{l}{x^2/4+y^2/3=1}{y=k(x+1)} സോൾവ് ചെയ്യുക

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x ^ { 2 } } { 4 } + \frac { y ^ { 2 } } { 3 } = 1 } \\ { y = k ( x + 1 ) } \end{array} \right.$$

x, y എന്നതിനായി സോൾവ് ചെയ്യുക

$$x=-\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}\text{, }y=\frac{3k\left(-2\sqrt{k^{2}+1}+1\right)}{4k^{2}+3}$$

$$x=\frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}\text{, }y=\frac{3k\left(2\sqrt{k^{2}+1}+1\right)}{4k^{2}+3}$$

സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂഷനും ക്വാഡ്രാട്ടിക് സൂത്രവാക്യവും ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഘട്ടങ്ങൾ

ആദ്യ സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക. 4,3 എന്നതിന്‍റെ ലഘുതമ സാധാരണ ഗുണിതമായ 12 ഉപയോഗിച്ച് സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളും ഗുണിക്കുക.

$$3x^{2}+4y^{2}=12$$

രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക. x+1 കൊണ്ട് k ഗുണിക്കാൻ ഡിസ്ട്രിബ്യൂട്ടീവ് ഗുണവിശേഷത ഉപയോഗിക്കുക.

$$y=kx+k$$

3x^{2}+4y^{2}=12 എന്ന മറ്റ് സമവാക്യങ്ങളിൽ y എന്നതിനായി kx+k സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക.

$$3x^{2}+4\left(kx+k\right)^{2}=12$$

kx+k സ്ക്വയർ ചെയ്യുക.

$$3x^{2}+4\left(k^{2}x^{2}+2kkx+k^{2}\right)=12$$

4, k^{2}x^{2}+2kkx+k^{2} എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക.

$$3x^{2}+4k^{2}x^{2}+8k^{2}x+4k^{2}=12$$

3x^{2}, 4k^{2}x^{2} എന്നതിൽ ചേർക്കുക.

$$\left(4k^{2}+3\right)x^{2}+8k^{2}x+4k^{2}=12$$

സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും 12 കുറയ്ക്കുക.

$$\left(4k^{2}+3\right)x^{2}+8k^{2}x+4k^{2}-12=0$$

ഈ സമവാക്യം സാധാരണ രൂപത്തിലാണുള്ളത്: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} എന്ന ക്വാഡ്രാട്ടിക് സൂത്രവാക്യത്തിൽ a എന്നതിനായി 3+4k^{2} എന്നതും b എന്നതിനായി 4\times 2kk എന്നതും c എന്നതിനായി 4k^{2}-12 എന്നതും സബ്‌സ്റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക.

$$x=\frac{-8k^{2}±\sqrt{\left(8k^{2}\right)^{2}-4\left(4k^{2}+3\right)\left(4k^{2}-12\right)}}{2\left(4k^{2}+3\right)}$$

4\times 2kk സ്ക്വയർ ചെയ്യുക.

$$x=\frac{-8k^{2}±\sqrt{64k^{4}-4\left(4k^{2}+3\right)\left(4k^{2}-12\right)}}{2\left(4k^{2}+3\right)}$$

-4, 3+4k^{2} എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക.

$$x=\frac{-8k^{2}±\sqrt{64k^{4}+\left(-16k^{2}-12\right)\left(4k^{2}-12\right)}}{2\left(4k^{2}+3\right)}$$

-12-16k^{2}, 4k^{2}-12 എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക.

$$x=\frac{-8k^{2}±\sqrt{64k^{4}+144+144k^{2}-64k^{4}}}{2\left(4k^{2}+3\right)}$$

64k^{4}, 144+144k^{2}-64k^{4} എന്നതിൽ ചേർക്കുക.

$$x=\frac{-8k^{2}±\sqrt{144k^{2}+144}}{2\left(4k^{2}+3\right)}$$

144k^{2}+144 എന്നതിന്‍റെ വർഗ്ഗമൂലം എടുക്കുക.

$$x=\frac{-8k^{2}±12\sqrt{k^{2}+1}}{2\left(4k^{2}+3\right)}$$

2, 3+4k^{2} എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക.

$$x=\frac{-8k^{2}±12\sqrt{k^{2}+1}}{8k^{2}+6}$$

ഇപ്പോൾ ± എന്നത് അധിക ചിഹ്‌നമാകുമ്പോൾ, x=\frac{-8k^{2}±12\sqrt{k^{2}+1}}{8k^{2}+6} എന്ന സമവാക്യം സോൾവ് ചെയ്യുക. -8k^{2}, 12\sqrt{k^{2}+1} എന്നതിൽ ചേർക്കുക.

$$x=\frac{-8k^{2}+12\sqrt{k^{2}+1}}{8k^{2}+6}$$

6+8k^{2} കൊണ്ട് -8k^{2}+12\sqrt{k^{2}+1} എന്നതിനെ ഹരിക്കുക.

$$x=\frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}$$

ഇപ്പോൾ ± എന്നത് വ്യവകലന ചിഹ്‌നമാകുമ്പോൾ, x=\frac{-8k^{2}±12\sqrt{k^{2}+1}}{8k^{2}+6} എന്ന സമവാക്യം സോൾവ് ചെയ്യുക. -8k^{2} എന്നതിൽ നിന്ന് 12\sqrt{k^{2}+1} വ്യവകലനം ചെയ്യുക.

$$x=\frac{-8k^{2}-12\sqrt{k^{2}+1}}{8k^{2}+6}$$

6+8k^{2} കൊണ്ട് -8k^{2}-12\sqrt{k^{2}+1} എന്നതിനെ ഹരിക്കുക.

$$x=-\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}$$

x എന്നതിനായി രണ്ട് സൊല്യൂഷനുകളുണ്ട്: \frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{3+4k^{2}}, -\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{1+k^{2}}\right)}{3+4k^{2}} എന്നിവ. ഇരുസമവാക്യങ്ങളെയും തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന y എന്നതിനുള്ള തത്തുല്യ സൊല്യൂഷൻ കണ്ടെത്തുന്നതിന്, y=kx+k എന്ന സമവാക്യത്തിൽ x എന്നതിനായി \frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{3+4k^{2}} സബ്സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക.

$$y=k\times \frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}+k$$

k, \frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{3+4k^{2}} എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക.

$$y=\frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}k+k$$

ഇപ്പോൾ, ഇരു സമവാക്യങ്ങളെയും തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന y എന്നതിനുള്ള തത്തുല്യ സൊല്യൂഷൻ കണ്ടെത്താൻ y=kx+k എന്ന സമവാക്യത്തിലെ x എന്നതിനായി -\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{1+k^{2}}\right)}{3+4k^{2}} സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്ത് സോൾവ് ചെയ്യുക.

$$y=k\left(-\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}\right)+k$$

k, -\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{1+k^{2}}\right)}{3+4k^{2}} എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക.

$$y=\left(-\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}\right)k+k$$

സിസ്റ്റം ഇപ്പോൾ പരിഹരിച്ചു.

$$y=\frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}k+k,x=\frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}\text{ or }y=\left(-\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}\right)k+k,x=-\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}$$

x, y എന്നതിനായി സോൾവ് ചെയ്യുക (സങ്കീർണ്ണ സൊല്യൂഷൻ)

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}\text{, }y=\frac{3k\left(-2\sqrt{k^{2}+1}+1\right)}{4k^{2}+3}\text{; }x=\frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}\text{, }y=\frac{3k\left(2\sqrt{k^{2}+1}+1\right)}{4k^{2}+3}\text{, }&k\neq -\frac{\sqrt{3}i}{2}\text{ and }k\neq \frac{\sqrt{3}i}{2}\\x=\frac{3-k^{2}}{2k^{2}}\text{, }y=\frac{k^{2}+3}{2k}\text{, }&k=-\frac{\sqrt{3}i}{2}\text{ or }k=\frac{\sqrt{3}i}{2}\end{matrix}\right.$$