Решете z^6-z^3+1=0

$$z ^ { 6 } - z ^ { 3 } + 1 = 0$$

Реши за z

$$z\in e^{\frac{5\pi i}{9}},e^{\frac{17\pi i}{9}},e^{\frac{11\pi i}{9}},e^{\frac{13\pi i}{9}},e^{\frac{\pi i}{9}},e^{\frac{7\pi i}{9}}$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Заменете го t со z^{3}.

$$t^{2}-t+1=0$$

Сите равенки во обликот ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со помош на квадратна формула: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Заменете ги 1 со a, -1 со b и 1 со c во квадратната формула.

$$t=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{\left(-1\right)^{2}-4\times 1\times 1}}{2}$$

Пресметајте.

$$t=\frac{1±\sqrt{-3}}{2}$$

Решете ја равенката t=\frac{1±\sqrt{-3}}{2} кога ± е плус и кога ± е минус.

$$t=\frac{1+\sqrt{3}i}{2} t=\frac{-\sqrt{3}i+1}{2}$$

Бидејќи z=t^{3}, решенијата се добиени со решавање на равенката за секое t.

$$z=-e^{\frac{4\pi i}{9}} z=ie^{\frac{5\pi i}{18}} z=e^{\frac{\pi i}{9}} z=-ie^{\frac{7\pi i}{18}} z=-e^{\frac{2\pi i}{9}} z=ie^{\frac{\pi i}{18}}$$