Решете x^2-2x-1leq0

$$x ^ { 2 } - 2 x - 1 \leq 0$$

Реши за x

$$x\in \begin{bmatrix}1-\sqrt{2},\sqrt{2}+1\end{bmatrix}$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

За да ја решите нееднаквоста, факторирајте ја левата страна. Квадратниот полином може да се факторира со помош на трансформацијата ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), каде што x_{1} и x_{2} се решенијата на квадратната равенка ax^{2}+bx+c=0.

$$x^{2}-2x-1=0$$

Сите равенки во обликот ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со помош на квадратна формула: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Заменете ги 1 со a, -2 со b и -1 со c во квадратната формула.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 1\left(-1\right)}}{2}$$

Пресметајте.

$$x=\frac{2±2\sqrt{2}}{2}$$

Решете ја равенката x=\frac{2±2\sqrt{2}}{2} кога ± е плус и кога ± е минус.

$$x=\sqrt{2}+1 x=1-\sqrt{2}$$

Препиши ја нееднаквоста со помош на добиените решенија.

$$\left(x-\left(\sqrt{2}+1\right)\right)\left(x-\left(1-\sqrt{2}\right)\right)\leq 0$$

Со цел производот да биде ≤0, една од вредностите x-\left(\sqrt{2}+1\right) и x-\left(1-\sqrt{2}\right) мора да биде ≥0, а другата мора да биде ≤0. Земете го предвид случајот во кој x-\left(\sqrt{2}+1\right)\geq 0 и x-\left(1-\sqrt{2}\right)\leq 0.

$$x-\left(\sqrt{2}+1\right)\geq 0 x-\left(1-\sqrt{2}\right)\leq 0$$

Ова е неточно за секој x.

$$x\in \emptyset$$

Земете го предвид случајот во кој x-\left(\sqrt{2}+1\right)\leq 0 и x-\left(1-\sqrt{2}\right)\geq 0.

$$x-\left(1-\sqrt{2}\right)\geq 0 x-\left(\sqrt{2}+1\right)\leq 0$$

Решението кое ги задоволува двете нееднаквости е x\in \left[1-\sqrt{2},\sqrt{2}+1\right].

$$x\in \begin{bmatrix}1-\sqrt{2},\sqrt{2}+1\end{bmatrix}$$

Конечното решение е унија од добиените резултати.

$$x\in \begin{bmatrix}1-\sqrt{2},\sqrt{2}+1\end{bmatrix}$$