{l}{5(x-3)/4-3(2y+1)/10=4-7(x+y+1)/8}{6x-5(2y-7)=21} സോൾവ് ചെയ്യുക

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 5 ( x - 3 ) } { 4 } - \frac { 3 ( 2 y + 1 ) } { 10 } = \frac { 4 - 7 ( x + y + 1 ) } { 8 } } \\ { 6 x - 5 ( 2 y - 7 ) = 21 } \end{array} \right.$$

x, y എന്നതിനായി സോൾവ് ചെയ്യുക

$$x = \frac{329}{229} = 1\frac{100}{229} \approx 1.436681223$$

$$y = \frac{518}{229} = 2\frac{60}{229} \approx 2.262008734$$

സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂഷൻ ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഘട്ടങ്ങൾ

ആദ്യ സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക. 4,10,8 എന്നതിന്‍റെ ലഘുതമ സാധാരണ ഗുണിതമായ 40 ഉപയോഗിച്ച് സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളും ഗുണിക്കുക.

$$10\times 5\left(x-3\right)-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

50 നേടാൻ 10, 5 എന്നിവ ഗുണിക്കുക.

$$50\left(x-3\right)-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

x-3 കൊണ്ട് 50 ഗുണിക്കാൻ ഡിസ്ട്രിബ്യൂട്ടീവ് ഗുണവിശേഷത ഉപയോഗിക്കുക.

$$50x-150-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

-12 നേടാൻ -4, 3 എന്നിവ ഗുണിക്കുക.

$$50x-150-12\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

2y+1 കൊണ്ട് -12 ഗുണിക്കാൻ ഡിസ്ട്രിബ്യൂട്ടീവ് ഗുണവിശേഷത ഉപയോഗിക്കുക.

$$50x-150-24y-12=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

-162 നേടാൻ -150 എന്നതിൽ നിന്ന് 12 കുറയ്ക്കുക.

$$50x-162-24y=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

x+y+1 കൊണ്ട് -7 ഗുണിക്കാൻ ഡിസ്ട്രിബ്യൂട്ടീവ് ഗുണവിശേഷത ഉപയോഗിക്കുക.

$$50x-162-24y=5\left(4-7x-7y-7\right)$$

-3 നേടാൻ 4 എന്നതിൽ നിന്ന് 7 കുറയ്ക്കുക.

$$50x-162-24y=5\left(-3-7x-7y\right)$$

-3-7x-7y കൊണ്ട് 5 ഗുണിക്കാൻ ഡിസ്ട്രിബ്യൂട്ടീവ് ഗുണവിശേഷത ഉപയോഗിക്കുക.

$$50x-162-24y=-15-35x-35y$$

35x ഇരു വശങ്ങളിലും ചേർക്കുക.

$$50x-162-24y+35x=-15-35y$$

85x നേടാൻ 50x, 35x എന്നിവ യോജിപ്പിക്കുക.

$$85x-162-24y=-15-35y$$

35y ഇരു വശങ്ങളിലും ചേർക്കുക.

$$85x-162-24y+35y=-15$$

11y നേടാൻ -24y, 35y എന്നിവ യോജിപ്പിക്കുക.

$$85x-162+11y=-15$$

162 ഇരു വശങ്ങളിലും ചേർക്കുക.

$$85x+11y=-15+162$$

147 ലഭ്യമാക്കാൻ -15, 162 എന്നിവ ചേർക്കുക.

$$85x+11y=147$$

രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക. 2y-7 കൊണ്ട് -5 ഗുണിക്കാൻ ഡിസ്ട്രിബ്യൂട്ടീവ് ഗുണവിശേഷത ഉപയോഗിക്കുക.

$$6x-10y+35=21$$

ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും 35 കുറയ്ക്കുക.

$$6x-10y=21-35$$

-14 നേടാൻ 21 എന്നതിൽ നിന്ന് 35 കുറയ്ക്കുക.

$$6x-10y=-14$$

വ്യവകലനം ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ജോടി സമവാക്യങ്ങൾ സോൾവ് ചെയ്യാൻ, ആദ്യം വേരിയബിളുകളിൽ ഒന്നിനായി സമവാക്യങ്ങളിലൊന്ന് സോൾവ് ചെയ്യുക. തുടർന്ന്, രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിലെ ആ വേരിയബിളിനുള്ള ഫലം സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക.

$$85x+11y=147,6x-10y=-14$$

സമവാക്യങ്ങളിലൊന്ന് നോക്കിയെടുത്ത്, സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇടതുഭാഗത്തുള്ള x മാറ്റിനിർത്തിക്കൊണ്ട് x എന്നതിനായി അത് സോൾവ് ചെയ്യുക.

$$85x+11y=147$$

സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും 11y കുറയ്ക്കുക.

$$85x=-11y+147$$

ഇരുവശങ്ങളെയും 85 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

$$x=\frac{1}{85}\left(-11y+147\right)$$

\frac{1}{85}, -11y+147 എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക.

$$x=-\frac{11}{85}y+\frac{147}{85}$$

6x-10y=-14 എന്ന മറ്റ് സമവാക്യങ്ങളിൽ x എന്നതിനായി \frac{-11y+147}{85} സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക.

$$6\left(-\frac{11}{85}y+\frac{147}{85}\right)-10y=-14$$

6, \frac{-11y+147}{85} എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക.

$$-\frac{66}{85}y+\frac{882}{85}-10y=-14$$

-\frac{66y}{85}, -10y എന്നതിൽ ചേർക്കുക.

$$-\frac{916}{85}y+\frac{882}{85}=-14$$

സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും \frac{882}{85} കുറയ്ക്കുക.

$$-\frac{916}{85}y=-\frac{2072}{85}$$

-\frac{916}{85} കൊണ്ട് സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളെയും ഹരിക്കുക, ഇത് അംശത്തിന്‍റെ പരസ്പരപൂരകത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളെയും ഗുണിക്കുന്നതിന് തുല്യമാണ്.

$$y=\frac{518}{229}$$

x=-\frac{11}{85}y+\frac{147}{85} എന്നതിലെ y എന്നതിനായി \frac{518}{229} സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക. സംജാതമാകുന്ന സമവാക്യത്തിൽ ഒരേയൊരു വേരിയബിൾ മാത്രമുള്ളതിനാൽ, നിങ്ങൾക്ക് x എന്നതിനായി നേരിട്ട് സോൾവ് ചെയ്യാനാകും.

$$x=-\frac{11}{85}\times \frac{518}{229}+\frac{147}{85}$$

ന്യൂമറേറ്റർ കൊണ്ട് ന്യൂമറേറ്ററിനെയും ഭിന്നസംഖ്യാഛേദി കൊണ്ട് ഭിന്നസംഖ്യാഛേദിയേയും ഗുണിച്ചുകൊണ്ട് -\frac{11}{85}, \frac{518}{229} എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക. തുടർന്ന്, സാധ്യമായത്രയും കുറഞ്ഞ പദങ്ങളിലേക്ക് അംശം കുറയ്ക്കുക.

$$x=-\frac{5698}{19465}+\frac{147}{85}$$

ഒരു പൊതുവായ ഭിന്നസംഖ്യാഛേദം കണ്ടെത്തി ന്യൂമറേറ്ററുകൾ ചേർക്കാൻ \frac{147}{85} എന്നത് -\frac{5698}{19465} എന്നതിൽ ചേർക്കുക. തുടർന്ന്, സാധ്യമായത്രയും കുറഞ്ഞ പദങ്ങളിലേക്ക് അംശം കുറയ്ക്കുക.

$$x=\frac{329}{229}$$

സിസ്റ്റം ഇപ്പോൾ പരിഹരിച്ചു.

$$x=\frac{329}{229},y=\frac{518}{229}$$

മെട്രീസുകൾ ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഘട്ടങ്ങൾ

ആദ്യ സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക. 4,10,8 എന്നതിന്‍റെ ലഘുതമ സാധാരണ ഗുണിതമായ 40 ഉപയോഗിച്ച് സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളും ഗുണിക്കുക.

$$10\times 5\left(x-3\right)-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

50 നേടാൻ 10, 5 എന്നിവ ഗുണിക്കുക.

$$50\left(x-3\right)-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

x-3 കൊണ്ട് 50 ഗുണിക്കാൻ ഡിസ്ട്രിബ്യൂട്ടീവ് ഗുണവിശേഷത ഉപയോഗിക്കുക.

$$50x-150-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

-12 നേടാൻ -4, 3 എന്നിവ ഗുണിക്കുക.

$$50x-150-12\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

2y+1 കൊണ്ട് -12 ഗുണിക്കാൻ ഡിസ്ട്രിബ്യൂട്ടീവ് ഗുണവിശേഷത ഉപയോഗിക്കുക.

$$50x-150-24y-12=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

-162 നേടാൻ -150 എന്നതിൽ നിന്ന് 12 കുറയ്ക്കുക.

$$50x-162-24y=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

x+y+1 കൊണ്ട് -7 ഗുണിക്കാൻ ഡിസ്ട്രിബ്യൂട്ടീവ് ഗുണവിശേഷത ഉപയോഗിക്കുക.

$$50x-162-24y=5\left(4-7x-7y-7\right)$$

-3 നേടാൻ 4 എന്നതിൽ നിന്ന് 7 കുറയ്ക്കുക.

$$50x-162-24y=5\left(-3-7x-7y\right)$$

-3-7x-7y കൊണ്ട് 5 ഗുണിക്കാൻ ഡിസ്ട്രിബ്യൂട്ടീവ് ഗുണവിശേഷത ഉപയോഗിക്കുക.

$$50x-162-24y=-15-35x-35y$$

35x ഇരു വശങ്ങളിലും ചേർക്കുക.

$$50x-162-24y+35x=-15-35y$$

85x നേടാൻ 50x, 35x എന്നിവ യോജിപ്പിക്കുക.

$$85x-162-24y=-15-35y$$

35y ഇരു വശങ്ങളിലും ചേർക്കുക.

$$85x-162-24y+35y=-15$$

11y നേടാൻ -24y, 35y എന്നിവ യോജിപ്പിക്കുക.

$$85x-162+11y=-15$$

162 ഇരു വശങ്ങളിലും ചേർക്കുക.

$$85x+11y=-15+162$$

147 ലഭ്യമാക്കാൻ -15, 162 എന്നിവ ചേർക്കുക.

$$85x+11y=147$$

രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക. 2y-7 കൊണ്ട് -5 ഗുണിക്കാൻ ഡിസ്ട്രിബ്യൂട്ടീവ് ഗുണവിശേഷത ഉപയോഗിക്കുക.

$$6x-10y+35=21$$

ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും 35 കുറയ്ക്കുക.

$$6x-10y=21-35$$

-14 നേടാൻ 21 എന്നതിൽ നിന്ന് 35 കുറയ്ക്കുക.

$$6x-10y=-14$$

സമവാക്യങ്ങൾ സാധാരണ രൂപത്തിൽ നൽകിയ ശേഷം സമവാക്യ ഘടന സോൾവ് ചെയ്യാനുള്ള മെട്രീസുകൾ ഉപയോഗിക്കുക.

$$85x+11y=147,6x-10y=-14$$

സമവാക്യങ്ങൾ മെട്രിക്സ് രൂപത്തിൽ എഴുതുക.

$$\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}147\\-14\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right) എന്നതിന്‍റെ വിപരീത മെട്രിക്‌സ് കൊണ്ട് സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇടതുഭാഗം ഗുണിക്കുക.

$$inverse(\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}147\\-14\end{matrix}\right)$$

ഒരു മെട്രിക്‌സിന്‍റെയും അതിന്‍റെ വിപരീതത്തിന്‍റെയും ഗുണനഫലം അനന്യതാ മെട്രിക്‌സ് ആണ്.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}147\\-14\end{matrix}\right)$$

സമചിഹ്നത്തിന് ഇടതുഭാഗത്തുള്ള മെട്രിക്‌സുകൾ ഗുണിക്കുക.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}147\\-14\end{matrix}\right)$$

2\times 2 മെട്രിക്സ് \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) എന്നതിനുള്ള, വിപരീത മെട്രിക്സ് \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ആണ്, അതിനാൽ മെട്രിക്സ് സമവാക്യം ഒരു മെട്രിക്സ് ഗുണന പ്രശ്നമായി മാറ്റിയെഴുതാവുന്നതാണ്.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{85\left(-10\right)-11\times 6}&-\frac{11}{85\left(-10\right)-11\times 6}\\-\frac{6}{85\left(-10\right)-11\times 6}&\frac{85}{85\left(-10\right)-11\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}147\\-14\end{matrix}\right)$$

ഗണിതം ചെയ്യുക.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{458}&\frac{11}{916}\\\frac{3}{458}&-\frac{85}{916}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}147\\-14\end{matrix}\right)$$

മെട്രീസുകൾ ഗുണിക്കുക.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{458}\times 147+\frac{11}{916}\left(-14\right)\\\frac{3}{458}\times 147-\frac{85}{916}\left(-14\right)\end{matrix}\right)$$

ഗണിതം ചെയ്യുക.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{329}{229}\\\frac{518}{229}\end{matrix}\right)$$

x, y എന്നീ മെട്രിക്സ് ഘടകാംശങ്ങൾ വേർതിരിച്ചെടുക്കുക.

$$x=\frac{329}{229},y=\frac{518}{229}$$

എലിമിനേഷൻ ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഘട്ടങ്ങൾ

ആദ്യ സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക. 4,10,8 എന്നതിന്‍റെ ലഘുതമ സാധാരണ ഗുണിതമായ 40 ഉപയോഗിച്ച് സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളും ഗുണിക്കുക.

$$10\times 5\left(x-3\right)-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

50 നേടാൻ 10, 5 എന്നിവ ഗുണിക്കുക.

$$50\left(x-3\right)-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

x-3 കൊണ്ട് 50 ഗുണിക്കാൻ ഡിസ്ട്രിബ്യൂട്ടീവ് ഗുണവിശേഷത ഉപയോഗിക്കുക.

$$50x-150-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

-12 നേടാൻ -4, 3 എന്നിവ ഗുണിക്കുക.

$$50x-150-12\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

2y+1 കൊണ്ട് -12 ഗുണിക്കാൻ ഡിസ്ട്രിബ്യൂട്ടീവ് ഗുണവിശേഷത ഉപയോഗിക്കുക.

$$50x-150-24y-12=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

-162 നേടാൻ -150 എന്നതിൽ നിന്ന് 12 കുറയ്ക്കുക.

$$50x-162-24y=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

x+y+1 കൊണ്ട് -7 ഗുണിക്കാൻ ഡിസ്ട്രിബ്യൂട്ടീവ് ഗുണവിശേഷത ഉപയോഗിക്കുക.

$$50x-162-24y=5\left(4-7x-7y-7\right)$$

-3 നേടാൻ 4 എന്നതിൽ നിന്ന് 7 കുറയ്ക്കുക.

$$50x-162-24y=5\left(-3-7x-7y\right)$$

-3-7x-7y കൊണ്ട് 5 ഗുണിക്കാൻ ഡിസ്ട്രിബ്യൂട്ടീവ് ഗുണവിശേഷത ഉപയോഗിക്കുക.

$$50x-162-24y=-15-35x-35y$$

35x ഇരു വശങ്ങളിലും ചേർക്കുക.

$$50x-162-24y+35x=-15-35y$$

85x നേടാൻ 50x, 35x എന്നിവ യോജിപ്പിക്കുക.

$$85x-162-24y=-15-35y$$

35y ഇരു വശങ്ങളിലും ചേർക്കുക.

$$85x-162-24y+35y=-15$$

11y നേടാൻ -24y, 35y എന്നിവ യോജിപ്പിക്കുക.

$$85x-162+11y=-15$$

162 ഇരു വശങ്ങളിലും ചേർക്കുക.

$$85x+11y=-15+162$$

147 ലഭ്യമാക്കാൻ -15, 162 എന്നിവ ചേർക്കുക.

$$85x+11y=147$$

രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക. 2y-7 കൊണ്ട് -5 ഗുണിക്കാൻ ഡിസ്ട്രിബ്യൂട്ടീവ് ഗുണവിശേഷത ഉപയോഗിക്കുക.

$$6x-10y+35=21$$

ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും 35 കുറയ്ക്കുക.

$$6x-10y=21-35$$

-14 നേടാൻ 21 എന്നതിൽ നിന്ന് 35 കുറയ്ക്കുക.

$$6x-10y=-14$$

എലിമിനേഷൻ ഉപയോഗിച്ച് സോൾവ് ചെയ്യുന്നതിന്, വേരിയബിളുകളിൽ ഒന്നിന്റെ കോഎഫിഷ്യന്റുകൾ ഇരുസമവാക്യങ്ങളിലും ഒന്നുതന്നെയായിരിക്കണം, എന്നാൽ മാത്രമേ ഒരു സമവാക്യം മറ്റൊന്നിൽ നിന്നും വ്യവകലനം ചെയ്യുമ്പോൾ വേരിയബിൾ റദ്ദാക്കപ്പെടുകയുള്ളൂ.

$$85x+11y=147,6x-10y=-14$$

85x, 6x എന്നിവ തുല്യമാക്കാൻ, ആദ്യ സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലെ എല്ലാ പദങ്ങളെയും 6 കൊണ്ടും രണ്ടാമത്തേതിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലെ എല്ലാ പദങ്ങളെയും 85 കൊണ്ടും ഗുണിക്കുക.

$$6\times 85x+6\times 11y=6\times 147,85\times 6x+85\left(-10\right)y=85\left(-14\right)$$

ലഘൂകരിക്കുക.

$$510x+66y=882,510x-850y=-1190$$

സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലുമുള്ള ഒരുപോലുള്ള പദങ്ങൾ കുറച്ച് 510x+66y=882 എന്നതിൽ നിന്ന് 510x-850y=-1190 കുറയ്ക്കുക.

$$510x-510x+66y+850y=882+1190$$

510x, -510x എന്നതിൽ ചേർക്കുക. 510x, -510x എന്നീ പദങ്ങൾ റദ്ദാക്കപ്പെട്ടു, സോൾവ് ചെയ്യാനാകുന്ന ഒരേയൊരു വേരിയബിൾ മാത്രമുള്ള സമവാക്യം നൽകുന്നു.

$$66y+850y=882+1190$$

66y, 850y എന്നതിൽ ചേർക്കുക.

$$916y=882+1190$$

882, 1190 എന്നതിൽ ചേർക്കുക.

$$916y=2072$$

ഇരുവശങ്ങളെയും 916 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

$$y=\frac{518}{229}$$

6x-10y=-14 എന്നതിലെ y എന്നതിനായി \frac{518}{229} സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക. സംജാതമാകുന്ന സമവാക്യത്തിൽ ഒരേയൊരു വേരിയബിൾ മാത്രമുള്ളതിനാൽ, നിങ്ങൾക്ക് x എന്നതിനായി നേരിട്ട് സോൾവ് ചെയ്യാനാകും.

$$6x-10\times \frac{518}{229}=-14$$

-10, \frac{518}{229} എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക.

$$6x-\frac{5180}{229}=-14$$

സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലും \frac{5180}{229} ചേർക്കുക.

$$6x=\frac{1974}{229}$$

ഇരുവശങ്ങളെയും 6 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

$$x=\frac{329}{229}$$

സിസ്റ്റം ഇപ്പോൾ പരിഹരിച്ചു.

$$x=\frac{329}{229},y=\frac{518}{229}$$