Решете z^2=z+1

$$z ^ { 2 } = z + 1$$

Реши за z

$$z = \frac{\sqrt{5} + 1}{2} \approx 1,618033989$$

$$z=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\approx -0,618033989$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Одземете z од двете страни.

$$z^{2}-z=1$$

Одземете 1 од двете страни.

$$z^{2}-z-1=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете 1 за a, -1 за b и -1 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-1\right)}}{2}$$

Множење на -4 со -1.

$$z=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+4}}{2}$$

Собирање на 1 и 4.

$$z=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{5}}{2}$$

Спротивно на -1 е 1.

$$z=\frac{1±\sqrt{5}}{2}$$

Сега решете ја равенката z=\frac{1±\sqrt{5}}{2} кога ± ќе биде плус. Собирање на 1 и \sqrt{5}.

$$z=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

Сега решете ја равенката z=\frac{1±\sqrt{5}}{2} кога ± ќе биде минус. Одземање на \sqrt{5} од 1.

$$z=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

Равенката сега е решена.

$$z=\frac{\sqrt{5}+1}{2} z=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

Чекори за пополнување на квадратот

Одземете z од двете страни.

$$z^{2}-z=1$$

Поделете го -1, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете -\frac{1}{2}. Потоа додајте го квадратот од -\frac{1}{2} на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$z^{2}-z+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=1+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Кренете -\frac{1}{2} на квадрат со кревање и на броителот и на именителот на дропката на квадрат.

$$z^{2}-z+\frac{1}{4}=1+\frac{1}{4}$$

Собирање на 1 и \frac{1}{4}.

$$z^{2}-z+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}$$

Фактор z^{2}-z+\frac{1}{4}. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{5}{4}$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(z-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5}{4}}$$

Поедноставување.

$$z-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{5}}{2} z-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{5}}{2}$$

Додавање на \frac{1}{2} на двете страни на равенката.

$$z=\frac{\sqrt{5}+1}{2} z=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$