Решете z^2-2iz+3=0

$$z ^ { 2 } - 2 i z + 3 = 0$$

Реши за z

$$z=3i$$

$$z=-i$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$z^{2}-2iz+3=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете 1 за a, -2i за b и 3 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{2i±\sqrt{\left(-2i\right)^{2}-4\times 3}}{2}$$

Квадрат од -2i.

$$z=\frac{2i±\sqrt{-4-4\times 3}}{2}$$

Множење на -4 со 3.

$$z=\frac{2i±\sqrt{-4-12}}{2}$$

Собирање на -4 и -12.

$$z=\frac{2i±\sqrt{-16}}{2}$$

Вадење квадратен корен од -16.

$$z=\frac{2i±4i}{2}$$

Сега решете ја равенката z=\frac{2i±4i}{2} кога ± ќе биде плус. Собирање на 2i и 4i.

$$z=\frac{6i}{2}$$

Делење на 6i со 2.

$$z=3i$$

Сега решете ја равенката z=\frac{2i±4i}{2} кога ± ќе биде минус. Одземање на 4i од 2i.

$$z=\frac{-2i}{2}$$

Делење на -2i со 2.

$$z=-i$$

Равенката сега е решена.

$$z=3i z=-i$$

Чекори за пополнување на квадратот

Квадратните равенки како оваа може да се решат со пополнување на квадратот. За да го пополните, равенката прво мора да биде во формата x^{2}+bx=c.

$$z^{2}-2iz+3=0$$

Одземање на 3 од двете страни на равенката.

$$z^{2}-2iz+3-3=-3$$

Ако одземете 3 од истиот број, ќе остане 0.

$$z^{2}-2iz=-3$$

Поделете го -2i, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете -i. Потоа додајте го квадратот од -i на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$z^{2}-2iz+\left(-i\right)^{2}=-3+\left(-i\right)^{2}$$

Квадрат од -i.

$$z^{2}-2iz-1=-3-1$$

Собирање на -3 и -1.

$$z^{2}-2iz-1=-4$$

Фактор z^{2}-2iz-1. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z-i\right)^{2}=-4$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(z-i\right)^{2}}=\sqrt{-4}$$

Поедноставување.

$$z-i=2i z-i=-2i$$

Додавање на i на двете страни на равенката.

$$z=3i z=-i$$