Решете y=2x-1text{and}2x+y=3

$$y = 2 x - 1 \text { and } 2 x + y = 3$$

Реши за y, x

$$x=1$$

$$y=1$$

Чекори за користење замена

Земете ја предвид првата равенка. Одземете 2x од двете страни.

$$y-2x=-1$$

За да решите две равенки со помош на замена, прво решете една од равенките за една од променливите. Потоа заменете го резултатот за променливата во другата равенка.

$$y-2x=-1,y+2x=3$$

Изберете една од равенките и најдете решение за y со изолирање на y на левата страна од знакот за еднакво.

$$y-2x=-1$$

Додавање на 2x на двете страни на равенката.

$$y=2x-1$$

Заменете го y со 2x-1 во другата равенка, y+2x=3.

$$2x-1+2x=3$$

Собирање на 2x и 2x.

$$4x-1=3$$

Додавање на 1 на двете страни на равенката.

$$4x=4$$

Поделете ги двете страни со 4.

$$x=1$$

Заменете го x со 1 во y=2x-1. Бидејќи равенката што ќе ја добиете содржи само една променлива, може директно да најдете решение за y.

$$y=2-1$$

Собирање на -1 и 2.

$$y=1$$

Системот е решен сега.

$$y=1,x=1$$

Чекори за користење матрици

Земете ја предвид првата равенка. Одземете 2x од двете страни.

$$y-2x=-1$$

Ставете ги равенките во стандардна форма и потоа користете матрици за решавање на системот равенки.

$$y-2x=-1,y+2x=3$$

Пишување на равенките во форма на матрица.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Помножете ја равенката налево со обратната матрица на \left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Производот од матрицата и нејзината спротивна вредност е идентитетска матрица.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Помножете ги матриците на левата страна од знакот за еднакво.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

За матрицата 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), обратната матрица е \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), па равенката во матрицата може да се препише како проблем за множење матрици.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{2-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{2-\left(-2\right)}&\frac{1}{2-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Направете аритметичко пресметување.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Множење на матриците.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\left(-1\right)+\frac{1}{2}\times 3\\-\frac{1}{4}\left(-1\right)+\frac{1}{4}\times 3\end{matrix}\right)$$

Направете аритметичко пресметување.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Извлекување на елементите на матрицата y и x.

$$y=1,x=1$$

Чекори за користење елиминација

Земете ја предвид првата равенка. Одземете 2x од двете страни.

$$y-2x=-1$$

За да се реши со елиминација, коефициентите на една од променливите мора да бидат исти во двете равенки со цел променливата да се анулира кога едната равенка ќе се одземе од другата.

$$y-2x=-1,y+2x=3$$

Одземете y+2x=3 од y-2x=-1 со одземање на сличните членови од двете страни на знакот за еднакво.

$$y-y-2x-2x=-1-3$$

Собирање на y и -y. Термините y и -y се анулираат, оставајќи равенка само со една променлива што може да се реши.

$$-2x-2x=-1-3$$

Собирање на -2x и -2x.

$$-4x=-1-3$$

Собирање на -1 и -3.

$$-4x=-4$$

Поделете ги двете страни со -4.

$$x=1$$

Заменете го x со 1 во y+2x=3. Бидејќи равенката што ќе ја добиете содржи само една променлива, може директно да најдете решение за y.

$$y+2=3$$

Одземање на 2 од двете страни на равенката.

$$y=1$$

Системот е решен сега.

$$y=1,x=1$$