Решете 9y^2-12y+2=0

$$9 y ^ { 2 } - 12 y + 2 = 0$$

Реши за y

$$y = \frac{\sqrt{2} + 2}{3} \approx 1,138071187$$

$$y=\frac{2-\sqrt{2}}{3}\approx 0,195262146$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$9y^{2}-12y+2=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете 9 за a, -12 за b и 2 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 9\times 2}}{2\times 9}$$

Квадрат од -12.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 9\times 2}}{2\times 9}$$

Множење на -4 со 9.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-36\times 2}}{2\times 9}$$

Множење на -36 со 2.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-72}}{2\times 9}$$

Собирање на 144 и -72.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{72}}{2\times 9}$$

Вадење квадратен корен од 72.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±6\sqrt{2}}{2\times 9}$$

Спротивно на -12 е 12.

$$y=\frac{12±6\sqrt{2}}{2\times 9}$$

Множење на 2 со 9.

$$y=\frac{12±6\sqrt{2}}{18}$$

Сега решете ја равенката y=\frac{12±6\sqrt{2}}{18} кога ± ќе биде плус. Собирање на 12 и 6\sqrt{2}.

$$y=\frac{6\sqrt{2}+12}{18}$$

Делење на 12+6\sqrt{2} со 18.

$$y=\frac{\sqrt{2}+2}{3}$$

Сега решете ја равенката y=\frac{12±6\sqrt{2}}{18} кога ± ќе биде минус. Одземање на 6\sqrt{2} од 12.

$$y=\frac{12-6\sqrt{2}}{18}$$

Делење на 12-6\sqrt{2} со 18.

$$y=\frac{2-\sqrt{2}}{3}$$

Равенката сега е решена.

$$y=\frac{\sqrt{2}+2}{3} y=\frac{2-\sqrt{2}}{3}$$

Чекори за пополнување на квадратот

Квадратните равенки како оваа може да се решат со пополнување на квадратот. За да го пополните, равенката прво мора да биде во формата x^{2}+bx=c.

$$9y^{2}-12y+2=0$$

Одземање на 2 од двете страни на равенката.

$$9y^{2}-12y+2-2=-2$$

Ако одземете 2 од истиот број, ќе остане 0.

$$9y^{2}-12y=-2$$

Поделете ги двете страни со 9.

$$\frac{9y^{2}-12y}{9}=-\frac{2}{9}$$

Ако поделите со 9, ќе се врати множењето со 9.

$$y^{2}+\left(-\frac{12}{9}\right)y=-\frac{2}{9}$$

Намалете ја дропката \frac{-12}{9} до најниските услови со извлекување и откажување на 3.

$$y^{2}-\frac{4}{3}y=-\frac{2}{9}$$

Поделете го -\frac{4}{3}, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете -\frac{2}{3}. Потоа додајте го квадратот од -\frac{2}{3} на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$y^{2}-\frac{4}{3}y+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{2}{9}+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Кренете -\frac{2}{3} на квадрат со кревање и на броителот и на именителот на дропката на квадрат.

$$y^{2}-\frac{4}{3}y+\frac{4}{9}=\frac{-2+4}{9}$$

Соберете ги -\frac{2}{9} и \frac{4}{9} со наоѓање на заедничкиот именител и собирање на броителите. Потоа намалете ја дропката на најмалите членови ако е можно.

$$y^{2}-\frac{4}{3}y+\frac{4}{9}=\frac{2}{9}$$

Фактор y^{2}-\frac{4}{3}y+\frac{4}{9}. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{2}{9}$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(y-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2}{9}}$$

Поедноставување.

$$y-\frac{2}{3}=\frac{\sqrt{2}}{3} y-\frac{2}{3}=-\frac{\sqrt{2}}{3}$$

Додавање на \frac{2}{3} на двете страни на равенката.

$$y=\frac{\sqrt{2}+2}{3} y=\frac{2-\sqrt{2}}{3}$$