Решете z^2+2/5z+1=0

$$z ^ { 2 } + \frac { 2 } { 5 } z + 1 = 0$$

Реши за z

$$z=\frac{-1+2\sqrt{6}i}{5}\approx -0,2+0,979795897i$$

$$z=\frac{-2\sqrt{6}i-1}{5}\approx -0,2-0,979795897i$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$z^{2}+\frac{2}{5}z+1=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете 1 за a, \frac{2}{5} за b и 1 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-\frac{2}{5}±\sqrt{\left(\frac{2}{5}\right)^{2}-4}}{2}$$

Кренете \frac{2}{5} на квадрат со кревање и на броителот и на именителот на дропката на квадрат.

$$z=\frac{-\frac{2}{5}±\sqrt{\frac{4}{25}-4}}{2}$$

Собирање на \frac{4}{25} и -4.

$$z=\frac{-\frac{2}{5}±\sqrt{-\frac{96}{25}}}{2}$$

Вадење квадратен корен од -\frac{96}{25}.

$$z=\frac{-\frac{2}{5}±\frac{4\sqrt{6}i}{5}}{2}$$

Сега решете ја равенката z=\frac{-\frac{2}{5}±\frac{4\sqrt{6}i}{5}}{2} кога ± ќе биде плус. Собирање на -\frac{2}{5} и \frac{4i\sqrt{6}}{5}.

$$z=\frac{-2+4\sqrt{6}i}{2\times 5}$$

Делење на \frac{-2+4i\sqrt{6}}{5} со 2.

$$z=\frac{-1+2\sqrt{6}i}{5}$$

Сега решете ја равенката z=\frac{-\frac{2}{5}±\frac{4\sqrt{6}i}{5}}{2} кога ± ќе биде минус. Одземање на \frac{4i\sqrt{6}}{5} од -\frac{2}{5}.

$$z=\frac{-4\sqrt{6}i-2}{2\times 5}$$

Делење на \frac{-2-4i\sqrt{6}}{5} со 2.

$$z=\frac{-2\sqrt{6}i-1}{5}$$

Равенката сега е решена.

$$z=\frac{-1+2\sqrt{6}i}{5} z=\frac{-2\sqrt{6}i-1}{5}$$

Чекори за пополнување на квадратот

Квадратните равенки како оваа може да се решат со пополнување на квадратот. За да го пополните, равенката прво мора да биде во формата x^{2}+bx=c.

$$z^{2}+\frac{2}{5}z+1=0$$

Одземање на 1 од двете страни на равенката.

$$z^{2}+\frac{2}{5}z+1-1=-1$$

Ако одземете 1 од истиот број, ќе остане 0.

$$z^{2}+\frac{2}{5}z=-1$$

Поделете го \frac{2}{5}, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете \frac{1}{5}. Потоа додајте го квадратот од \frac{1}{5} на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$z^{2}+\frac{2}{5}z+\left(\frac{1}{5}\right)^{2}=-1+\left(\frac{1}{5}\right)^{2}$$

Кренете \frac{1}{5} на квадрат со кревање и на броителот и на именителот на дропката на квадрат.

$$z^{2}+\frac{2}{5}z+\frac{1}{25}=-1+\frac{1}{25}$$

Собирање на -1 и \frac{1}{25}.

$$z^{2}+\frac{2}{5}z+\frac{1}{25}=-\frac{24}{25}$$

Фактор z^{2}+\frac{2}{5}z+\frac{1}{25}. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z+\frac{1}{5}\right)^{2}=-\frac{24}{25}$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(z+\frac{1}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{24}{25}}$$

Поедноставување.

$$z+\frac{1}{5}=\frac{2\sqrt{6}i}{5} z+\frac{1}{5}=-\frac{2\sqrt{6}i}{5}$$

Одземање на \frac{1}{5} од двете страни на равенката.

$$z=\frac{-1+2\sqrt{6}i}{5} z=\frac{-2\sqrt{6}i-1}{5}$$