Решете x^{2}+(x^{2}-2x)^2=10+(x+1)^2+(x^2-2x-3)^2

$$x ^ { 2 } + ( x ^ { 2 } - 2 x ) ^ { 2 } = 10 + ( x + 1 ) ^ { 2 } + ( x ^ { 2 } - 2 x - 3 ) ^ { 2 }$$

Реши за x

$$x=-1$$

$$x = \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3} \approx 3,333333333$$

Чекори за употреба на факторирање со групирање

Користете ја биномната теорема \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} за проширување на \left(x^{2}-2x\right)^{2}.

$$x^{2}+\left(x^{2}\right)^{2}-4x^{2}x+4x^{2}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

За да го подигнете степенот на друг степен, помножете ги степеновите показатели. Помножете ги 2 и 2 за да добиете 4.

$$x^{2}+x^{4}-4x^{2}x+4x^{2}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

За да множите степени со иста основа, соберете ги нивните степенови показатели. Соберете ги 2 и 1 за да добиете 3.

$$x^{2}+x^{4}-4x^{3}+4x^{2}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Комбинирајте x^{2} и 4x^{2} за да добиете 5x^{2}.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Користете ја биномната теорема \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} за проширување на \left(x+1\right)^{2}.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=10+x^{2}+2x+1+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Соберете 10 и 1 за да добиете 11.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11+x^{2}+2x+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Квадрат од x^{2}-2x-3.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11+x^{2}+2x+x^{4}-4x^{3}-2x^{2}+12x+9$$

Комбинирајте x^{2} и -2x^{2} за да добиете -x^{2}.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11-x^{2}+2x+x^{4}-4x^{3}+12x+9$$

Комбинирајте 2x и 12x за да добиете 14x.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11-x^{2}+14x+x^{4}-4x^{3}+9$$

Соберете 11 и 9 за да добиете 20.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=20-x^{2}+14x+x^{4}-4x^{3}$$

Одземете 20 од двете страни.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20=-x^{2}+14x+x^{4}-4x^{3}$$

Додај x^{2} на двете страни.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20+x^{2}=14x+x^{4}-4x^{3}$$

Комбинирајте 5x^{2} и x^{2} за да добиете 6x^{2}.

$$6x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20=14x+x^{4}-4x^{3}$$

Одземете 14x од двете страни.

$$6x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20-14x=x^{4}-4x^{3}$$

Одземете x^{4} од двете страни.

$$6x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20-14x-x^{4}=-4x^{3}$$

Комбинирајте x^{4} и -x^{4} за да добиете 0.

$$6x^{2}-4x^{3}-20-14x=-4x^{3}$$

Додај 4x^{3} на двете страни.

$$6x^{2}-4x^{3}-20-14x+4x^{3}=0$$

Комбинирајте -4x^{3} и 4x^{3} за да добиете 0.

$$6x^{2}-20-14x=0$$

Поделете ги двете страни со 2.

$$3x^{2}-10-7x=0$$

Прераспоредете го полиномот за да го ставите во стандардна форма. Распоредете ги членовите почнувајќи од највисокиот да најнискиот степен.

$$3x^{2}-7x-10=0$$

За да ја решите равенката, факторирајте ја левата страна со групирање. Прво, левата страна треба да се препише како 3x^{2}+ax+bx-10. За да ги најдете a и b, поставете систем за решавање.

$$a+b=-7 ab=3\left(-10\right)=-30$$

Бидејќи ab е негативно, a и b имаат спротивни знаци. Бидејќи a+b е негативно, негативниот број има поголема апсолутна вредност од позитивниот. Наведете ги сите парови цели броеви што даваат производ -30.

$$1,-30 2,-15 3,-10 5,-6$$

Пресметајте го збирот за секој пар.

$$1-30=-29 2-15=-13 3-10=-7 5-6=-1$$

Решението е парот што дава збир -7.

$$a=-10 b=3$$

Препиши го 3x^{2}-7x-10 како \left(3x^{2}-10x\right)+\left(3x-10\right).

$$\left(3x^{2}-10x\right)+\left(3x-10\right)$$

Факторирај го x во 3x^{2}-10x.

$$x\left(3x-10\right)+3x-10$$

Факторирај го заедничкиот термин 3x-10 со помош на дистрибутивно својство.

$$\left(3x-10\right)\left(x+1\right)$$

За да најдете решенија за равенката, решете ги 3x-10=0 и x+1=0.

$$x=\frac{10}{3} x=-1$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Користете ја биномната теорема \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} за проширување на \left(x^{2}-2x\right)^{2}.

$$x^{2}+\left(x^{2}\right)^{2}-4x^{2}x+4x^{2}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

За да го подигнете степенот на друг степен, помножете ги степеновите показатели. Помножете ги 2 и 2 за да добиете 4.

$$x^{2}+x^{4}-4x^{2}x+4x^{2}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

За да множите степени со иста основа, соберете ги нивните степенови показатели. Соберете ги 2 и 1 за да добиете 3.

$$x^{2}+x^{4}-4x^{3}+4x^{2}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Комбинирајте x^{2} и 4x^{2} за да добиете 5x^{2}.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Користете ја биномната теорема \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} за проширување на \left(x+1\right)^{2}.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=10+x^{2}+2x+1+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Соберете 10 и 1 за да добиете 11.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11+x^{2}+2x+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Квадрат од x^{2}-2x-3.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11+x^{2}+2x+x^{4}-4x^{3}-2x^{2}+12x+9$$

Комбинирајте x^{2} и -2x^{2} за да добиете -x^{2}.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11-x^{2}+2x+x^{4}-4x^{3}+12x+9$$

Комбинирајте 2x и 12x за да добиете 14x.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11-x^{2}+14x+x^{4}-4x^{3}+9$$

Соберете 11 и 9 за да добиете 20.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=20-x^{2}+14x+x^{4}-4x^{3}$$

Одземете 20 од двете страни.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20=-x^{2}+14x+x^{4}-4x^{3}$$

Додај x^{2} на двете страни.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20+x^{2}=14x+x^{4}-4x^{3}$$

Комбинирајте 5x^{2} и x^{2} за да добиете 6x^{2}.

$$6x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20=14x+x^{4}-4x^{3}$$

Одземете 14x од двете страни.

$$6x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20-14x=x^{4}-4x^{3}$$

Одземете x^{4} од двете страни.

$$6x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20-14x-x^{4}=-4x^{3}$$

Комбинирајте x^{4} и -x^{4} за да добиете 0.

$$6x^{2}-4x^{3}-20-14x=-4x^{3}$$

Додај 4x^{3} на двете страни.

$$6x^{2}-4x^{3}-20-14x+4x^{3}=0$$

Комбинирајте -4x^{3} и 4x^{3} за да добиете 0.

$$6x^{2}-20-14x=0$$

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$6x^{2}-14x-20=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете 6 за a, -14 за b и -20 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 6\left(-20\right)}}{2\times 6}$$

Квадрат од -14.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 6\left(-20\right)}}{2\times 6}$$

Множење на -4 со 6.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-24\left(-20\right)}}{2\times 6}$$

Множење на -24 со -20.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+480}}{2\times 6}$$

Собирање на 196 и 480.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{676}}{2\times 6}$$

Вадење квадратен корен од 676.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±26}{2\times 6}$$

Спротивно на -14 е 14.

$$x=\frac{14±26}{2\times 6}$$

Множење на 2 со 6.

$$x=\frac{14±26}{12}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{14±26}{12} кога ± ќе биде плус. Собирање на 14 и 26.

$$x=\frac{40}{12}$$

Намалете ја дропката \frac{40}{12} до најниските услови со извлекување и откажување на 4.

$$x=\frac{10}{3}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{14±26}{12} кога ± ќе биде минус. Одземање на 26 од 14.

$$x=-\frac{12}{12}$$

Делење на -12 со 12.

$$x=-1$$

Равенката сега е решена.

$$x=\frac{10}{3} x=-1$$

Чекори за пополнување на квадратот

Користете ја биномната теорема \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} за проширување на \left(x^{2}-2x\right)^{2}.

$$x^{2}+\left(x^{2}\right)^{2}-4x^{2}x+4x^{2}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

За да го подигнете степенот на друг степен, помножете ги степеновите показатели. Помножете ги 2 и 2 за да добиете 4.

$$x^{2}+x^{4}-4x^{2}x+4x^{2}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

За да множите степени со иста основа, соберете ги нивните степенови показатели. Соберете ги 2 и 1 за да добиете 3.

$$x^{2}+x^{4}-4x^{3}+4x^{2}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Комбинирајте x^{2} и 4x^{2} за да добиете 5x^{2}.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Користете ја биномната теорема \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} за проширување на \left(x+1\right)^{2}.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=10+x^{2}+2x+1+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Соберете 10 и 1 за да добиете 11.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11+x^{2}+2x+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Квадрат од x^{2}-2x-3.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11+x^{2}+2x+x^{4}-4x^{3}-2x^{2}+12x+9$$

Комбинирајте x^{2} и -2x^{2} за да добиете -x^{2}.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11-x^{2}+2x+x^{4}-4x^{3}+12x+9$$

Комбинирајте 2x и 12x за да добиете 14x.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11-x^{2}+14x+x^{4}-4x^{3}+9$$

Соберете 11 и 9 за да добиете 20.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=20-x^{2}+14x+x^{4}-4x^{3}$$

Додај x^{2} на двете страни.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}+x^{2}=20+14x+x^{4}-4x^{3}$$

Комбинирајте 5x^{2} и x^{2} за да добиете 6x^{2}.

$$6x^{2}+x^{4}-4x^{3}=20+14x+x^{4}-4x^{3}$$

Одземете 14x од двете страни.

$$6x^{2}+x^{4}-4x^{3}-14x=20+x^{4}-4x^{3}$$

Одземете x^{4} од двете страни.

$$6x^{2}+x^{4}-4x^{3}-14x-x^{4}=20-4x^{3}$$

Комбинирајте x^{4} и -x^{4} за да добиете 0.

$$6x^{2}-4x^{3}-14x=20-4x^{3}$$

Додај 4x^{3} на двете страни.

$$6x^{2}-4x^{3}-14x+4x^{3}=20$$

Комбинирајте -4x^{3} и 4x^{3} за да добиете 0.

$$6x^{2}-14x=20$$

Поделете ги двете страни со 6.

$$\frac{6x^{2}-14x}{6}=\frac{20}{6}$$

Ако поделите со 6, ќе се врати множењето со 6.

$$x^{2}+\left(-\frac{14}{6}\right)x=\frac{20}{6}$$

Намалете ја дропката \frac{-14}{6} до најниските услови со извлекување и откажување на 2.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x=\frac{20}{6}$$

Намалете ја дропката \frac{20}{6} до најниските услови со извлекување и откажување на 2.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x=\frac{10}{3}$$

Поделете го -\frac{7}{3}, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете -\frac{7}{6}. Потоа додајте го квадратот од -\frac{7}{6} на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}=\frac{10}{3}+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}$$

Кренете -\frac{7}{6} на квадрат со кревање и на броителот и на именителот на дропката на квадрат.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=\frac{10}{3}+\frac{49}{36}$$

Соберете ги \frac{10}{3} и \frac{49}{36} со наоѓање на заедничкиот именител и собирање на броителите. Потоа намалете ја дропката на најмалите членови ако е можно.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=\frac{169}{36}$$

Фактор x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{6}\right)^{2}=\frac{169}{36}$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{36}}$$

Поедноставување.

$$x-\frac{7}{6}=\frac{13}{6} x-\frac{7}{6}=-\frac{13}{6}$$

Додавање на \frac{7}{6} на двете страни на равенката.

$$x=\frac{10}{3} x=-1$$