{l}{x-y/4+y+2/7=2y-8}{3y+4=8x-3y/3+9y-5x/4} സോൾവ് ചെയ്യുക

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x - y } { 4 } + \frac { y + 2 } { 7 } = 2 y - 8 } \\ { 3 y + 4 = \frac { 8 x - 3 y } { 3 } + \frac { 9 y - 5 x } { 4 } } \end{array} \right.$$

x, y എന്നതിനായി സോൾവ് ചെയ്യുക

$$x=9$$

$$y=5$$

സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂഷൻ ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഘട്ടങ്ങൾ

ആദ്യ സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക. 4,7 എന്നതിന്‍റെ ലഘുതമ സാധാരണ ഗുണിതമായ 28 ഉപയോഗിച്ച് സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളും ഗുണിക്കുക.

$$7\left(x-y\right)+4\left(y+2\right)=56y-224$$

x-y കൊണ്ട് 7 ഗുണിക്കാൻ ഡിസ്ട്രിബ്യൂട്ടീവ് ഗുണവിശേഷത ഉപയോഗിക്കുക.

$$7x-7y+4\left(y+2\right)=56y-224$$

y+2 കൊണ്ട് 4 ഗുണിക്കാൻ ഡിസ്ട്രിബ്യൂട്ടീവ് ഗുണവിശേഷത ഉപയോഗിക്കുക.

$$7x-7y+4y+8=56y-224$$

-3y നേടാൻ -7y, 4y എന്നിവ യോജിപ്പിക്കുക.

$$7x-3y+8=56y-224$$

ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും 56y കുറയ്ക്കുക.

$$7x-3y+8-56y=-224$$

-59y നേടാൻ -3y, -56y എന്നിവ യോജിപ്പിക്കുക.

$$7x-59y+8=-224$$

ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും 8 കുറയ്ക്കുക.

$$7x-59y=-224-8$$

-232 നേടാൻ -224 എന്നതിൽ നിന്ന് 8 കുറയ്ക്കുക.

$$7x-59y=-232$$

രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക. 3,4 എന്നതിന്‍റെ ലഘുതമ സാധാരണ ഗുണിതമായ 12 ഉപയോഗിച്ച് സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളും ഗുണിക്കുക.

$$36y+48=4\left(8x-3y\right)+3\left(9y-5x\right)$$

8x-3y കൊണ്ട് 4 ഗുണിക്കാൻ ഡിസ്ട്രിബ്യൂട്ടീവ് ഗുണവിശേഷത ഉപയോഗിക്കുക.

$$36y+48=32x-12y+3\left(9y-5x\right)$$

9y-5x കൊണ്ട് 3 ഗുണിക്കാൻ ഡിസ്ട്രിബ്യൂട്ടീവ് ഗുണവിശേഷത ഉപയോഗിക്കുക.

$$36y+48=32x-12y+27y-15x$$

15y നേടാൻ -12y, 27y എന്നിവ യോജിപ്പിക്കുക.

$$36y+48=32x+15y-15x$$

17x നേടാൻ 32x, -15x എന്നിവ യോജിപ്പിക്കുക.

$$36y+48=17x+15y$$

ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും 17x കുറയ്ക്കുക.

$$36y+48-17x=15y$$

ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും 15y കുറയ്ക്കുക.

$$36y+48-17x-15y=0$$

21y നേടാൻ 36y, -15y എന്നിവ യോജിപ്പിക്കുക.

$$21y+48-17x=0$$

ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും 48 കുറയ്ക്കുക. പൂജ്യത്തിൽ നിന്ന് കിഴിക്കുന്ന എന്തിനും അതിന്‍റെ നെഗറ്റീവ് ഫലം ലഭിക്കുന്നു.

$$21y-17x=-48$$

വ്യവകലനം ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ജോടി സമവാക്യങ്ങൾ സോൾവ് ചെയ്യാൻ, ആദ്യം വേരിയബിളുകളിൽ ഒന്നിനായി സമവാക്യങ്ങളിലൊന്ന് സോൾവ് ചെയ്യുക. തുടർന്ന്, രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിലെ ആ വേരിയബിളിനുള്ള ഫലം സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക.

$$7x-59y=-232,-17x+21y=-48$$

സമവാക്യങ്ങളിലൊന്ന് നോക്കിയെടുത്ത്, സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇടതുഭാഗത്തുള്ള x മാറ്റിനിർത്തിക്കൊണ്ട് x എന്നതിനായി അത് സോൾവ് ചെയ്യുക.

$$7x-59y=-232$$

സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലും 59y ചേർക്കുക.

$$7x=59y-232$$

ഇരുവശങ്ങളെയും 7 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

$$x=\frac{1}{7}\left(59y-232\right)$$

\frac{1}{7}, 59y-232 എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക.

$$x=\frac{59}{7}y-\frac{232}{7}$$

-17x+21y=-48 എന്ന മറ്റ് സമവാക്യങ്ങളിൽ x എന്നതിനായി \frac{59y-232}{7} സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക.

$$-17\left(\frac{59}{7}y-\frac{232}{7}\right)+21y=-48$$

-17, \frac{59y-232}{7} എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക.

$$-\frac{1003}{7}y+\frac{3944}{7}+21y=-48$$

-\frac{1003y}{7}, 21y എന്നതിൽ ചേർക്കുക.

$$-\frac{856}{7}y+\frac{3944}{7}=-48$$

സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും \frac{3944}{7} കുറയ്ക്കുക.

$$-\frac{856}{7}y=-\frac{4280}{7}$$

-\frac{856}{7} കൊണ്ട് സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളെയും ഹരിക്കുക, ഇത് അംശത്തിന്‍റെ പരസ്പരപൂരകത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളെയും ഗുണിക്കുന്നതിന് തുല്യമാണ്.

$$y=5$$

x=\frac{59}{7}y-\frac{232}{7} എന്നതിലെ y എന്നതിനായി 5 സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക. സംജാതമാകുന്ന സമവാക്യത്തിൽ ഒരേയൊരു വേരിയബിൾ മാത്രമുള്ളതിനാൽ, നിങ്ങൾക്ക് x എന്നതിനായി നേരിട്ട് സോൾവ് ചെയ്യാനാകും.

$$x=\frac{59}{7}\times 5-\frac{232}{7}$$

\frac{59}{7}, 5 എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക.

$$x=\frac{295-232}{7}$$

ഒരു പൊതുവായ ഭിന്നസംഖ്യാഛേദം കണ്ടെത്തി ന്യൂമറേറ്ററുകൾ ചേർക്കാൻ -\frac{232}{7} എന്നത് \frac{295}{7} എന്നതിൽ ചേർക്കുക. തുടർന്ന്, സാധ്യമായത്രയും കുറഞ്ഞ പദങ്ങളിലേക്ക് അംശം കുറയ്ക്കുക.

$$x=9$$

സിസ്റ്റം ഇപ്പോൾ പരിഹരിച്ചു.

$$x=9,y=5$$

മെട്രീസുകൾ ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഘട്ടങ്ങൾ

ആദ്യ സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക. 4,7 എന്നതിന്‍റെ ലഘുതമ സാധാരണ ഗുണിതമായ 28 ഉപയോഗിച്ച് സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളും ഗുണിക്കുക.

$$7\left(x-y\right)+4\left(y+2\right)=56y-224$$

x-y കൊണ്ട് 7 ഗുണിക്കാൻ ഡിസ്ട്രിബ്യൂട്ടീവ് ഗുണവിശേഷത ഉപയോഗിക്കുക.

$$7x-7y+4\left(y+2\right)=56y-224$$

y+2 കൊണ്ട് 4 ഗുണിക്കാൻ ഡിസ്ട്രിബ്യൂട്ടീവ് ഗുണവിശേഷത ഉപയോഗിക്കുക.

$$7x-7y+4y+8=56y-224$$

-3y നേടാൻ -7y, 4y എന്നിവ യോജിപ്പിക്കുക.

$$7x-3y+8=56y-224$$

ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും 56y കുറയ്ക്കുക.

$$7x-3y+8-56y=-224$$

-59y നേടാൻ -3y, -56y എന്നിവ യോജിപ്പിക്കുക.

$$7x-59y+8=-224$$

ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും 8 കുറയ്ക്കുക.

$$7x-59y=-224-8$$

-232 നേടാൻ -224 എന്നതിൽ നിന്ന് 8 കുറയ്ക്കുക.

$$7x-59y=-232$$

രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക. 3,4 എന്നതിന്‍റെ ലഘുതമ സാധാരണ ഗുണിതമായ 12 ഉപയോഗിച്ച് സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളും ഗുണിക്കുക.

$$36y+48=4\left(8x-3y\right)+3\left(9y-5x\right)$$

8x-3y കൊണ്ട് 4 ഗുണിക്കാൻ ഡിസ്ട്രിബ്യൂട്ടീവ് ഗുണവിശേഷത ഉപയോഗിക്കുക.

$$36y+48=32x-12y+3\left(9y-5x\right)$$

9y-5x കൊണ്ട് 3 ഗുണിക്കാൻ ഡിസ്ട്രിബ്യൂട്ടീവ് ഗുണവിശേഷത ഉപയോഗിക്കുക.

$$36y+48=32x-12y+27y-15x$$

15y നേടാൻ -12y, 27y എന്നിവ യോജിപ്പിക്കുക.

$$36y+48=32x+15y-15x$$

17x നേടാൻ 32x, -15x എന്നിവ യോജിപ്പിക്കുക.

$$36y+48=17x+15y$$

ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും 17x കുറയ്ക്കുക.

$$36y+48-17x=15y$$

ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും 15y കുറയ്ക്കുക.

$$36y+48-17x-15y=0$$

21y നേടാൻ 36y, -15y എന്നിവ യോജിപ്പിക്കുക.

$$21y+48-17x=0$$

ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും 48 കുറയ്ക്കുക. പൂജ്യത്തിൽ നിന്ന് കിഴിക്കുന്ന എന്തിനും അതിന്‍റെ നെഗറ്റീവ് ഫലം ലഭിക്കുന്നു.

$$21y-17x=-48$$

സമവാക്യങ്ങൾ സാധാരണ രൂപത്തിൽ നൽകിയ ശേഷം സമവാക്യ ഘടന സോൾവ് ചെയ്യാനുള്ള മെട്രീസുകൾ ഉപയോഗിക്കുക.

$$7x-59y=-232,-17x+21y=-48$$

സമവാക്യങ്ങൾ മെട്രിക്സ് രൂപത്തിൽ എഴുതുക.

$$\left(\begin{matrix}7&-59\\-17&21\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-232\\-48\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}7&-59\\-17&21\end{matrix}\right) എന്നതിന്‍റെ വിപരീത മെട്രിക്‌സ് കൊണ്ട് സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇടതുഭാഗം ഗുണിക്കുക.

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-59\\-17&21\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-59\\-17&21\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-59\\-17&21\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-232\\-48\end{matrix}\right)$$

ഒരു മെട്രിക്‌സിന്‍റെയും അതിന്‍റെ വിപരീതത്തിന്‍റെയും ഗുണനഫലം അനന്യതാ മെട്രിക്‌സ് ആണ്.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-59\\-17&21\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-232\\-48\end{matrix}\right)$$

സമചിഹ്നത്തിന് ഇടതുഭാഗത്തുള്ള മെട്രിക്‌സുകൾ ഗുണിക്കുക.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-59\\-17&21\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-232\\-48\end{matrix}\right)$$

2\times 2 മെട്രിക്സ് \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) എന്നതിനുള്ള, വിപരീത മെട്രിക്സ് \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ആണ്, അതിനാൽ മെട്രിക്സ് സമവാക്യം ഒരു മെട്രിക്സ് ഗുണന പ്രശ്നമായി മാറ്റിയെഴുതാവുന്നതാണ്.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{21}{7\times 21-\left(-59\left(-17\right)\right)}&-\frac{-59}{7\times 21-\left(-59\left(-17\right)\right)}\\-\frac{-17}{7\times 21-\left(-59\left(-17\right)\right)}&\frac{7}{7\times 21-\left(-59\left(-17\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-232\\-48\end{matrix}\right)$$

ഗണിതം ചെയ്യുക.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{21}{856}&-\frac{59}{856}\\-\frac{17}{856}&-\frac{7}{856}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-232\\-48\end{matrix}\right)$$

മെട്രീസുകൾ ഗുണിക്കുക.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{21}{856}\left(-232\right)-\frac{59}{856}\left(-48\right)\\-\frac{17}{856}\left(-232\right)-\frac{7}{856}\left(-48\right)\end{matrix}\right)$$

ഗണിതം ചെയ്യുക.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\5\end{matrix}\right)$$

x, y എന്നീ മെട്രിക്സ് ഘടകാംശങ്ങൾ വേർതിരിച്ചെടുക്കുക.

$$x=9,y=5$$

എലിമിനേഷൻ ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഘട്ടങ്ങൾ

ആദ്യ സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക. 4,7 എന്നതിന്‍റെ ലഘുതമ സാധാരണ ഗുണിതമായ 28 ഉപയോഗിച്ച് സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളും ഗുണിക്കുക.

$$7\left(x-y\right)+4\left(y+2\right)=56y-224$$

x-y കൊണ്ട് 7 ഗുണിക്കാൻ ഡിസ്ട്രിബ്യൂട്ടീവ് ഗുണവിശേഷത ഉപയോഗിക്കുക.

$$7x-7y+4\left(y+2\right)=56y-224$$

y+2 കൊണ്ട് 4 ഗുണിക്കാൻ ഡിസ്ട്രിബ്യൂട്ടീവ് ഗുണവിശേഷത ഉപയോഗിക്കുക.

$$7x-7y+4y+8=56y-224$$

-3y നേടാൻ -7y, 4y എന്നിവ യോജിപ്പിക്കുക.

$$7x-3y+8=56y-224$$

ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും 56y കുറയ്ക്കുക.

$$7x-3y+8-56y=-224$$

-59y നേടാൻ -3y, -56y എന്നിവ യോജിപ്പിക്കുക.

$$7x-59y+8=-224$$

ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും 8 കുറയ്ക്കുക.

$$7x-59y=-224-8$$

-232 നേടാൻ -224 എന്നതിൽ നിന്ന് 8 കുറയ്ക്കുക.

$$7x-59y=-232$$

രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക. 3,4 എന്നതിന്‍റെ ലഘുതമ സാധാരണ ഗുണിതമായ 12 ഉപയോഗിച്ച് സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളും ഗുണിക്കുക.

$$36y+48=4\left(8x-3y\right)+3\left(9y-5x\right)$$

8x-3y കൊണ്ട് 4 ഗുണിക്കാൻ ഡിസ്ട്രിബ്യൂട്ടീവ് ഗുണവിശേഷത ഉപയോഗിക്കുക.

$$36y+48=32x-12y+3\left(9y-5x\right)$$

9y-5x കൊണ്ട് 3 ഗുണിക്കാൻ ഡിസ്ട്രിബ്യൂട്ടീവ് ഗുണവിശേഷത ഉപയോഗിക്കുക.

$$36y+48=32x-12y+27y-15x$$

15y നേടാൻ -12y, 27y എന്നിവ യോജിപ്പിക്കുക.

$$36y+48=32x+15y-15x$$

17x നേടാൻ 32x, -15x എന്നിവ യോജിപ്പിക്കുക.

$$36y+48=17x+15y$$

ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും 17x കുറയ്ക്കുക.

$$36y+48-17x=15y$$

ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും 15y കുറയ്ക്കുക.

$$36y+48-17x-15y=0$$

21y നേടാൻ 36y, -15y എന്നിവ യോജിപ്പിക്കുക.

$$21y+48-17x=0$$

ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും 48 കുറയ്ക്കുക. പൂജ്യത്തിൽ നിന്ന് കിഴിക്കുന്ന എന്തിനും അതിന്‍റെ നെഗറ്റീവ് ഫലം ലഭിക്കുന്നു.

$$21y-17x=-48$$

എലിമിനേഷൻ ഉപയോഗിച്ച് സോൾവ് ചെയ്യുന്നതിന്, വേരിയബിളുകളിൽ ഒന്നിന്റെ കോഎഫിഷ്യന്റുകൾ ഇരുസമവാക്യങ്ങളിലും ഒന്നുതന്നെയായിരിക്കണം, എന്നാൽ മാത്രമേ ഒരു സമവാക്യം മറ്റൊന്നിൽ നിന്നും വ്യവകലനം ചെയ്യുമ്പോൾ വേരിയബിൾ റദ്ദാക്കപ്പെടുകയുള്ളൂ.

$$7x-59y=-232,-17x+21y=-48$$

7x, -17x എന്നിവ തുല്യമാക്കാൻ, ആദ്യ സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലെ എല്ലാ പദങ്ങളെയും -17 കൊണ്ടും രണ്ടാമത്തേതിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലെ എല്ലാ പദങ്ങളെയും 7 കൊണ്ടും ഗുണിക്കുക.

$$-17\times 7x-17\left(-59\right)y=-17\left(-232\right),7\left(-17\right)x+7\times 21y=7\left(-48\right)$$

ലഘൂകരിക്കുക.

$$-119x+1003y=3944,-119x+147y=-336$$

സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലുമുള്ള ഒരുപോലുള്ള പദങ്ങൾ കുറച്ച് -119x+1003y=3944 എന്നതിൽ നിന്ന് -119x+147y=-336 കുറയ്ക്കുക.

$$-119x+119x+1003y-147y=3944+336$$

-119x, 119x എന്നതിൽ ചേർക്കുക. -119x, 119x എന്നീ പദങ്ങൾ റദ്ദാക്കപ്പെട്ടു, സോൾവ് ചെയ്യാനാകുന്ന ഒരേയൊരു വേരിയബിൾ മാത്രമുള്ള സമവാക്യം നൽകുന്നു.

$$1003y-147y=3944+336$$

1003y, -147y എന്നതിൽ ചേർക്കുക.

$$856y=3944+336$$

3944, 336 എന്നതിൽ ചേർക്കുക.

$$856y=4280$$

ഇരുവശങ്ങളെയും 856 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

$$y=5$$

-17x+21y=-48 എന്നതിലെ y എന്നതിനായി 5 സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക. സംജാതമാകുന്ന സമവാക്യത്തിൽ ഒരേയൊരു വേരിയബിൾ മാത്രമുള്ളതിനാൽ, നിങ്ങൾക്ക് x എന്നതിനായി നേരിട്ട് സോൾവ് ചെയ്യാനാകും.

$$-17x+21\times 5=-48$$

21, 5 എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക.

$$-17x+105=-48$$

സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും 105 കുറയ്ക്കുക.

$$-17x=-153$$

ഇരുവശങ്ങളെയും -17 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

$$x=9$$

സിസ്റ്റം ഇപ്പോൾ പരിഹരിച്ചു.

$$x=9,y=5$$