{l}{x+2y/3=-x+3y/4+1}{5x+y=2(x-6)} സോൾവ് ചെയ്യുക

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x + 2 y } { 3 } = \frac { - x + 3 y } { 4 } + 1 } \\ { 5 x + y = 2 ( x - 6 ) } \end{array} \right.$$

x, y എന്നതിനായി സോൾവ് ചെയ്യുക

$$x=0$$

$$y=-12$$

സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂഷൻ ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഘട്ടങ്ങൾ

ആദ്യ സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക. 3,4 എന്നതിന്‍റെ ലഘുതമ സാധാരണ ഗുണിതമായ 12 ഉപയോഗിച്ച് സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളും ഗുണിക്കുക.

$$4\left(x+2y\right)=3\left(-x+3y\right)+12$$

x+2y കൊണ്ട് 4 ഗുണിക്കാൻ ഡിസ്ട്രിബ്യൂട്ടീവ് ഗുണവിശേഷത ഉപയോഗിക്കുക.

$$4x+8y=3\left(-x+3y\right)+12$$

-x+3y കൊണ്ട് 3 ഗുണിക്കാൻ ഡിസ്ട്രിബ്യൂട്ടീവ് ഗുണവിശേഷത ഉപയോഗിക്കുക.

$$4x+8y=3\left(-x\right)+9y+12$$

ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും 3\left(-x\right) കുറയ്ക്കുക.

$$4x+8y-3\left(-x\right)=9y+12$$

ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും 9y കുറയ്ക്കുക.

$$4x+8y-3\left(-x\right)-9y=12$$

-3 നേടാൻ -1, 3 എന്നിവ ഗുണിക്കുക.

$$4x+8y-3\left(-1\right)x-9y=12$$

3 നേടാൻ -3, -1 എന്നിവ ഗുണിക്കുക.

$$4x+8y+3x-9y=12$$

7x നേടാൻ 4x, 3x എന്നിവ യോജിപ്പിക്കുക.

$$7x+8y-9y=12$$

-y നേടാൻ 8y, -9y എന്നിവ യോജിപ്പിക്കുക.

$$7x-y=12$$

രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക. x-6 കൊണ്ട് 2 ഗുണിക്കാൻ ഡിസ്ട്രിബ്യൂട്ടീവ് ഗുണവിശേഷത ഉപയോഗിക്കുക.

$$5x+y=2x-12$$

ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും 2x കുറയ്ക്കുക.

$$5x+y-2x=-12$$

3x നേടാൻ 5x, -2x എന്നിവ യോജിപ്പിക്കുക.

$$3x+y=-12$$

വ്യവകലനം ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ജോടി സമവാക്യങ്ങൾ സോൾവ് ചെയ്യാൻ, ആദ്യം വേരിയബിളുകളിൽ ഒന്നിനായി സമവാക്യങ്ങളിലൊന്ന് സോൾവ് ചെയ്യുക. തുടർന്ന്, രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിലെ ആ വേരിയബിളിനുള്ള ഫലം സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക.

$$7x-y=12,3x+y=-12$$

സമവാക്യങ്ങളിലൊന്ന് നോക്കിയെടുത്ത്, സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇടതുഭാഗത്തുള്ള x മാറ്റിനിർത്തിക്കൊണ്ട് x എന്നതിനായി അത് സോൾവ് ചെയ്യുക.

$$7x-y=12$$

സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലും y ചേർക്കുക.

$$7x=y+12$$

ഇരുവശങ്ങളെയും 7 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

$$x=\frac{1}{7}\left(y+12\right)$$

\frac{1}{7}, y+12 എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക.

$$x=\frac{1}{7}y+\frac{12}{7}$$

3x+y=-12 എന്ന മറ്റ് സമവാക്യങ്ങളിൽ x എന്നതിനായി \frac{12+y}{7} സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക.

$$3\left(\frac{1}{7}y+\frac{12}{7}\right)+y=-12$$

3, \frac{12+y}{7} എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക.

$$\frac{3}{7}y+\frac{36}{7}+y=-12$$

\frac{3y}{7}, y എന്നതിൽ ചേർക്കുക.

$$\frac{10}{7}y+\frac{36}{7}=-12$$

സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും \frac{36}{7} കുറയ്ക്കുക.

$$\frac{10}{7}y=-\frac{120}{7}$$

\frac{10}{7} കൊണ്ട് സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളെയും ഹരിക്കുക, ഇത് അംശത്തിന്‍റെ പരസ്പരപൂരകത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളെയും ഗുണിക്കുന്നതിന് തുല്യമാണ്.

$$y=-12$$

x=\frac{1}{7}y+\frac{12}{7} എന്നതിലെ y എന്നതിനായി -12 സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക. സംജാതമാകുന്ന സമവാക്യത്തിൽ ഒരേയൊരു വേരിയബിൾ മാത്രമുള്ളതിനാൽ, നിങ്ങൾക്ക് x എന്നതിനായി നേരിട്ട് സോൾവ് ചെയ്യാനാകും.

$$x=\frac{1}{7}\left(-12\right)+\frac{12}{7}$$

\frac{1}{7}, -12 എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക.

$$x=\frac{-12+12}{7}$$

ഒരു പൊതുവായ ഭിന്നസംഖ്യാഛേദം കണ്ടെത്തി ന്യൂമറേറ്ററുകൾ ചേർക്കാൻ \frac{12}{7} എന്നത് -\frac{12}{7} എന്നതിൽ ചേർക്കുക. തുടർന്ന്, സാധ്യമായത്രയും കുറഞ്ഞ പദങ്ങളിലേക്ക് അംശം കുറയ്ക്കുക.

$$x=0$$

സിസ്റ്റം ഇപ്പോൾ പരിഹരിച്ചു.

$$x=0,y=-12$$

മെട്രീസുകൾ ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഘട്ടങ്ങൾ

ആദ്യ സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക. 3,4 എന്നതിന്‍റെ ലഘുതമ സാധാരണ ഗുണിതമായ 12 ഉപയോഗിച്ച് സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളും ഗുണിക്കുക.

$$4\left(x+2y\right)=3\left(-x+3y\right)+12$$

x+2y കൊണ്ട് 4 ഗുണിക്കാൻ ഡിസ്ട്രിബ്യൂട്ടീവ് ഗുണവിശേഷത ഉപയോഗിക്കുക.

$$4x+8y=3\left(-x+3y\right)+12$$

-x+3y കൊണ്ട് 3 ഗുണിക്കാൻ ഡിസ്ട്രിബ്യൂട്ടീവ് ഗുണവിശേഷത ഉപയോഗിക്കുക.

$$4x+8y=3\left(-x\right)+9y+12$$

ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും 3\left(-x\right) കുറയ്ക്കുക.

$$4x+8y-3\left(-x\right)=9y+12$$

ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും 9y കുറയ്ക്കുക.

$$4x+8y-3\left(-x\right)-9y=12$$

-3 നേടാൻ -1, 3 എന്നിവ ഗുണിക്കുക.

$$4x+8y-3\left(-1\right)x-9y=12$$

3 നേടാൻ -3, -1 എന്നിവ ഗുണിക്കുക.

$$4x+8y+3x-9y=12$$

7x നേടാൻ 4x, 3x എന്നിവ യോജിപ്പിക്കുക.

$$7x+8y-9y=12$$

-y നേടാൻ 8y, -9y എന്നിവ യോജിപ്പിക്കുക.

$$7x-y=12$$

രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക. x-6 കൊണ്ട് 2 ഗുണിക്കാൻ ഡിസ്ട്രിബ്യൂട്ടീവ് ഗുണവിശേഷത ഉപയോഗിക്കുക.

$$5x+y=2x-12$$

ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും 2x കുറയ്ക്കുക.

$$5x+y-2x=-12$$

3x നേടാൻ 5x, -2x എന്നിവ യോജിപ്പിക്കുക.

$$3x+y=-12$$

സമവാക്യങ്ങൾ സാധാരണ രൂപത്തിൽ നൽകിയ ശേഷം സമവാക്യ ഘടന സോൾവ് ചെയ്യാനുള്ള മെട്രീസുകൾ ഉപയോഗിക്കുക.

$$7x-y=12,3x+y=-12$$

സമവാക്യങ്ങൾ മെട്രിക്സ് രൂപത്തിൽ എഴുതുക.

$$\left(\begin{matrix}7&-1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\-12\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}7&-1\\3&1\end{matrix}\right) എന്നതിന്‍റെ വിപരീത മെട്രിക്‌സ് കൊണ്ട് സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇടതുഭാഗം ഗുണിക്കുക.

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-12\end{matrix}\right)$$

ഒരു മെട്രിക്‌സിന്‍റെയും അതിന്‍റെ വിപരീതത്തിന്‍റെയും ഗുണനഫലം അനന്യതാ മെട്രിക്‌സ് ആണ്.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-12\end{matrix}\right)$$

സമചിഹ്നത്തിന് ഇടതുഭാഗത്തുള്ള മെട്രിക്‌സുകൾ ഗുണിക്കുക.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-12\end{matrix}\right)$$

2\times 2 മെട്രിക്സ് \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) എന്നതിനുള്ള, വിപരീത മെട്രിക്സ് \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ആണ്, അതിനാൽ മെട്രിക്സ് സമവാക്യം ഒരു മെട്രിക്സ് ഗുണന പ്രശ്നമായി മാറ്റിയെഴുതാവുന്നതാണ്.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{7-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{7-\left(-3\right)}&\frac{7}{7-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\-12\end{matrix}\right)$$

ഗണിതം ചെയ്യുക.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&\frac{1}{10}\\-\frac{3}{10}&\frac{7}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\-12\end{matrix}\right)$$

മെട്രീസുകൾ ഗുണിക്കുക.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}\times 12+\frac{1}{10}\left(-12\right)\\-\frac{3}{10}\times 12+\frac{7}{10}\left(-12\right)\end{matrix}\right)$$

ഗണിതം ചെയ്യുക.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-12\end{matrix}\right)$$

x, y എന്നീ മെട്രിക്സ് ഘടകാംശങ്ങൾ വേർതിരിച്ചെടുക്കുക.

$$x=0,y=-12$$

എലിമിനേഷൻ ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഘട്ടങ്ങൾ

ആദ്യ സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക. 3,4 എന്നതിന്‍റെ ലഘുതമ സാധാരണ ഗുണിതമായ 12 ഉപയോഗിച്ച് സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളും ഗുണിക്കുക.

$$4\left(x+2y\right)=3\left(-x+3y\right)+12$$

x+2y കൊണ്ട് 4 ഗുണിക്കാൻ ഡിസ്ട്രിബ്യൂട്ടീവ് ഗുണവിശേഷത ഉപയോഗിക്കുക.

$$4x+8y=3\left(-x+3y\right)+12$$

-x+3y കൊണ്ട് 3 ഗുണിക്കാൻ ഡിസ്ട്രിബ്യൂട്ടീവ് ഗുണവിശേഷത ഉപയോഗിക്കുക.

$$4x+8y=3\left(-x\right)+9y+12$$

ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും 3\left(-x\right) കുറയ്ക്കുക.

$$4x+8y-3\left(-x\right)=9y+12$$

ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും 9y കുറയ്ക്കുക.

$$4x+8y-3\left(-x\right)-9y=12$$

-3 നേടാൻ -1, 3 എന്നിവ ഗുണിക്കുക.

$$4x+8y-3\left(-1\right)x-9y=12$$

3 നേടാൻ -3, -1 എന്നിവ ഗുണിക്കുക.

$$4x+8y+3x-9y=12$$

7x നേടാൻ 4x, 3x എന്നിവ യോജിപ്പിക്കുക.

$$7x+8y-9y=12$$

-y നേടാൻ 8y, -9y എന്നിവ യോജിപ്പിക്കുക.

$$7x-y=12$$

രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക. x-6 കൊണ്ട് 2 ഗുണിക്കാൻ ഡിസ്ട്രിബ്യൂട്ടീവ് ഗുണവിശേഷത ഉപയോഗിക്കുക.

$$5x+y=2x-12$$

ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും 2x കുറയ്ക്കുക.

$$5x+y-2x=-12$$

3x നേടാൻ 5x, -2x എന്നിവ യോജിപ്പിക്കുക.

$$3x+y=-12$$

എലിമിനേഷൻ ഉപയോഗിച്ച് സോൾവ് ചെയ്യുന്നതിന്, വേരിയബിളുകളിൽ ഒന്നിന്റെ കോഎഫിഷ്യന്റുകൾ ഇരുസമവാക്യങ്ങളിലും ഒന്നുതന്നെയായിരിക്കണം, എന്നാൽ മാത്രമേ ഒരു സമവാക്യം മറ്റൊന്നിൽ നിന്നും വ്യവകലനം ചെയ്യുമ്പോൾ വേരിയബിൾ റദ്ദാക്കപ്പെടുകയുള്ളൂ.

$$7x-y=12,3x+y=-12$$

7x, 3x എന്നിവ തുല്യമാക്കാൻ, ആദ്യ സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലെ എല്ലാ പദങ്ങളെയും 3 കൊണ്ടും രണ്ടാമത്തേതിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലെ എല്ലാ പദങ്ങളെയും 7 കൊണ്ടും ഗുണിക്കുക.

$$3\times 7x+3\left(-1\right)y=3\times 12,7\times 3x+7y=7\left(-12\right)$$

ലഘൂകരിക്കുക.

$$21x-3y=36,21x+7y=-84$$

സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലുമുള്ള ഒരുപോലുള്ള പദങ്ങൾ കുറച്ച് 21x-3y=36 എന്നതിൽ നിന്ന് 21x+7y=-84 കുറയ്ക്കുക.

$$21x-21x-3y-7y=36+84$$

21x, -21x എന്നതിൽ ചേർക്കുക. 21x, -21x എന്നീ പദങ്ങൾ റദ്ദാക്കപ്പെട്ടു, സോൾവ് ചെയ്യാനാകുന്ന ഒരേയൊരു വേരിയബിൾ മാത്രമുള്ള സമവാക്യം നൽകുന്നു.

$$-3y-7y=36+84$$

-3y, -7y എന്നതിൽ ചേർക്കുക.

$$-10y=36+84$$

36, 84 എന്നതിൽ ചേർക്കുക.

$$-10y=120$$

ഇരുവശങ്ങളെയും -10 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

$$y=-12$$

3x+y=-12 എന്നതിലെ y എന്നതിനായി -12 സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക. സംജാതമാകുന്ന സമവാക്യത്തിൽ ഒരേയൊരു വേരിയബിൾ മാത്രമുള്ളതിനാൽ, നിങ്ങൾക്ക് x എന്നതിനായി നേരിട്ട് സോൾവ് ചെയ്യാനാകും.

$$3x-12=-12$$

സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലും 12 ചേർക്കുക.

$$3x=0$$

ഇരുവശങ്ങളെയും 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

$$x=0$$

സിസ്റ്റം ഇപ്പോൾ പരിഹരിച്ചു.

$$x=0,y=-12$$