Решете x^2-2sqrt{3}x+8=0

$$x ^ { 2 } - 2 \sqrt { 3 } x + 8 = 0$$

Реши за x (complex solution)

$$x=\sqrt{3}+\sqrt{5}i\approx 1,732050808+2,236067977i$$

$$x=-\sqrt{5}i+\sqrt{3}\approx 1,732050808-2,236067977i$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$x^{2}+\left(-2\sqrt{3}\right)x+8=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете 1 за a, -2\sqrt{3} за b и 8 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\sqrt{3}\right)±\sqrt{\left(-2\sqrt{3}\right)^{2}-4\times 8}}{2}$$

Квадрат од -2\sqrt{3}.

$$x=\frac{-\left(-2\sqrt{3}\right)±\sqrt{12-4\times 8}}{2}$$

Множење на -4 со 8.

$$x=\frac{-\left(-2\sqrt{3}\right)±\sqrt{12-32}}{2}$$

Собирање на 12 и -32.

$$x=\frac{-\left(-2\sqrt{3}\right)±\sqrt{-20}}{2}$$

Вадење квадратен корен од -20.

$$x=\frac{-\left(-2\sqrt{3}\right)±2\sqrt{5}i}{2}$$

Спротивно на -2\sqrt{3} е 2\sqrt{3}.

$$x=\frac{2\sqrt{3}±2\sqrt{5}i}{2}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{2\sqrt{3}±2\sqrt{5}i}{2} кога ± ќе биде плус. Собирање на 2\sqrt{3} и 2i\sqrt{5}.

$$x=\frac{2\sqrt{3}+2\sqrt{5}i}{2}$$

Делење на 2\sqrt{3}+2i\sqrt{5} со 2.

$$x=\sqrt{3}+\sqrt{5}i$$

Сега решете ја равенката x=\frac{2\sqrt{3}±2\sqrt{5}i}{2} кога ± ќе биде минус. Одземање на 2i\sqrt{5} од 2\sqrt{3}.

$$x=\frac{-2\sqrt{5}i+2\sqrt{3}}{2}$$

Делење на 2\sqrt{3}-2i\sqrt{5} со 2.

$$x=-\sqrt{5}i+\sqrt{3}$$

Равенката сега е решена.

$$x=\sqrt{3}+\sqrt{5}i x=-\sqrt{5}i+\sqrt{3}$$

Чекори за пополнување на квадратот

Квадратните равенки како оваа може да се решат со пополнување на квадратот. За да го пополните, равенката прво мора да биде во формата x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+\left(-2\sqrt{3}\right)x+8=0$$

Одземање на 8 од двете страни на равенката.

$$x^{2}+\left(-2\sqrt{3}\right)x+8-8=-8$$

Ако одземете 8 од истиот број, ќе остане 0.

$$x^{2}+\left(-2\sqrt{3}\right)x=-8$$

Поделете го -2\sqrt{3}, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете -\sqrt{3}. Потоа додајте го квадратот од -\sqrt{3} на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$x^{2}+\left(-2\sqrt{3}\right)x+\left(-\sqrt{3}\right)^{2}=-8+\left(-\sqrt{3}\right)^{2}$$

Квадрат од -\sqrt{3}.

$$x^{2}+\left(-2\sqrt{3}\right)x+3=-8+3$$

Собирање на -8 и 3.

$$x^{2}+\left(-2\sqrt{3}\right)x+3=-5$$

Фактор x^{2}+\left(-2\sqrt{3}\right)x+3. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\sqrt{3}\right)^{2}=-5$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(x-\sqrt{3}\right)^{2}}=\sqrt{-5}$$

Поедноставување.

$$x-\sqrt{3}=\sqrt{5}i x-\sqrt{3}=-\sqrt{5}i$$

Додавање на \sqrt{3} на двете страни на равенката.

$$x=\sqrt{3}+\sqrt{5}i x=-\sqrt{5}i+\sqrt{3}$$