{c}{5x-y=27}{-3x+4y=-23} സോൾവ് ചെയ്യുക

$$\left\{ \begin{array} { c } { 5 x - y = 27 } \\ { - 3 x + 4 y = - 23 } \end{array} \right.$$

x, y എന്നതിനായി സോൾവ് ചെയ്യുക

$$x=5$$

$$y=-2$$

സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂഷൻ ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഘട്ടങ്ങൾ

വ്യവകലനം ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ജോടി സമവാക്യങ്ങൾ സോൾവ് ചെയ്യാൻ, ആദ്യം വേരിയബിളുകളിൽ ഒന്നിനായി സമവാക്യങ്ങളിലൊന്ന് സോൾവ് ചെയ്യുക. തുടർന്ന്, രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിലെ ആ വേരിയബിളിനുള്ള ഫലം സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക.

$$5x-y=27,-3x+4y=-23$$

സമവാക്യങ്ങളിലൊന്ന് നോക്കിയെടുത്ത്, സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇടതുഭാഗത്തുള്ള x മാറ്റിനിർത്തിക്കൊണ്ട് x എന്നതിനായി അത് സോൾവ് ചെയ്യുക.

$$5x-y=27$$

സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലും y ചേർക്കുക.

$$5x=y+27$$

ഇരുവശങ്ങളെയും 5 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

$$x=\frac{1}{5}\left(y+27\right)$$

\frac{1}{5}, y+27 എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക.

$$x=\frac{1}{5}y+\frac{27}{5}$$

-3x+4y=-23 എന്ന മറ്റ് സമവാക്യങ്ങളിൽ x എന്നതിനായി \frac{27+y}{5} സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക.

$$-3\left(\frac{1}{5}y+\frac{27}{5}\right)+4y=-23$$

-3, \frac{27+y}{5} എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക.

$$-\frac{3}{5}y-\frac{81}{5}+4y=-23$$

-\frac{3y}{5}, 4y എന്നതിൽ ചേർക്കുക.

$$\frac{17}{5}y-\frac{81}{5}=-23$$

സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലും \frac{81}{5} ചേർക്കുക.

$$\frac{17}{5}y=-\frac{34}{5}$$

\frac{17}{5} കൊണ്ട് സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളെയും ഹരിക്കുക, ഇത് അംശത്തിന്‍റെ പരസ്പരപൂരകത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളെയും ഗുണിക്കുന്നതിന് തുല്യമാണ്.

$$y=-2$$

x=\frac{1}{5}y+\frac{27}{5} എന്നതിലെ y എന്നതിനായി -2 സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക. സംജാതമാകുന്ന സമവാക്യത്തിൽ ഒരേയൊരു വേരിയബിൾ മാത്രമുള്ളതിനാൽ, നിങ്ങൾക്ക് x എന്നതിനായി നേരിട്ട് സോൾവ് ചെയ്യാനാകും.

$$x=\frac{1}{5}\left(-2\right)+\frac{27}{5}$$

\frac{1}{5}, -2 എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക.

$$x=\frac{-2+27}{5}$$

ഒരു പൊതുവായ ഭിന്നസംഖ്യാഛേദം കണ്ടെത്തി ന്യൂമറേറ്ററുകൾ ചേർക്കാൻ \frac{27}{5} എന്നത് -\frac{2}{5} എന്നതിൽ ചേർക്കുക. തുടർന്ന്, സാധ്യമായത്രയും കുറഞ്ഞ പദങ്ങളിലേക്ക് അംശം കുറയ്ക്കുക.

$$x=5$$

സിസ്റ്റം ഇപ്പോൾ പരിഹരിച്ചു.

$$x=5,y=-2$$

മെട്രീസുകൾ ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഘട്ടങ്ങൾ

സമവാക്യങ്ങൾ സാധാരണ രൂപത്തിൽ നൽകിയ ശേഷം സമവാക്യ ഘടന സോൾവ് ചെയ്യാനുള്ള മെട്രീസുകൾ ഉപയോഗിക്കുക.

$$5x-y=27,-3x+4y=-23$$

സമവാക്യങ്ങൾ മെട്രിക്സ് രൂപത്തിൽ എഴുതുക.

$$\left(\begin{matrix}5&-1\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}27\\-23\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&-1\\-3&4\end{matrix}\right) എന്നതിന്‍റെ വിപരീത മെട്രിക്‌സ് കൊണ്ട് സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇടതുഭാഗം ഗുണിക്കുക.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-1\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\-23\end{matrix}\right)$$

ഒരു മെട്രിക്‌സിന്‍റെയും അതിന്‍റെ വിപരീതത്തിന്‍റെയും ഗുണനഫലം അനന്യതാ മെട്രിക്‌സ് ആണ്.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\-23\end{matrix}\right)$$

സമചിഹ്നത്തിന് ഇടതുഭാഗത്തുള്ള മെട്രിക്‌സുകൾ ഗുണിക്കുക.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\-23\end{matrix}\right)$$

2\times 2 മെട്രിക്സ് \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) എന്നതിനുള്ള, വിപരീത മെട്രിക്സ് \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ആണ്, അതിനാൽ മെട്രിക്സ് സമവാക്യം ഒരു മെട്രിക്സ് ഗുണന പ്രശ്നമായി മാറ്റിയെഴുതാവുന്നതാണ്.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5\times 4-\left(-\left(-3\right)\right)}&-\frac{-1}{5\times 4-\left(-\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{5\times 4-\left(-\left(-3\right)\right)}&\frac{5}{5\times 4-\left(-\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\-23\end{matrix}\right)$$

ഗണിതം ചെയ്യുക.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{17}&\frac{1}{17}\\\frac{3}{17}&\frac{5}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\-23\end{matrix}\right)$$

മെട്രീസുകൾ ഗുണിക്കുക.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{17}\times 27+\frac{1}{17}\left(-23\right)\\\frac{3}{17}\times 27+\frac{5}{17}\left(-23\right)\end{matrix}\right)$$

ഗണിതം ചെയ്യുക.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

x, y എന്നീ മെട്രിക്സ് ഘടകാംശങ്ങൾ വേർതിരിച്ചെടുക്കുക.

$$x=5,y=-2$$

എലിമിനേഷൻ ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഘട്ടങ്ങൾ

എലിമിനേഷൻ ഉപയോഗിച്ച് സോൾവ് ചെയ്യുന്നതിന്, വേരിയബിളുകളിൽ ഒന്നിന്റെ കോഎഫിഷ്യന്റുകൾ ഇരുസമവാക്യങ്ങളിലും ഒന്നുതന്നെയായിരിക്കണം, എന്നാൽ മാത്രമേ ഒരു സമവാക്യം മറ്റൊന്നിൽ നിന്നും വ്യവകലനം ചെയ്യുമ്പോൾ വേരിയബിൾ റദ്ദാക്കപ്പെടുകയുള്ളൂ.

$$5x-y=27,-3x+4y=-23$$

5x, -3x എന്നിവ തുല്യമാക്കാൻ, ആദ്യ സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലെ എല്ലാ പദങ്ങളെയും -3 കൊണ്ടും രണ്ടാമത്തേതിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലെ എല്ലാ പദങ്ങളെയും 5 കൊണ്ടും ഗുണിക്കുക.

$$-3\times 5x-3\left(-1\right)y=-3\times 27,5\left(-3\right)x+5\times 4y=5\left(-23\right)$$

ലഘൂകരിക്കുക.

$$-15x+3y=-81,-15x+20y=-115$$

സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലുമുള്ള ഒരുപോലുള്ള പദങ്ങൾ കുറച്ച് -15x+3y=-81 എന്നതിൽ നിന്ന് -15x+20y=-115 കുറയ്ക്കുക.

$$-15x+15x+3y-20y=-81+115$$

-15x, 15x എന്നതിൽ ചേർക്കുക. -15x, 15x എന്നീ പദങ്ങൾ റദ്ദാക്കപ്പെട്ടു, സോൾവ് ചെയ്യാനാകുന്ന ഒരേയൊരു വേരിയബിൾ മാത്രമുള്ള സമവാക്യം നൽകുന്നു.

$$3y-20y=-81+115$$

3y, -20y എന്നതിൽ ചേർക്കുക.

$$-17y=-81+115$$

-81, 115 എന്നതിൽ ചേർക്കുക.

$$-17y=34$$

ഇരുവശങ്ങളെയും -17 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

$$y=-2$$

-3x+4y=-23 എന്നതിലെ y എന്നതിനായി -2 സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക. സംജാതമാകുന്ന സമവാക്യത്തിൽ ഒരേയൊരു വേരിയബിൾ മാത്രമുള്ളതിനാൽ, നിങ്ങൾക്ക് x എന്നതിനായി നേരിട്ട് സോൾവ് ചെയ്യാനാകും.

$$-3x+4\left(-2\right)=-23$$

4, -2 എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക.

$$-3x-8=-23$$

സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലും 8 ചേർക്കുക.

$$-3x=-15$$

ഇരുവശങ്ങളെയും -3 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

$$x=5$$

സിസ്റ്റം ഇപ്പോൾ പരിഹരിച്ചു.

$$x=5,y=-2$$