Решете y=x+5;quady=3-x

$$y = x + 5 ; \quad y = 3 - x$$

Реши за y, x

$$x=-1$$

$$y=4$$

Чекори за користење замена

Земете ја предвид првата равенка. Одземете x од двете страни.

$$y-x=5$$

Земете ја предвид втората равенка. Додај x на двете страни.

$$y+x=3$$

За да решите две равенки со помош на замена, прво решете една од равенките за една од променливите. Потоа заменете го резултатот за променливата во другата равенка.

$$y-x=5,y+x=3$$

Изберете една од равенките и најдете решение за y со изолирање на y на левата страна од знакот за еднакво.

$$y-x=5$$

Додавање на x на двете страни на равенката.

$$y=x+5$$

Заменете го y со x+5 во другата равенка, y+x=3.

$$x+5+x=3$$

Собирање на x и x.

$$2x+5=3$$

Одземање на 5 од двете страни на равенката.

$$2x=-2$$

Поделете ги двете страни со 2.

$$x=-1$$

Заменете го x со -1 во y=x+5. Бидејќи равенката што ќе ја добиете содржи само една променлива, може директно да најдете решение за y.

$$y=-1+5$$

Собирање на 5 и -1.

$$y=4$$

Системот е решен сега.

$$y=4,x=-1$$

Чекори за користење матрици

Земете ја предвид првата равенка. Одземете x од двете страни.

$$y-x=5$$

Земете ја предвид втората равенка. Додај x на двете страни.

$$y+x=3$$

Ставете ги равенките во стандардна форма и потоа користете матрици за решавање на системот равенки.

$$y-x=5,y+x=3$$

Пишување на равенките во форма на матрица.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Помножете ја равенката налево со обратната матрица на \left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Производот од матрицата и нејзината спротивна вредност е идентитетска матрица.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Помножете ги матриците на левата страна од знакот за еднакво.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

За матрицата 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), обратната матрица е \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), па равенката во матрицата може да се препише како проблем за множење матрици.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{1-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{1-\left(-1\right)}&\frac{1}{1-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Направете аритметичко пресметување.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Множење на матриците.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 5+\frac{1}{2}\times 3\\-\frac{1}{2}\times 5+\frac{1}{2}\times 3\end{matrix}\right)$$

Направете аритметичко пресметување.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

Извлекување на елементите на матрицата y и x.

$$y=4,x=-1$$

Чекори за користење елиминација

Земете ја предвид првата равенка. Одземете x од двете страни.

$$y-x=5$$

Земете ја предвид втората равенка. Додај x на двете страни.

$$y+x=3$$

За да се реши со елиминација, коефициентите на една од променливите мора да бидат исти во двете равенки со цел променливата да се анулира кога едната равенка ќе се одземе од другата.

$$y-x=5,y+x=3$$

Одземете y+x=3 од y-x=5 со одземање на сличните членови од двете страни на знакот за еднакво.

$$y-y-x-x=5-3$$

Собирање на y и -y. Термините y и -y се анулираат, оставајќи равенка само со една променлива што може да се реши.

$$-x-x=5-3$$

Собирање на -x и -x.

$$-2x=5-3$$

Собирање на 5 и -3.

$$-2x=2$$

Поделете ги двете страни со -2.

$$x=-1$$

Заменете го x со -1 во y+x=3. Бидејќи равенката што ќе ја добиете содржи само една променлива, може директно да најдете решение за y.

$$y-1=3$$

Додавање на 1 на двете страни на равенката.

$$y=4$$

Системот е решен сега.

$$y=4,x=-1$$