{l}{x+y+1/5=1/3(y+1)}{y-5/4-1=x-y} സോൾവ് ചെയ്യുക

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x + y + 1 } { 5 } = \frac { 1 } { 3 } ( y + 1 ) } \\ { \frac { y - 5 } { 4 } - 1 = x - y } \end{array} \right.$$

x, y എന്നതിനായി സോൾവ് ചെയ്യുക

$$x=4$$

$$y=5$$

സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂഷൻ ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഘട്ടങ്ങൾ

ആദ്യ സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക. 5,3 എന്നതിന്‍റെ ലഘുതമ സാധാരണ ഗുണിതമായ 15 ഉപയോഗിച്ച് സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളും ഗുണിക്കുക.

$$3\left(x+y+1\right)=5\left(y+1\right)$$

x+y+1 കൊണ്ട് 3 ഗുണിക്കാൻ ഡിസ്ട്രിബ്യൂട്ടീവ് ഗുണവിശേഷത ഉപയോഗിക്കുക.

$$3x+3y+3=5\left(y+1\right)$$

y+1 കൊണ്ട് 5 ഗുണിക്കാൻ ഡിസ്ട്രിബ്യൂട്ടീവ് ഗുണവിശേഷത ഉപയോഗിക്കുക.

$$3x+3y+3=5y+5$$

ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും 5y കുറയ്ക്കുക.

$$3x+3y+3-5y=5$$

-2y നേടാൻ 3y, -5y എന്നിവ യോജിപ്പിക്കുക.

$$3x-2y+3=5$$

ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും 3 കുറയ്ക്കുക.

$$3x-2y=5-3$$

2 നേടാൻ 5 എന്നതിൽ നിന്ന് 3 കുറയ്ക്കുക.

$$3x-2y=2$$

രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക. സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളെയും 4 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക.

$$y-5-4=4x-4y$$

-9 നേടാൻ -5 എന്നതിൽ നിന്ന് 4 കുറയ്ക്കുക.

$$y-9=4x-4y$$

ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും 4x കുറയ്ക്കുക.

$$y-9-4x=-4y$$

4y ഇരു വശങ്ങളിലും ചേർക്കുക.

$$y-9-4x+4y=0$$

5y നേടാൻ y, 4y എന്നിവ യോജിപ്പിക്കുക.

$$5y-9-4x=0$$

9 ഇരു വശങ്ങളിലും ചേർക്കുക. പൂജ്യത്തോട് കൂട്ടുന്ന എന്തിനും അതുതന്നെ ലഭിക്കുന്നു.

$$5y-4x=9$$

വ്യവകലനം ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ജോടി സമവാക്യങ്ങൾ സോൾവ് ചെയ്യാൻ, ആദ്യം വേരിയബിളുകളിൽ ഒന്നിനായി സമവാക്യങ്ങളിലൊന്ന് സോൾവ് ചെയ്യുക. തുടർന്ന്, രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിലെ ആ വേരിയബിളിനുള്ള ഫലം സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക.

$$3x-2y=2,-4x+5y=9$$

സമവാക്യങ്ങളിലൊന്ന് നോക്കിയെടുത്ത്, സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇടതുഭാഗത്തുള്ള x മാറ്റിനിർത്തിക്കൊണ്ട് x എന്നതിനായി അത് സോൾവ് ചെയ്യുക.

$$3x-2y=2$$

സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലും 2y ചേർക്കുക.

$$3x=2y+2$$

ഇരുവശങ്ങളെയും 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y+2\right)$$

\frac{1}{3}, 2+2y എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക.

$$x=\frac{2}{3}y+\frac{2}{3}$$

-4x+5y=9 എന്ന മറ്റ് സമവാക്യങ്ങളിൽ x എന്നതിനായി \frac{2+2y}{3} സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക.

$$-4\left(\frac{2}{3}y+\frac{2}{3}\right)+5y=9$$

-4, \frac{2+2y}{3} എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക.

$$-\frac{8}{3}y-\frac{8}{3}+5y=9$$

-\frac{8y}{3}, 5y എന്നതിൽ ചേർക്കുക.

$$\frac{7}{3}y-\frac{8}{3}=9$$

സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലും \frac{8}{3} ചേർക്കുക.

$$\frac{7}{3}y=\frac{35}{3}$$

\frac{7}{3} കൊണ്ട് സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളെയും ഹരിക്കുക, ഇത് അംശത്തിന്‍റെ പരസ്പരപൂരകത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളെയും ഗുണിക്കുന്നതിന് തുല്യമാണ്.

$$y=5$$

x=\frac{2}{3}y+\frac{2}{3} എന്നതിലെ y എന്നതിനായി 5 സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക. സംജാതമാകുന്ന സമവാക്യത്തിൽ ഒരേയൊരു വേരിയബിൾ മാത്രമുള്ളതിനാൽ, നിങ്ങൾക്ക് x എന്നതിനായി നേരിട്ട് സോൾവ് ചെയ്യാനാകും.

$$x=\frac{2}{3}\times 5+\frac{2}{3}$$

\frac{2}{3}, 5 എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക.

$$x=\frac{10+2}{3}$$

ഒരു പൊതുവായ ഭിന്നസംഖ്യാഛേദം കണ്ടെത്തി ന്യൂമറേറ്ററുകൾ ചേർക്കാൻ \frac{2}{3} എന്നത് \frac{10}{3} എന്നതിൽ ചേർക്കുക. തുടർന്ന്, സാധ്യമായത്രയും കുറഞ്ഞ പദങ്ങളിലേക്ക് അംശം കുറയ്ക്കുക.

$$x=4$$

സിസ്റ്റം ഇപ്പോൾ പരിഹരിച്ചു.

$$x=4,y=5$$

മെട്രീസുകൾ ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഘട്ടങ്ങൾ

ആദ്യ സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക. 5,3 എന്നതിന്‍റെ ലഘുതമ സാധാരണ ഗുണിതമായ 15 ഉപയോഗിച്ച് സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളും ഗുണിക്കുക.

$$3\left(x+y+1\right)=5\left(y+1\right)$$

x+y+1 കൊണ്ട് 3 ഗുണിക്കാൻ ഡിസ്ട്രിബ്യൂട്ടീവ് ഗുണവിശേഷത ഉപയോഗിക്കുക.

$$3x+3y+3=5\left(y+1\right)$$

y+1 കൊണ്ട് 5 ഗുണിക്കാൻ ഡിസ്ട്രിബ്യൂട്ടീവ് ഗുണവിശേഷത ഉപയോഗിക്കുക.

$$3x+3y+3=5y+5$$

ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും 5y കുറയ്ക്കുക.

$$3x+3y+3-5y=5$$

-2y നേടാൻ 3y, -5y എന്നിവ യോജിപ്പിക്കുക.

$$3x-2y+3=5$$

ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും 3 കുറയ്ക്കുക.

$$3x-2y=5-3$$

2 നേടാൻ 5 എന്നതിൽ നിന്ന് 3 കുറയ്ക്കുക.

$$3x-2y=2$$

രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക. സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളെയും 4 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക.

$$y-5-4=4x-4y$$

-9 നേടാൻ -5 എന്നതിൽ നിന്ന് 4 കുറയ്ക്കുക.

$$y-9=4x-4y$$

ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും 4x കുറയ്ക്കുക.

$$y-9-4x=-4y$$

4y ഇരു വശങ്ങളിലും ചേർക്കുക.

$$y-9-4x+4y=0$$

5y നേടാൻ y, 4y എന്നിവ യോജിപ്പിക്കുക.

$$5y-9-4x=0$$

9 ഇരു വശങ്ങളിലും ചേർക്കുക. പൂജ്യത്തോട് കൂട്ടുന്ന എന്തിനും അതുതന്നെ ലഭിക്കുന്നു.

$$5y-4x=9$$

സമവാക്യങ്ങൾ സാധാരണ രൂപത്തിൽ നൽകിയ ശേഷം സമവാക്യ ഘടന സോൾവ് ചെയ്യാനുള്ള മെട്രീസുകൾ ഉപയോഗിക്കുക.

$$3x-2y=2,-4x+5y=9$$

സമവാക്യങ്ങൾ മെട്രിക്സ് രൂപത്തിൽ എഴുതുക.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\-4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\9\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&-2\\-4&5\end{matrix}\right) എന്നതിന്‍റെ വിപരീത മെട്രിക്‌സ് കൊണ്ട് സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇടതുഭാഗം ഗുണിക്കുക.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\-4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\9\end{matrix}\right)$$

ഒരു മെട്രിക്‌സിന്‍റെയും അതിന്‍റെ വിപരീതത്തിന്‍റെയും ഗുണനഫലം അനന്യതാ മെട്രിക്‌സ് ആണ്.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\9\end{matrix}\right)$$

സമചിഹ്നത്തിന് ഇടതുഭാഗത്തുള്ള മെട്രിക്‌സുകൾ ഗുണിക്കുക.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 മെട്രിക്സ് \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) എന്നതിനുള്ള, വിപരീത മെട്രിക്സ് \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ആണ്, അതിനാൽ മെട്രിക്സ് സമവാക്യം ഒരു മെട്രിക്സ് ഗുണന പ്രശ്നമായി മാറ്റിയെഴുതാവുന്നതാണ്.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3\times 5-\left(-2\left(-4\right)\right)}&-\frac{-2}{3\times 5-\left(-2\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{3\times 5-\left(-2\left(-4\right)\right)}&\frac{3}{3\times 5-\left(-2\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\9\end{matrix}\right)$$

ഗണിതം ചെയ്യുക.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{7}&\frac{2}{7}\\\frac{4}{7}&\frac{3}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\9\end{matrix}\right)$$

മെട്രീസുകൾ ഗുണിക്കുക.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{7}\times 2+\frac{2}{7}\times 9\\\frac{4}{7}\times 2+\frac{3}{7}\times 9\end{matrix}\right)$$

ഗണിതം ചെയ്യുക.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

x, y എന്നീ മെട്രിക്സ് ഘടകാംശങ്ങൾ വേർതിരിച്ചെടുക്കുക.

$$x=4,y=5$$

എലിമിനേഷൻ ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഘട്ടങ്ങൾ

ആദ്യ സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക. 5,3 എന്നതിന്‍റെ ലഘുതമ സാധാരണ ഗുണിതമായ 15 ഉപയോഗിച്ച് സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളും ഗുണിക്കുക.

$$3\left(x+y+1\right)=5\left(y+1\right)$$

x+y+1 കൊണ്ട് 3 ഗുണിക്കാൻ ഡിസ്ട്രിബ്യൂട്ടീവ് ഗുണവിശേഷത ഉപയോഗിക്കുക.

$$3x+3y+3=5\left(y+1\right)$$

y+1 കൊണ്ട് 5 ഗുണിക്കാൻ ഡിസ്ട്രിബ്യൂട്ടീവ് ഗുണവിശേഷത ഉപയോഗിക്കുക.

$$3x+3y+3=5y+5$$

ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും 5y കുറയ്ക്കുക.

$$3x+3y+3-5y=5$$

-2y നേടാൻ 3y, -5y എന്നിവ യോജിപ്പിക്കുക.

$$3x-2y+3=5$$

ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും 3 കുറയ്ക്കുക.

$$3x-2y=5-3$$

2 നേടാൻ 5 എന്നതിൽ നിന്ന് 3 കുറയ്ക്കുക.

$$3x-2y=2$$

രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക. സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളെയും 4 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക.

$$y-5-4=4x-4y$$

-9 നേടാൻ -5 എന്നതിൽ നിന്ന് 4 കുറയ്ക്കുക.

$$y-9=4x-4y$$

ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും 4x കുറയ്ക്കുക.

$$y-9-4x=-4y$$

4y ഇരു വശങ്ങളിലും ചേർക്കുക.

$$y-9-4x+4y=0$$

5y നേടാൻ y, 4y എന്നിവ യോജിപ്പിക്കുക.

$$5y-9-4x=0$$

9 ഇരു വശങ്ങളിലും ചേർക്കുക. പൂജ്യത്തോട് കൂട്ടുന്ന എന്തിനും അതുതന്നെ ലഭിക്കുന്നു.

$$5y-4x=9$$

എലിമിനേഷൻ ഉപയോഗിച്ച് സോൾവ് ചെയ്യുന്നതിന്, വേരിയബിളുകളിൽ ഒന്നിന്റെ കോഎഫിഷ്യന്റുകൾ ഇരുസമവാക്യങ്ങളിലും ഒന്നുതന്നെയായിരിക്കണം, എന്നാൽ മാത്രമേ ഒരു സമവാക്യം മറ്റൊന്നിൽ നിന്നും വ്യവകലനം ചെയ്യുമ്പോൾ വേരിയബിൾ റദ്ദാക്കപ്പെടുകയുള്ളൂ.

$$3x-2y=2,-4x+5y=9$$

3x, -4x എന്നിവ തുല്യമാക്കാൻ, ആദ്യ സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലെ എല്ലാ പദങ്ങളെയും -4 കൊണ്ടും രണ്ടാമത്തേതിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലെ എല്ലാ പദങ്ങളെയും 3 കൊണ്ടും ഗുണിക്കുക.

$$-4\times 3x-4\left(-2\right)y=-4\times 2,3\left(-4\right)x+3\times 5y=3\times 9$$

ലഘൂകരിക്കുക.

$$-12x+8y=-8,-12x+15y=27$$

സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലുമുള്ള ഒരുപോലുള്ള പദങ്ങൾ കുറച്ച് -12x+8y=-8 എന്നതിൽ നിന്ന് -12x+15y=27 കുറയ്ക്കുക.

$$-12x+12x+8y-15y=-8-27$$

-12x, 12x എന്നതിൽ ചേർക്കുക. -12x, 12x എന്നീ പദങ്ങൾ റദ്ദാക്കപ്പെട്ടു, സോൾവ് ചെയ്യാനാകുന്ന ഒരേയൊരു വേരിയബിൾ മാത്രമുള്ള സമവാക്യം നൽകുന്നു.

$$8y-15y=-8-27$$

8y, -15y എന്നതിൽ ചേർക്കുക.

$$-7y=-8-27$$

-8, -27 എന്നതിൽ ചേർക്കുക.

$$-7y=-35$$

ഇരുവശങ്ങളെയും -7 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

$$y=5$$

-4x+5y=9 എന്നതിലെ y എന്നതിനായി 5 സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക. സംജാതമാകുന്ന സമവാക്യത്തിൽ ഒരേയൊരു വേരിയബിൾ മാത്രമുള്ളതിനാൽ, നിങ്ങൾക്ക് x എന്നതിനായി നേരിട്ട് സോൾവ് ചെയ്യാനാകും.

$$-4x+5\times 5=9$$

5, 5 എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക.

$$-4x+25=9$$

സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും 25 കുറയ്ക്കുക.

$$-4x=-16$$

ഇരുവശങ്ങളെയും -4 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

$$x=4$$

സിസ്റ്റം ഇപ്പോൾ പരിഹരിച്ചു.

$$x=4,y=5$$