times 3x-7y=-7\left(-2\right)$$

ലഘൂകരിക്കുക.

$$-21x-12y=186,-21x-7y=14$$

സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലുമുള്ള ഒരുപോലുള്ള പദങ്ങൾ കുറച്ച് -21x-12y=186 എന്നതിൽ നിന്ന് -21x-7y=14 കുറയ്ക്കുക.

$$-21x+21x-12y+7y=186-14$$

-21x, 21x എന്നതിൽ ചേർക്കുക. -21x, 21x എന്നീ പദങ്ങൾ റദ്ദാക്കപ്പെട്ടു, സോൾവ് ചെയ്യാനാകുന്ന ഒരേയൊരു വേരിയബിൾ മാത്രമുള്ള സമവാക്യം നൽകുന്നു.

$$-12y+7y=186-14$$

-12y, 7y എന്നതിൽ ചേർക്കുക.

$$-5y=186-14$$

186, -14 എന്നതിൽ ചേർക്കുക.

$$-5y=172$$

ഇരുവശങ്ങളെയും -5 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

$$y=-\frac{172}{5}$$

3x+y=-2 എന്നതിലെ y എന്നതിനായി -\frac{172}{5} സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക. സംജാതമാകുന്ന സമവാക്യത്തിൽ ഒരേയൊരു വേരിയബിൾ മാത്രമുള്ളതിനാൽ, നിങ്ങൾക്ക് x എന്നതിനായി നേരിട്ട് സോൾവ് ചെയ്യാനാകും.

$$3x-\frac{172}{5}=-2$$

സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലും \frac{172}{5} ചേർക്കുക.

$$3x=\frac{162}{5}$$

ഇരുവശങ്ങളെയും 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

$$x=\frac{54}{5}$$

സിസ്റ്റം ഇപ്പോൾ പരിഹരിച്ചു.

$$x=\frac{54}{5},y=-\frac{172}{5}$$