Решете x^2+34x-71000=0

$$x ^ { 2 } + 34 x - 71000 = 0$$

Реши за x

$$x=-284$$

$$x=250$$

Чекори за употреба на факторирање

За да ја решите равенката, факторирајте x^{2}+34x-71000 со помош на формулата x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). За да ги најдете a и b, поставете систем за решавање.

$$a+b=34 ab=-71000$$

Бидејќи ab е негативно, a и b имаат спротивни знаци. Бидејќи a+b е позитивно, позитивниот број има поголема апсолутна вредност од негативниот. Наведете ги сите парови цели броеви што даваат производ -71000.

$$-1,71000 -2,35500 -4,17750 -5,14200 -8,8875 -10,7100 -20,3550 -25,2840 -40,1775 -50,1420 -71,1000 -100,710 -125,568 -142,500 -200,355 -250,284$$

Пресметајте го збирот за секој пар.

$$-1+71000=70999 -2+35500=35498 -4+17750=17746 -5+14200=14195 -8+8875=8867 -10+7100=7090 -20+3550=3530 -25+2840=2815 -40+1775=1735 -50+1420=1370 -71+1000=929 -100+710=610 -125+568=443 -142+500=358 -200+355=155 -250+284=34$$

Решението е парот што дава збир 34.

$$a=-250 b=284$$

Препишете го факторираниот израз \left(x+a\right)\left(x+b\right) со помош на добиените вредности.

$$\left(x-250\right)\left(x+284\right)$$

За да најдете решенија за равенката, решете ги x-250=0 и x+284=0.

$$x=250 x=-284$$

Чекори за употреба на факторирање со групирање

За да ја решите равенката, факторирајте ја левата страна со групирање. Прво, левата страна треба да се препише како x^{2}+ax+bx-71000. За да ги најдете a и b, поставете систем за решавање.

$$a+b=34 ab=1\left(-71000\right)=-71000$$

Бидејќи ab е негативно, a и b имаат спротивни знаци. Бидејќи a+b е позитивно, позитивниот број има поголема апсолутна вредност од негативниот. Наведете ги сите парови цели броеви што даваат производ -71000.

$$-1,71000 -2,35500 -4,17750 -5,14200 -8,8875 -10,7100 -20,3550 -25,2840 -40,1775 -50,1420 -71,1000 -100,710 -125,568 -142,500 -200,355 -250,284$$

Пресметајте го збирот за секој пар.

$$-1+71000=70999 -2+35500=35498 -4+17750=17746 -5+14200=14195 -8+8875=8867 -10+7100=7090 -20+3550=3530 -25+2840=2815 -40+1775=1735 -50+1420=1370 -71+1000=929 -100+710=610 -125+568=443 -142+500=358 -200+355=155 -250+284=34$$

Решението е парот што дава збир 34.

$$a=-250 b=284$$

Препиши го x^{2}+34x-71000 како \left(x^{2}-250x\right)+\left(284x-71000\right).

$$\left(x^{2}-250x\right)+\left(284x-71000\right)$$

Исклучете го факторот x во првата група и 284 во втората група.

$$x\left(x-250\right)+284\left(x-250\right)$$

Факторирај го заедничкиот термин x-250 со помош на дистрибутивно својство.

$$\left(x-250\right)\left(x+284\right)$$

За да најдете решенија за равенката, решете ги x-250=0 и x+284=0.

$$x=250 x=-284$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$x^{2}+34x-71000=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете 1 за a, 34 за b и -71000 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-34±\sqrt{34^{2}-4\left(-71000\right)}}{2}$$

Квадрат од 34.

$$x=\frac{-34±\sqrt{1156-4\left(-71000\right)}}{2}$$

Множење на -4 со -71000.

$$x=\frac{-34±\sqrt{1156+284000}}{2}$$

Собирање на 1156 и 284000.

$$x=\frac{-34±\sqrt{285156}}{2}$$

Вадење квадратен корен од 285156.

$$x=\frac{-34±534}{2}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{-34±534}{2} кога ± ќе биде плус. Собирање на -34 и 534.

$$x=\frac{500}{2}$$

Делење на 500 со 2.

$$x=250$$

Сега решете ја равенката x=\frac{-34±534}{2} кога ± ќе биде минус. Одземање на 534 од -34.

$$x=-\frac{568}{2}$$

Делење на -568 со 2.

$$x=-284$$

Равенката сега е решена.

$$x=250 x=-284$$

Чекори за пополнување на квадратот

Квадратните равенки како оваа може да се решат со пополнување на квадратот. За да го пополните, равенката прво мора да биде во формата x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+34x-71000=0$$

Додавање на 71000 на двете страни на равенката.

$$x^{2}+34x-71000-\left(-71000\right)=-\left(-71000\right)$$

Ако одземете -71000 од истиот број, ќе остане 0.

$$x^{2}+34x=-\left(-71000\right)$$

Одземање на -71000 од 0.

$$x^{2}+34x=71000$$

Поделете го 34, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете 17. Потоа додајте го квадратот од 17 на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$x^{2}+34x+17^{2}=71000+17^{2}$$

Квадрат од 17.

$$x^{2}+34x+289=71000+289$$

Собирање на 71000 и 289.

$$x^{2}+34x+289=71289$$

Фактор x^{2}+34x+289. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+17\right)^{2}=71289$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(x+17\right)^{2}}=\sqrt{71289}$$

Поедноставување.

$$x+17=267 x+17=-267$$

Одземање на 17 од двете страни на равенката.

$$x=250 x=-284$$