Решете y=2x+1text{and}x+y=7

$$y = 2 x + 1 \text { and } x + y = 7$$

Реши за y, x

$$x=2$$

$$y=5$$

Чекори за користење замена

Земете ја предвид првата равенка. Одземете 2x од двете страни.

$$y-2x=1$$

За да решите две равенки со помош на замена, прво решете една од равенките за една од променливите. Потоа заменете го резултатот за променливата во другата равенка.

$$y-2x=1,y+x=7$$

Изберете една од равенките и најдете решение за y со изолирање на y на левата страна од знакот за еднакво.

$$y-2x=1$$

Додавање на 2x на двете страни на равенката.

$$y=2x+1$$

Заменете го y со 2x+1 во другата равенка, y+x=7.

$$2x+1+x=7$$

Собирање на 2x и x.

$$3x+1=7$$

Одземање на 1 од двете страни на равенката.

$$3x=6$$

Поделете ги двете страни со 3.

$$x=2$$

Заменете го x со 2 во y=2x+1. Бидејќи равенката што ќе ја добиете содржи само една променлива, може директно да најдете решение за y.

$$y=2\times 2+1$$

Множење на 2 со 2.

$$y=4+1$$

Собирање на 1 и 4.

$$y=5$$

Системот е решен сега.

$$y=5,x=2$$

Чекори за користење матрици

Земете ја предвид првата равенка. Одземете 2x од двете страни.

$$y-2x=1$$

Ставете ги равенките во стандардна форма и потоа користете матрици за решавање на системот равенки.

$$y-2x=1,y+x=7$$

Пишување на равенките во форма на матрица.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Помножете ја равенката налево со обратната матрица на \left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Производот од матрицата и нејзината спротивна вредност е идентитетска матрица.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Помножете ги матриците на левата страна од знакот за еднакво.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

За матрицата 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), обратната матрица е \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), па равенката во матрицата може да се препише како проблем за множење матрици.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{1-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{1-\left(-2\right)}&\frac{1}{1-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Направете аритметичко пресметување.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Множење на матриците.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\times 7\\-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\times 7\end{matrix}\right)$$

Направете аритметичко пресметување.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Извлекување на елементите на матрицата y и x.

$$y=5,x=2$$

Чекори за користење елиминација

Земете ја предвид првата равенка. Одземете 2x од двете страни.

$$y-2x=1$$

За да се реши со елиминација, коефициентите на една од променливите мора да бидат исти во двете равенки со цел променливата да се анулира кога едната равенка ќе се одземе од другата.

$$y-2x=1,y+x=7$$

Одземете y+x=7 од y-2x=1 со одземање на сличните членови од двете страни на знакот за еднакво.

$$y-y-2x-x=1-7$$

Собирање на y и -y. Термините y и -y се анулираат, оставајќи равенка само со една променлива што може да се реши.

$$-2x-x=1-7$$

Собирање на -2x и -x.

$$-3x=1-7$$

Собирање на 1 и -7.

$$-3x=-6$$

Поделете ги двете страни со -3.

$$x=2$$

Заменете го x со 2 во y+x=7. Бидејќи равенката што ќе ја добиете содржи само една променлива, може директно да најдете решение за y.

$$y+2=7$$

Одземање на 2 од двете страни на равенката.

$$y=5$$

Системот е решен сега.

$$y=5,x=2$$