Решете a^2+(7-a)^2=169

$$a ^ { 2 } + ( 7 - a ) ^ { 2 } = 169$$

Реши за a

$$a=-5$$

$$a=12$$

Чекори за употреба на факторирање со групирање

Користете ја биномната теорема \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} за проширување на \left(7-a\right)^{2}.

$$a^{2}+49-14a+a^{2}=169$$

Комбинирајте a^{2} и a^{2} за да добиете 2a^{2}.

$$2a^{2}+49-14a=169$$

Одземете 169 од двете страни.

$$2a^{2}+49-14a-169=0$$

Одземете 169 од 49 за да добиете -120.

$$2a^{2}-120-14a=0$$

Поделете ги двете страни со 2.

$$a^{2}-60-7a=0$$

Прераспоредете го полиномот за да го ставите во стандардна форма. Распоредете ги членовите почнувајќи од највисокиот да најнискиот степен.

$$a^{2}-7a-60=0$$

За да ја решите равенката, факторирајте ја левата страна со групирање. Прво, левата страна треба да се препише како a^{2}+aa+ba-60. За да ги најдете a и b, поставете систем за решавање.

$$a+b=-7 ab=1\left(-60\right)=-60$$

Бидејќи ab е негативно, a и b имаат спротивни знаци. Бидејќи a+b е негативно, негативниот број има поголема апсолутна вредност од позитивниот. Наведете ги сите парови цели броеви што даваат производ -60.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

Пресметајте го збирот за секој пар.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

Решението е парот што дава збир -7.

$$a=-12 b=5$$

Препиши го a^{2}-7a-60 како \left(a^{2}-12a\right)+\left(5a-60\right).

$$\left(a^{2}-12a\right)+\left(5a-60\right)$$

Исклучете го факторот a во првата група и 5 во втората група.

$$a\left(a-12\right)+5\left(a-12\right)$$

Факторирај го заедничкиот термин a-12 со помош на дистрибутивно својство.

$$\left(a-12\right)\left(a+5\right)$$

За да најдете решенија за равенката, решете ги a-12=0 и a+5=0.

$$a=12 a=-5$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Користете ја биномната теорема \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} за проширување на \left(7-a\right)^{2}.

$$a^{2}+49-14a+a^{2}=169$$

Комбинирајте a^{2} и a^{2} за да добиете 2a^{2}.

$$2a^{2}+49-14a=169$$

Одземете 169 од двете страни.

$$2a^{2}+49-14a-169=0$$

Одземете 169 од 49 за да добиете -120.

$$2a^{2}-120-14a=0$$

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$2a^{2}-14a-120=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете 2 за a, -14 за b и -120 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$a=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 2\left(-120\right)}}{2\times 2}$$

Квадрат од -14.

$$a=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 2\left(-120\right)}}{2\times 2}$$

Множење на -4 со 2.

$$a=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-8\left(-120\right)}}{2\times 2}$$

Множење на -8 со -120.

$$a=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+960}}{2\times 2}$$

Собирање на 196 и 960.

$$a=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{1156}}{2\times 2}$$

Вадење квадратен корен од 1156.

$$a=\frac{-\left(-14\right)±34}{2\times 2}$$

Спротивно на -14 е 14.

$$a=\frac{14±34}{2\times 2}$$

Множење на 2 со 2.

$$a=\frac{14±34}{4}$$

Сега решете ја равенката a=\frac{14±34}{4} кога ± ќе биде плус. Собирање на 14 и 34.

$$a=\frac{48}{4}$$

Делење на 48 со 4.

$$a=12$$

Сега решете ја равенката a=\frac{14±34}{4} кога ± ќе биде минус. Одземање на 34 од 14.

$$a=-\frac{20}{4}$$

Делење на -20 со 4.

$$a=-5$$

Равенката сега е решена.

$$a=12 a=-5$$

Чекори за пополнување на квадратот

Користете ја биномната теорема \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} за проширување на \left(7-a\right)^{2}.

$$a^{2}+49-14a+a^{2}=169$$

Комбинирајте a^{2} и a^{2} за да добиете 2a^{2}.

$$2a^{2}+49-14a=169$$

Одземете 49 од двете страни.

$$2a^{2}-14a=169-49$$

Одземете 49 од 169 за да добиете 120.

$$2a^{2}-14a=120$$

Поделете ги двете страни со 2.

$$\frac{2a^{2}-14a}{2}=\frac{120}{2}$$

Ако поделите со 2, ќе се врати множењето со 2.

$$a^{2}+\left(-\frac{14}{2}\right)a=\frac{120}{2}$$

Делење на -14 со 2.

$$a^{2}-7a=\frac{120}{2}$$

Делење на 120 со 2.

$$a^{2}-7a=60$$

Поделете го -7, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете -\frac{7}{2}. Потоа додајте го квадратот од -\frac{7}{2} на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$a^{2}-7a+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}=60+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Кренете -\frac{7}{2} на квадрат со кревање и на броителот и на именителот на дропката на квадрат.

$$a^{2}-7a+\frac{49}{4}=60+\frac{49}{4}$$

Собирање на 60 и \frac{49}{4}.

$$a^{2}-7a+\frac{49}{4}=\frac{289}{4}$$

Фактор a^{2}-7a+\frac{49}{4}. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(a-\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{289}{4}$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(a-\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{4}}$$

Поедноставување.

$$a-\frac{7}{2}=\frac{17}{2} a-\frac{7}{2}=-\frac{17}{2}$$

Додавање на \frac{7}{2} на двете страни на равенката.

$$a=12 a=-5$$