Решете f ( x ) = ∫ (from 0 to x) of (t^3+2t^2+1)dt

$$f ( x ) = \int _ { 0 } ^ { x } ( t ^ { 3 } + 2 t ^ { 2 } + 1 ) d t$$

Процени

$$\frac{x^{4}}{4}+\frac{2x^{3}}{3}+x$$

Чекори за решение

Прво проценете го неопределениот интеграл.

$$\int t^{3}+2t^{2}+1\mathrm{d}t$$

Интегрирајте го збирот на термини по термин.

$$\int t^{3}\mathrm{d}t+\int 2t^{2}\mathrm{d}t+\int 1\mathrm{d}t$$

Факторирајте ја константата во секој од термините.

$$\int t^{3}\mathrm{d}t+2\int t^{2}\mathrm{d}t+\int 1\mathrm{d}t$$

Од \int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} за k\neq -1, замени \int t^{3}\mathrm{d}t со \frac{t^{4}}{4}.

$$\frac{t^{4}}{4}+2\int t^{2}\mathrm{d}t+\int 1\mathrm{d}t$$

Од \int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} за k\neq -1, замени \int t^{2}\mathrm{d}t со \frac{t^{3}}{3}. Множење на 2 со \frac{t^{3}}{3}.

$$\frac{t^{4}}{4}+\frac{2t^{3}}{3}+\int 1\mathrm{d}t$$

Најдете го интегралот од 1 користејќи го правилото на табелата на заеднички интеграли \int a\mathrm{d}t=at.

$$\frac{t^{4}}{4}+\frac{2t^{3}}{3}+t$$

Определениот интеграл е антидериват од изразот проценет на погорниот лимит на интеграција минус антидериватот проценет на подолниот лимит на интеграција.

$$\frac{x^{4}}{4}+\frac{2}{3}x^{3}+x-\left(\frac{0^{4}}{4}+\frac{2}{3}\times 0^{3}+0\right)$$

Поедноставување.

$$\frac{x^{4}}{4}+\frac{2x^{3}}{3}+x$$

Диференцирај во однос на x

$$x^{3}+2x^{2}+1$$