Решете x^2-13x+42=0

$$x ^ { 2 } - 13 x + 42 = 0$$

Реши за x

$$x=6$$

$$x=7$$

Чекори за употреба на факторирање

За да ја решите равенката, факторирајте x^{2}-13x+42 со помош на формулата x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). За да ги најдете a и b, поставете систем за решавање.

$$a+b=-13 ab=42$$

Бидејќи ab е позитивно, a и b го имаат истиот знак. Бидејќи a+b е негативно, и a и b се негативни. Наведете ги сите парови цели броеви што даваат производ 42.

$$-1,-42 -2,-21 -3,-14 -6,-7$$

Пресметајте го збирот за секој пар.

$$-1-42=-43 -2-21=-23 -3-14=-17 -6-7=-13$$

Решението е парот што дава збир -13.

$$a=-7 b=-6$$

Препишете го факторираниот израз \left(x+a\right)\left(x+b\right) со помош на добиените вредности.

$$\left(x-7\right)\left(x-6\right)$$

За да најдете решенија за равенката, решете ги x-7=0 и x-6=0.

$$x=7 x=6$$

Чекори за употреба на факторирање со групирање

За да ја решите равенката, факторирајте ја левата страна со групирање. Прво, левата страна треба да се препише како x^{2}+ax+bx+42. За да ги најдете a и b, поставете систем за решавање.

$$a+b=-13 ab=1\times 42=42$$

Бидејќи ab е позитивно, a и b го имаат истиот знак. Бидејќи a+b е негативно, и a и b се негативни. Наведете ги сите парови цели броеви што даваат производ 42.

$$-1,-42 -2,-21 -3,-14 -6,-7$$

Пресметајте го збирот за секој пар.

$$-1-42=-43 -2-21=-23 -3-14=-17 -6-7=-13$$

Решението е парот што дава збир -13.

$$a=-7 b=-6$$

Препиши го x^{2}-13x+42 како \left(x^{2}-7x\right)+\left(-6x+42\right).

$$\left(x^{2}-7x\right)+\left(-6x+42\right)$$

Исклучете го факторот x во првата група и -6 во втората група.

$$x\left(x-7\right)-6\left(x-7\right)$$

Факторирај го заедничкиот термин x-7 со помош на дистрибутивно својство.

$$\left(x-7\right)\left(x-6\right)$$

За да најдете решенија за равенката, решете ги x-7=0 и x-6=0.

$$x=7 x=6$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$x^{2}-13x+42=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете 1 за a, -13 за b и 42 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{\left(-13\right)^{2}-4\times 42}}{2}$$

Квадрат од -13.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-4\times 42}}{2}$$

Множење на -4 со 42.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-168}}{2}$$

Собирање на 169 и -168.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{1}}{2}$$

Вадење квадратен корен од 1.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±1}{2}$$

Спротивно на -13 е 13.

$$x=\frac{13±1}{2}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{13±1}{2} кога ± ќе биде плус. Собирање на 13 и 1.

$$x=\frac{14}{2}$$

Делење на 14 со 2.

$$x=7$$

Сега решете ја равенката x=\frac{13±1}{2} кога ± ќе биде минус. Одземање на 1 од 13.

$$x=\frac{12}{2}$$

Делење на 12 со 2.

$$x=6$$

Равенката сега е решена.

$$x=7 x=6$$

Чекори за пополнување на квадратот

Квадратните равенки како оваа може да се решат со пополнување на квадратот. За да го пополните, равенката прво мора да биде во формата x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-13x+42=0$$

Одземање на 42 од двете страни на равенката.

$$x^{2}-13x+42-42=-42$$

Ако одземете 42 од истиот број, ќе остане 0.

$$x^{2}-13x=-42$$

Поделете го -13, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете -\frac{13}{2}. Потоа додајте го квадратот од -\frac{13}{2} на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$x^{2}-13x+\left(-\frac{13}{2}\right)^{2}=-42+\left(-\frac{13}{2}\right)^{2}$$

Кренете -\frac{13}{2} на квадрат со кревање и на броителот и на именителот на дропката на квадрат.

$$x^{2}-13x+\frac{169}{4}=-42+\frac{169}{4}$$

Собирање на -42 и \frac{169}{4}.

$$x^{2}-13x+\frac{169}{4}=\frac{1}{4}$$

Фактор x^{2}-13x+\frac{169}{4}. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{13}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

Поедноставување.

$$x-\frac{13}{2}=\frac{1}{2} x-\frac{13}{2}=-\frac{1}{2}$$

Додавање на \frac{13}{2} на двете страни на равенката.

$$x=7 x=6$$