Решете n^2-11n-60=0

$$n ^ { 2 } - 11 n - 60 = 0$$

Реши за n

$$n=-4$$

$$n=15$$

Чекори за употреба на факторирање

За да ја решите равенката, факторирајте n^{2}-11n-60 со помош на формулата n^{2}+\left(a+b\right)n+ab=\left(n+a\right)\left(n+b\right). За да ги најдете a и b, поставете систем за решавање.

$$a+b=-11 ab=-60$$

Бидејќи ab е негативно, a и b имаат спротивни знаци. Бидејќи a+b е негативно, негативниот број има поголема апсолутна вредност од позитивниот. Наведете ги сите парови цели броеви што даваат производ -60.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

Пресметајте го збирот за секој пар.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

Решението е парот што дава збир -11.

$$a=-15 b=4$$

Препишете го факторираниот израз \left(n+a\right)\left(n+b\right) со помош на добиените вредности.

$$\left(n-15\right)\left(n+4\right)$$

За да најдете решенија за равенката, решете ги n-15=0 и n+4=0.

$$n=15 n=-4$$

Чекори за употреба на факторирање со групирање

За да ја решите равенката, факторирајте ја левата страна со групирање. Прво, левата страна треба да се препише како n^{2}+an+bn-60. За да ги најдете a и b, поставете систем за решавање.

$$a+b=-11 ab=1\left(-60\right)=-60$$

Бидејќи ab е негативно, a и b имаат спротивни знаци. Бидејќи a+b е негативно, негативниот број има поголема апсолутна вредност од позитивниот. Наведете ги сите парови цели броеви што даваат производ -60.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

Пресметајте го збирот за секој пар.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

Решението е парот што дава збир -11.

$$a=-15 b=4$$

Препиши го n^{2}-11n-60 како \left(n^{2}-15n\right)+\left(4n-60\right).

$$\left(n^{2}-15n\right)+\left(4n-60\right)$$

Исклучете го факторот n во првата група и 4 во втората група.

$$n\left(n-15\right)+4\left(n-15\right)$$

Факторирај го заедничкиот термин n-15 со помош на дистрибутивно својство.

$$\left(n-15\right)\left(n+4\right)$$

За да најдете решенија за равенката, решете ги n-15=0 и n+4=0.

$$n=15 n=-4$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$n^{2}-11n-60=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете 1 за a, -11 за b и -60 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\left(-60\right)}}{2}$$

Квадрат од -11.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\left(-60\right)}}{2}$$

Множење на -4 со -60.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+240}}{2}$$

Собирање на 121 и 240.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{361}}{2}$$

Вадење квадратен корен од 361.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±19}{2}$$

Спротивно на -11 е 11.

$$n=\frac{11±19}{2}$$

Сега решете ја равенката n=\frac{11±19}{2} кога ± ќе биде плус. Собирање на 11 и 19.

$$n=\frac{30}{2}$$

Делење на 30 со 2.

$$n=15$$

Сега решете ја равенката n=\frac{11±19}{2} кога ± ќе биде минус. Одземање на 19 од 11.

$$n=-\frac{8}{2}$$

Делење на -8 со 2.

$$n=-4$$

Равенката сега е решена.

$$n=15 n=-4$$

Чекори за пополнување на квадратот

Квадратните равенки како оваа може да се решат со пополнување на квадратот. За да го пополните, равенката прво мора да биде во формата x^{2}+bx=c.

$$n^{2}-11n-60=0$$

Додавање на 60 на двете страни на равенката.

$$n^{2}-11n-60-\left(-60\right)=-\left(-60\right)$$

Ако одземете -60 од истиот број, ќе остане 0.

$$n^{2}-11n=-\left(-60\right)$$

Одземање на -60 од 0.

$$n^{2}-11n=60$$

Поделете го -11, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете -\frac{11}{2}. Потоа додајте го квадратот од -\frac{11}{2} на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$n^{2}-11n+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}=60+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}$$

Кренете -\frac{11}{2} на квадрат со кревање и на броителот и на именителот на дропката на квадрат.

$$n^{2}-11n+\frac{121}{4}=60+\frac{121}{4}$$

Собирање на 60 и \frac{121}{4}.

$$n^{2}-11n+\frac{121}{4}=\frac{361}{4}$$

Фактор n^{2}-11n+\frac{121}{4}. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{361}{4}$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(n-\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{4}}$$

Поедноставување.

$$n-\frac{11}{2}=\frac{19}{2} n-\frac{11}{2}=-\frac{19}{2}$$

Додавање на \frac{11}{2} на двете страни на равенката.

$$n=15 n=-4$$