Решете n^2-n-210=0

$$n ^ { 2 } - n - 210 = 0$$

Реши за n

$$n=-14$$

$$n=15$$

Чекори за употреба на факторирање

За да ја решите равенката, факторирајте n^{2}-n-210 со помош на формулата n^{2}+\left(a+b\right)n+ab=\left(n+a\right)\left(n+b\right). За да ги најдете a и b, поставете систем за решавање.

$$a+b=-1 ab=-210$$

Бидејќи ab е негативно, a и b имаат спротивни знаци. Бидејќи a+b е негативно, негативниот број има поголема апсолутна вредност од позитивниот. Наведете ги сите парови цели броеви што даваат производ -210.

$$1,-210 2,-105 3,-70 5,-42 6,-35 7,-30 10,-21 14,-15$$

Пресметајте го збирот за секој пар.

$$1-210=-209 2-105=-103 3-70=-67 5-42=-37 6-35=-29 7-30=-23 10-21=-11 14-15=-1$$

Решението е парот што дава збир -1.

$$a=-15 b=14$$

Препишете го факторираниот израз \left(n+a\right)\left(n+b\right) со помош на добиените вредности.

$$\left(n-15\right)\left(n+14\right)$$

За да најдете решенија за равенката, решете ги n-15=0 и n+14=0.

$$n=15 n=-14$$

Чекори за употреба на факторирање со групирање

За да ја решите равенката, факторирајте ја левата страна со групирање. Прво, левата страна треба да се препише како n^{2}+an+bn-210. За да ги најдете a и b, поставете систем за решавање.

$$a+b=-1 ab=1\left(-210\right)=-210$$

Бидејќи ab е негативно, a и b имаат спротивни знаци. Бидејќи a+b е негативно, негативниот број има поголема апсолутна вредност од позитивниот. Наведете ги сите парови цели броеви што даваат производ -210.

$$1,-210 2,-105 3,-70 5,-42 6,-35 7,-30 10,-21 14,-15$$

Пресметајте го збирот за секој пар.

$$1-210=-209 2-105=-103 3-70=-67 5-42=-37 6-35=-29 7-30=-23 10-21=-11 14-15=-1$$

Решението е парот што дава збир -1.

$$a=-15 b=14$$

Препиши го n^{2}-n-210 како \left(n^{2}-15n\right)+\left(14n-210\right).

$$\left(n^{2}-15n\right)+\left(14n-210\right)$$

Исклучете го факторот n во првата група и 14 во втората група.

$$n\left(n-15\right)+14\left(n-15\right)$$

Факторирај го заедничкиот термин n-15 со помош на дистрибутивно својство.

$$\left(n-15\right)\left(n+14\right)$$

За да најдете решенија за равенката, решете ги n-15=0 и n+14=0.

$$n=15 n=-14$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$n^{2}-n-210=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете 1 за a, -1 за b и -210 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-210\right)}}{2}$$

Множење на -4 со -210.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+840}}{2}$$

Собирање на 1 и 840.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{841}}{2}$$

Вадење квадратен корен од 841.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±29}{2}$$

Спротивно на -1 е 1.

$$n=\frac{1±29}{2}$$

Сега решете ја равенката n=\frac{1±29}{2} кога ± ќе биде плус. Собирање на 1 и 29.

$$n=\frac{30}{2}$$

Делење на 30 со 2.

$$n=15$$

Сега решете ја равенката n=\frac{1±29}{2} кога ± ќе биде минус. Одземање на 29 од 1.

$$n=-\frac{28}{2}$$

Делење на -28 со 2.

$$n=-14$$

Равенката сега е решена.

$$n=15 n=-14$$

Чекори за пополнување на квадратот

Квадратните равенки како оваа може да се решат со пополнување на квадратот. За да го пополните, равенката прво мора да биде во формата x^{2}+bx=c.

$$n^{2}-n-210=0$$

Додавање на 210 на двете страни на равенката.

$$n^{2}-n-210-\left(-210\right)=-\left(-210\right)$$

Ако одземете -210 од истиот број, ќе остане 0.

$$n^{2}-n=-\left(-210\right)$$

Одземање на -210 од 0.

$$n^{2}-n=210$$

Поделете го -1, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете -\frac{1}{2}. Потоа додајте го квадратот од -\frac{1}{2} на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$n^{2}-n+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=210+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Кренете -\frac{1}{2} на квадрат со кревање и на броителот и на именителот на дропката на квадрат.

$$n^{2}-n+\frac{1}{4}=210+\frac{1}{4}$$

Собирање на 210 и \frac{1}{4}.

$$n^{2}-n+\frac{1}{4}=\frac{841}{4}$$

Фактор n^{2}-n+\frac{1}{4}. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{841}{4}$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(n-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{841}{4}}$$

Поедноставување.

$$n-\frac{1}{2}=\frac{29}{2} n-\frac{1}{2}=-\frac{29}{2}$$

Додавање на \frac{1}{2} на двете страни на равенката.

$$n=15 n=-14$$