Решете x+3x+1/2-x-2/3=x^2-2

$$x + \frac { 3 x + 1 } { 2 } - \frac { x - 2 } { 3 } = x ^ { 2 } - 2$$

Реши за x

$$x=-1$$

$$x = \frac{19}{6} = 3\frac{1}{6} \approx 3,166666667$$

Чекори за употреба на факторирање со групирање

Помножете ги двете страни на равенката со 6, најмалиот заеднички содржател на 2,3.

$$6x+3\left(3x+1\right)-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Користете го дистрибутивното својство за да помножите 3 со 3x+1.

$$6x+9x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Комбинирајте 6x и 9x за да добиете 15x.

$$15x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Користете го дистрибутивното својство за да помножите -2 со x-2.

$$15x+3-2x+4=6x^{2}-12$$

Комбинирајте 15x и -2x за да добиете 13x.

$$13x+3+4=6x^{2}-12$$

Соберете 3 и 4 за да добиете 7.

$$13x+7=6x^{2}-12$$

Одземете 6x^{2} од двете страни.

$$13x+7-6x^{2}=-12$$

Додај 12 на двете страни.

$$13x+7-6x^{2}+12=0$$

Соберете 7 и 12 за да добиете 19.

$$13x+19-6x^{2}=0$$

Прераспоредете го полиномот за да го ставите во стандардна форма. Распоредете ги членовите почнувајќи од највисокиот да најнискиот степен.

$$-6x^{2}+13x+19=0$$

За да ја решите равенката, факторирајте ја левата страна со групирање. Прво, левата страна треба да се препише како -6x^{2}+ax+bx+19. За да ги најдете a и b, поставете систем за решавање.

$$a+b=13 ab=-6\times 19=-114$$

Бидејќи ab е негативно, a и b имаат спротивни знаци. Бидејќи a+b е позитивно, позитивниот број има поголема апсолутна вредност од негативниот. Наведете ги сите парови цели броеви што даваат производ -114.

$$-1,114 -2,57 -3,38 -6,19$$

Пресметајте го збирот за секој пар.

$$-1+114=113 -2+57=55 -3+38=35 -6+19=13$$

Решението е парот што дава збир 13.

$$a=19 b=-6$$

Препиши го -6x^{2}+13x+19 како \left(-6x^{2}+19x\right)+\left(-6x+19\right).

$$\left(-6x^{2}+19x\right)+\left(-6x+19\right)$$

Исклучете го факторот -x во првата група и -1 во втората група.

$$-x\left(6x-19\right)-\left(6x-19\right)$$

Факторирај го заедничкиот термин 6x-19 со помош на дистрибутивно својство.

$$\left(6x-19\right)\left(-x-1\right)$$

За да најдете решенија за равенката, решете ги 6x-19=0 и -x-1=0.

$$x=\frac{19}{6} x=-1$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Помножете ги двете страни на равенката со 6, најмалиот заеднички содржател на 2,3.

$$6x+3\left(3x+1\right)-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Користете го дистрибутивното својство за да помножите 3 со 3x+1.

$$6x+9x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Комбинирајте 6x и 9x за да добиете 15x.

$$15x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Користете го дистрибутивното својство за да помножите -2 со x-2.

$$15x+3-2x+4=6x^{2}-12$$

Комбинирајте 15x и -2x за да добиете 13x.

$$13x+3+4=6x^{2}-12$$

Соберете 3 и 4 за да добиете 7.

$$13x+7=6x^{2}-12$$

Одземете 6x^{2} од двете страни.

$$13x+7-6x^{2}=-12$$

Додај 12 на двете страни.

$$13x+7-6x^{2}+12=0$$

Соберете 7 и 12 за да добиете 19.

$$13x+19-6x^{2}=0$$

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$-6x^{2}+13x+19=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете -6 за a, 13 за b и 19 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\left(-6\right)\times 19}}{2\left(-6\right)}$$

Квадрат од 13.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\left(-6\right)\times 19}}{2\left(-6\right)}$$

Множење на -4 со -6.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+24\times 19}}{2\left(-6\right)}$$

Множење на 24 со 19.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+456}}{2\left(-6\right)}$$

Собирање на 169 и 456.

$$x=\frac{-13±\sqrt{625}}{2\left(-6\right)}$$

Вадење квадратен корен од 625.

$$x=\frac{-13±25}{2\left(-6\right)}$$

Множење на 2 со -6.

$$x=\frac{-13±25}{-12}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{-13±25}{-12} кога ± ќе биде плус. Собирање на -13 и 25.

$$x=\frac{12}{-12}$$

Делење на 12 со -12.

$$x=-1$$

Сега решете ја равенката x=\frac{-13±25}{-12} кога ± ќе биде минус. Одземање на 25 од -13.

$$x=-\frac{38}{-12}$$

Намалете ја дропката \frac{-38}{-12} до најниските услови со извлекување и откажување на 2.

$$x=\frac{19}{6}$$

Равенката сега е решена.

$$x=-1 x=\frac{19}{6}$$

Чекори за пополнување на квадратот

Помножете ги двете страни на равенката со 6, најмалиот заеднички содржател на 2,3.

$$6x+3\left(3x+1\right)-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Користете го дистрибутивното својство за да помножите 3 со 3x+1.

$$6x+9x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Комбинирајте 6x и 9x за да добиете 15x.

$$15x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Користете го дистрибутивното својство за да помножите -2 со x-2.

$$15x+3-2x+4=6x^{2}-12$$

Комбинирајте 15x и -2x за да добиете 13x.

$$13x+3+4=6x^{2}-12$$

Соберете 3 и 4 за да добиете 7.

$$13x+7=6x^{2}-12$$

Одземете 6x^{2} од двете страни.

$$13x+7-6x^{2}=-12$$

Одземете 7 од двете страни.

$$13x-6x^{2}=-12-7$$

Одземете 7 од -12 за да добиете -19.

$$13x-6x^{2}=-19$$

Квадратните равенки како оваа може да се решат со пополнување на квадратот. За да го пополните, равенката прво мора да биде во формата x^{2}+bx=c.

$$-6x^{2}+13x=-19$$

Поделете ги двете страни со -6.

$$\frac{-6x^{2}+13x}{-6}=-\frac{19}{-6}$$

Ако поделите со -6, ќе се врати множењето со -6.

$$x^{2}+\frac{13}{-6}x=-\frac{19}{-6}$$

Делење на 13 со -6.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x=-\frac{19}{-6}$$

Делење на -19 со -6.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x=\frac{19}{6}$$

Поделете го -\frac{13}{6}, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете -\frac{13}{12}. Потоа додајте го квадратот од -\frac{13}{12} на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x+\left(-\frac{13}{12}\right)^{2}=\frac{19}{6}+\left(-\frac{13}{12}\right)^{2}$$

Кренете -\frac{13}{12} на квадрат со кревање и на броителот и на именителот на дропката на квадрат.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x+\frac{169}{144}=\frac{19}{6}+\frac{169}{144}$$

Соберете ги \frac{19}{6} и \frac{169}{144} со наоѓање на заедничкиот именител и собирање на броителите. Потоа намалете ја дропката на најмалите членови ако е можно.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x+\frac{169}{144}=\frac{625}{144}$$

Фактор x^{2}-\frac{13}{6}x+\frac{169}{144}. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{13}{12}\right)^{2}=\frac{625}{144}$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{625}{144}}$$

Поедноставување.

$$x-\frac{13}{12}=\frac{25}{12} x-\frac{13}{12}=-\frac{25}{12}$$

Додавање на \frac{13}{12} на двете страни на равенката.

$$x=\frac{19}{6} x=-1$$