Решете y=2xtext{and}2y=-x

$$y = 2 x \text { and } 2 y = - x$$

Реши за y, x

$$x=0$$

$$y=0$$

Чекори за користење замена

Земете ја предвид првата равенка. Одземете 2x од двете страни.

$$y-2x=0$$

Земете ја предвид втората равенка. Додај x на двете страни.

$$2y+x=0$$

За да решите две равенки со помош на замена, прво решете една од равенките за една од променливите. Потоа заменете го резултатот за променливата во другата равенка.

$$y-2x=0,2y+x=0$$

Изберете една од равенките и најдете решение за y со изолирање на y на левата страна од знакот за еднакво.

$$y-2x=0$$

Додавање на 2x на двете страни на равенката.

$$y=2x$$

Заменете го y со 2x во другата равенка, 2y+x=0.

$$2\times 2x+x=0$$

Множење на 2 со 2x.

$$4x+x=0$$

Собирање на 4x и x.

$$5x=0$$

Поделете ги двете страни со 5.

$$x=0$$

Заменете го x со 0 во y=2x. Бидејќи равенката што ќе ја добиете содржи само една променлива, може директно да најдете решение за y.

$$y=0$$

Системот е решен сега.

$$y=0,x=0$$

Чекори за користење матрици

Земете ја предвид првата равенка. Одземете 2x од двете страни.

$$y-2x=0$$

Земете ја предвид втората равенка. Додај x на двете страни.

$$2y+x=0$$

Ставете ги равенките во стандардна форма и потоа користете матрици за решавање на системот равенки.

$$y-2x=0,2y+x=0$$

Пишување на равенките во форма на матрица.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Помножете ја равенката налево со обратната матрица на \left(\begin{matrix}1&-2\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Производот од матрицата и нејзината спротивна вредност е идентитетска матрица.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Помножете ги матриците на левата страна од знакот за еднакво.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

За матрицата 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), обратната матрица е \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), па равенката во матрицата може да се препише како проблем за множење матрици.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{1-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{1-\left(-2\times 2\right)}&\frac{1}{1-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Направете аритметичко пресметување.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\\-\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Множење на матриците.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Извлекување на елементите на матрицата y и x.

$$y=0,x=0$$

Чекори за користење елиминација

Земете ја предвид првата равенка. Одземете 2x од двете страни.

$$y-2x=0$$

Земете ја предвид втората равенка. Додај x на двете страни.

$$2y+x=0$$

За да се реши со елиминација, коефициентите на една од променливите мора да бидат исти во двете равенки со цел променливата да се анулира кога едната равенка ќе се одземе од другата.

$$y-2x=0,2y+x=0$$

За да ги направите y и 2y исти, помножете ги сите членови од двете страни на првата равенка со 2 и сите членови од двете страни на втората со 1.

$$2y+2\left(-2\right)x=0,2y+x=0$$

Поедноставување.

$$2y-4x=0,2y+x=0$$

Одземете 2y+x=0 од 2y-4x=0 со одземање на сличните членови од двете страни на знакот за еднакво.

$$2y-2y-4x-x=0$$

Собирање на 2y и -2y. Термините 2y и -2y се анулираат, оставајќи равенка само со една променлива што може да се реши.

$$-4x-x=0$$

Собирање на -4x и -x.

$$-5x=0$$

Поделете ги двете страни со -5.

$$x=0$$

Заменете го x со 0 во 2y+x=0. Бидејќи равенката што ќе ја добиете содржи само една променлива, може директно да најдете решение за y.

$$2y=0$$

Поделете ги двете страни со 2.

$$y=0$$

Системот е решен сега.

$$y=0,x=0$$