{l}{x+2/y+5=x+7/y}{2x-4y=-1} സോൾവ് ചെയ്യുക

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x + 2 } { y + 5 } = \frac { x + 7 } { y } } \\ { 2 x - 4 y = - 1 } \end{array} \right.$$

x, y എന്നതിനായി സോൾവ് ചെയ്യുക

$$x = -\frac{29}{6} = -4\frac{5}{6} \approx -4.833333333$$

$$y = -\frac{13}{6} = -2\frac{1}{6} \approx -2.166666667$$

സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂഷൻ ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഘട്ടങ്ങൾ

ആദ്യ സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക. പൂജ്യം ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഹരണം നിർവ്വചിക്കാത്തതിനാൽ, y എന്ന വേരിയബിൾ -5,0 മൂല്യങ്ങൾ ഏതുമായും തുല്യമാക്കാൻ കഴിയുന്നില്ല. y+5,y എന്നതിന്‍റെ ലഘുതമ സാധാരണ ഗുണിതമായ y\left(y+5\right) ഉപയോഗിച്ച് സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളും ഗുണിക്കുക.

$$y\left(x+2\right)=\left(y+5\right)\left(x+7\right)$$

x+2 കൊണ്ട് y ഗുണിക്കാൻ ഡിസ്ട്രിബ്യൂട്ടീവ് ഗുണവിശേഷത ഉപയോഗിക്കുക.

$$yx+2y=\left(y+5\right)\left(x+7\right)$$

x+7 കൊണ്ട് y+5 ഗുണിക്കാൻ ഡിസ്ട്രിബ്യൂട്ടീവ് ഗുണവിശേഷത ഉപയോഗിക്കുക.

$$yx+2y=yx+7y+5x+35$$

ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും yx കുറയ്ക്കുക.

$$yx+2y-yx=7y+5x+35$$

0 നേടാൻ yx, -yx എന്നിവ യോജിപ്പിക്കുക.

$$2y=7y+5x+35$$

ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും 7y കുറയ്ക്കുക.

$$2y-7y=5x+35$$

-5y നേടാൻ 2y, -7y എന്നിവ യോജിപ്പിക്കുക.

$$-5y=5x+35$$

ഇരുവശങ്ങളെയും -5 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

$$y=-\frac{1}{5}\left(5x+35\right)$$

-\frac{1}{5}, 35+5x എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക.

$$y=-x-7$$

-4y+2x=-1 എന്ന മറ്റ് സമവാക്യങ്ങളിൽ y എന്നതിനായി -x-7 സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക.

$$-4\left(-x-7\right)+2x=-1$$

-4, -x-7 എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക.

$$4x+28+2x=-1$$

4x, 2x എന്നതിൽ ചേർക്കുക.

$$6x+28=-1$$

സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും 28 കുറയ്ക്കുക.

$$6x=-29$$

ഇരുവശങ്ങളെയും 6 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

$$x=-\frac{29}{6}$$

y=-x-7 എന്നതിലെ x എന്നതിനായി -\frac{29}{6} സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക. സംജാതമാകുന്ന സമവാക്യത്തിൽ ഒരേയൊരു വേരിയബിൾ മാത്രമുള്ളതിനാൽ, നിങ്ങൾക്ക് y എന്നതിനായി നേരിട്ട് സോൾവ് ചെയ്യാനാകും.

$$y=-\left(-\frac{29}{6}\right)-7$$

-1, -\frac{29}{6} എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക.

$$y=\frac{29}{6}-7$$

-7, \frac{29}{6} എന്നതിൽ ചേർക്കുക.

$$y=-\frac{13}{6}$$

സിസ്റ്റം ഇപ്പോൾ പരിഹരിച്ചു.

$$y=-\frac{13}{6},x=-\frac{29}{6}$$

മെട്രീസുകൾ ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഘട്ടങ്ങൾ

ആദ്യ സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക. പൂജ്യം ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഹരണം നിർവ്വചിക്കാത്തതിനാൽ, y എന്ന വേരിയബിൾ -5,0 മൂല്യങ്ങൾ ഏതുമായും തുല്യമാക്കാൻ കഴിയുന്നില്ല. y+5,y എന്നതിന്‍റെ ലഘുതമ സാധാരണ ഗുണിതമായ y\left(y+5\right) ഉപയോഗിച്ച് സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളും ഗുണിക്കുക.

$$y\left(x+2\right)=\left(y+5\right)\left(x+7\right)$$

x+2 കൊണ്ട് y ഗുണിക്കാൻ ഡിസ്ട്രിബ്യൂട്ടീവ് ഗുണവിശേഷത ഉപയോഗിക്കുക.

$$yx+2y=\left(y+5\right)\left(x+7\right)$$

x+7 കൊണ്ട് y+5 ഗുണിക്കാൻ ഡിസ്ട്രിബ്യൂട്ടീവ് ഗുണവിശേഷത ഉപയോഗിക്കുക.

$$yx+2y=yx+7y+5x+35$$

ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും yx കുറയ്ക്കുക.

$$yx+2y-yx=7y+5x+35$$

0 നേടാൻ yx, -yx എന്നിവ യോജിപ്പിക്കുക.

$$2y=7y+5x+35$$

ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും 7y കുറയ്ക്കുക.

$$2y-7y=5x+35$$

-5y നേടാൻ 2y, -7y എന്നിവ യോജിപ്പിക്കുക.

$$-5y=5x+35$$

ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും 5x കുറയ്ക്കുക.

$$-5y-5x=35$$

സമവാക്യങ്ങൾ സാധാരണ രൂപത്തിൽ നൽകിയ ശേഷം സമവാക്യ ഘടന സോൾവ് ചെയ്യാനുള്ള മെട്രീസുകൾ ഉപയോഗിക്കുക.

$$-5y-5x=35,-4y+2x=-1$$

സമവാക്യങ്ങൾ മെട്രിക്സ് രൂപത്തിൽ എഴുതുക.

$$\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}35\\-1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right) എന്നതിന്‍റെ വിപരീത മെട്രിക്‌സ് കൊണ്ട് സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇടതുഭാഗം ഗുണിക്കുക.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\-1\end{matrix}\right)$$

ഒരു മെട്രിക്‌സിന്‍റെയും അതിന്‍റെ വിപരീതത്തിന്‍റെയും ഗുണനഫലം അനന്യതാ മെട്രിക്‌സ് ആണ്.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\-1\end{matrix}\right)$$

സമചിഹ്നത്തിന് ഇടതുഭാഗത്തുള്ള മെട്രിക്‌സുകൾ ഗുണിക്കുക.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 മെട്രിക്സ് \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) എന്നതിനുള്ള, വിപരീത മെട്രിക്സ് \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ആണ്, അതിനാൽ മെട്രിക്സ് സമവാക്യം ഒരു മെട്രിക്സ് ഗുണന പ്രശ്നമായി മാറ്റിയെഴുതാവുന്നതാണ്.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-5\times 2-\left(-5\left(-4\right)\right)}&-\frac{-5}{-5\times 2-\left(-5\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{-5\times 2-\left(-5\left(-4\right)\right)}&-\frac{5}{-5\times 2-\left(-5\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}35\\-1\end{matrix}\right)$$

ഗണിതം ചെയ്യുക.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}&-\frac{1}{6}\\-\frac{2}{15}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}35\\-1\end{matrix}\right)$$

മെട്രീസുകൾ ഗുണിക്കുക.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}\times 35-\frac{1}{6}\left(-1\right)\\-\frac{2}{15}\times 35+\frac{1}{6}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

ഗണിതം ചെയ്യുക.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{13}{6}\\-\frac{29}{6}\end{matrix}\right)$$

y, x എന്നീ മെട്രിക്സ് ഘടകാംശങ്ങൾ വേർതിരിച്ചെടുക്കുക.

$$y=-\frac{13}{6},x=-\frac{29}{6}$$

എലിമിനേഷൻ ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഘട്ടങ്ങൾ

ആദ്യ സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക. പൂജ്യം ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഹരണം നിർവ്വചിക്കാത്തതിനാൽ, y എന്ന വേരിയബിൾ -5,0 മൂല്യങ്ങൾ ഏതുമായും തുല്യമാക്കാൻ കഴിയുന്നില്ല. y+5,y എന്നതിന്‍റെ ലഘുതമ സാധാരണ ഗുണിതമായ y\left(y+5\right) ഉപയോഗിച്ച് സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളും ഗുണിക്കുക.

$$y\left(x+2\right)=\left(y+5\right)\left(x+7\right)$$

x+2 കൊണ്ട് y ഗുണിക്കാൻ ഡിസ്ട്രിബ്യൂട്ടീവ് ഗുണവിശേഷത ഉപയോഗിക്കുക.

$$yx+2y=\left(y+5\right)\left(x+7\right)$$

x+7 കൊണ്ട് y+5 ഗുണിക്കാൻ ഡിസ്ട്രിബ്യൂട്ടീവ് ഗുണവിശേഷത ഉപയോഗിക്കുക.

$$yx+2y=yx+7y+5x+35$$

ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും yx കുറയ്ക്കുക.

$$yx+2y-yx=7y+5x+35$$

0 നേടാൻ yx, -yx എന്നിവ യോജിപ്പിക്കുക.

$$2y=7y+5x+35$$

ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും 7y കുറയ്ക്കുക.

$$2y-7y=5x+35$$

-5y നേടാൻ 2y, -7y എന്നിവ യോജിപ്പിക്കുക.

$$-5y=5x+35$$

ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും 5x കുറയ്ക്കുക.

$$-5y-5x=35$$

എലിമിനേഷൻ ഉപയോഗിച്ച് സോൾവ് ചെയ്യുന്നതിന്, വേരിയബിളുകളിൽ ഒന്നിന്റെ കോഎഫിഷ്യന്റുകൾ ഇരുസമവാക്യങ്ങളിലും ഒന്നുതന്നെയായിരിക്കണം, എന്നാൽ മാത്രമേ ഒരു സമവാക്യം മറ്റൊന്നിൽ നിന്നും വ്യവകലനം ചെയ്യുമ്പോൾ വേരിയബിൾ റദ്ദാക്കപ്പെടുകയുള്ളൂ.

$$-5y-5x=35,-4y+2x=-1$$

-5y, -4y എന്നിവ തുല്യമാക്കാൻ, ആദ്യ സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലെ എല്ലാ പദങ്ങളെയും -4 കൊണ്ടും രണ്ടാമത്തേതിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലെ എല്ലാ പദങ്ങളെയും -5 കൊണ്ടും ഗുണിക്കുക.

$$-4\left(-5\right)y-4\left(-5\right)x=-4\times 35,-5\left(-4\right)y-5\times 2x=-5\left(-1\right)$$

ലഘൂകരിക്കുക.

$$20y+20x=-140,20y-10x=5$$

സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലുമുള്ള ഒരുപോലുള്ള പദങ്ങൾ കുറച്ച് 20y+20x=-140 എന്നതിൽ നിന്ന് 20y-10x=5 കുറയ്ക്കുക.

$$20y-20y+20x+10x=-140-5$$

20y, -20y എന്നതിൽ ചേർക്കുക. 20y, -20y എന്നീ പദങ്ങൾ റദ്ദാക്കപ്പെട്ടു, സോൾവ് ചെയ്യാനാകുന്ന ഒരേയൊരു വേരിയബിൾ മാത്രമുള്ള സമവാക്യം നൽകുന്നു.

$$20x+10x=-140-5$$

20x, 10x എന്നതിൽ ചേർക്കുക.

$$30x=-140-5$$

-140, -5 എന്നതിൽ ചേർക്കുക.

$$30x=-145$$

ഇരുവശങ്ങളെയും 30 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

$$x=-\frac{29}{6}$$

-4y+2x=-1 എന്നതിലെ x എന്നതിനായി -\frac{29}{6} സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക. സംജാതമാകുന്ന സമവാക്യത്തിൽ ഒരേയൊരു വേരിയബിൾ മാത്രമുള്ളതിനാൽ, നിങ്ങൾക്ക് y എന്നതിനായി നേരിട്ട് സോൾവ് ചെയ്യാനാകും.

$$-4y+2\left(-\frac{29}{6}\right)=-1$$

2, -\frac{29}{6} എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക.

$$-4y-\frac{29}{3}=-1$$

സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലും \frac{29}{3} ചേർക്കുക.

$$-4y=\frac{26}{3}$$

ഇരുവശങ്ങളെയും -4 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

$$y=-\frac{13}{6}$$

സിസ്റ്റം ഇപ്പോൾ പരിഹരിച്ചു.

$$y=-\frac{13}{6},x=-\frac{29}{6}$$