Решете y=1/3x;quady=60-3x

$$y = \frac { 1 } { 3 } x ; \quad y = 60 - 3 x$$

Реши за y, x

$$x=18$$

$$y=6$$

Чекори за користење замена

Земете ја предвид првата равенка. Одземете \frac{1}{3}x од двете страни.

$$y-\frac{1}{3}x=0$$

Земете ја предвид втората равенка. Додај 3x на двете страни.

$$y+3x=60$$

За да решите две равенки со помош на замена, прво решете една од равенките за една од променливите. Потоа заменете го резултатот за променливата во другата равенка.

$$y-\frac{1}{3}x=0,y+3x=60$$

Изберете една од равенките и најдете решение за y со изолирање на y на левата страна од знакот за еднакво.

$$y-\frac{1}{3}x=0$$

Додавање на \frac{x}{3} на двете страни на равенката.

$$y=\frac{1}{3}x$$

Заменете го y со \frac{x}{3} во другата равенка, y+3x=60.

$$\frac{1}{3}x+3x=60$$

Собирање на \frac{x}{3} и 3x.

$$\frac{10}{3}x=60$$

Делење на двете страни на равенката со \frac{10}{3}, што е исто како множење на двете страни со реципрочната вредност на дропката.

$$x=18$$

Заменете го x со 18 во y=\frac{1}{3}x. Бидејќи равенката што ќе ја добиете содржи само една променлива, може директно да најдете решение за y.

$$y=\frac{1}{3}\times 18$$

Множење на \frac{1}{3} со 18.

$$y=6$$

Системот е решен сега.

$$y=6,x=18$$

Чекори за користење матрици

Земете ја предвид првата равенка. Одземете \frac{1}{3}x од двете страни.

$$y-\frac{1}{3}x=0$$

Земете ја предвид втората равенка. Додај 3x на двете страни.

$$y+3x=60$$

Ставете ги равенките во стандардна форма и потоа користете матрици за решавање на системот равенки.

$$y-\frac{1}{3}x=0,y+3x=60$$

Пишување на равенките во форма на матрица.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

Помножете ја равенката налево со обратната матрица на \left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

Производот од матрицата и нејзината спротивна вредност е идентитетска матрица.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

Помножете ги матриците на левата страна од знакот за еднакво.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

За матрицата 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), обратната матрица е \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), па равенката во матрицата може да се препише како проблем за множење матрици.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-\frac{1}{3}\right)}&-\frac{-\frac{1}{3}}{3-\left(-\frac{1}{3}\right)}\\-\frac{1}{3-\left(-\frac{1}{3}\right)}&\frac{1}{3-\left(-\frac{1}{3}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

Направете аритметичко пресметување.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{10}&\frac{1}{10}\\-\frac{3}{10}&\frac{3}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

Множење на матриците.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}\times 60\\\frac{3}{10}\times 60\end{matrix}\right)$$

Направете аритметичко пресметување.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\18\end{matrix}\right)$$

Извлекување на елементите на матрицата y и x.

$$y=6,x=18$$

Чекори за користење елиминација

Земете ја предвид првата равенка. Одземете \frac{1}{3}x од двете страни.

$$y-\frac{1}{3}x=0$$

Земете ја предвид втората равенка. Додај 3x на двете страни.

$$y+3x=60$$

За да се реши со елиминација, коефициентите на една од променливите мора да бидат исти во двете равенки со цел променливата да се анулира кога едната равенка ќе се одземе од другата.

$$y-\frac{1}{3}x=0,y+3x=60$$

Одземете y+3x=60 од y-\frac{1}{3}x=0 со одземање на сличните членови од двете страни на знакот за еднакво.

$$y-y-\frac{1}{3}x-3x=-60$$

Собирање на y и -y. Термините y и -y се анулираат, оставајќи равенка само со една променлива што може да се реши.

$$-\frac{1}{3}x-3x=-60$$

Собирање на -\frac{x}{3} и -3x.

$$-\frac{10}{3}x=-60$$

Делење на двете страни на равенката со -\frac{10}{3}, што е исто како множење на двете страни со реципрочната вредност на дропката.

$$x=18$$

Заменете го x со 18 во y+3x=60. Бидејќи равенката што ќе ја добиете содржи само една променлива, може директно да најдете решение за y.

$$y+3\times 18=60$$

Множење на 3 со 18.

$$y+54=60$$

Одземање на 54 од двете страни на равенката.

$$y=6$$

Системот е решен сега.

$$y=6,x=18$$