Решете 9x^2-15x+4=0

$$9 x ^ { 2 } - 15 x + 4 = 0$$

Реши за x

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

$$x = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1,333333333$$

Чекори за употреба на факторирање со групирање

За да ја решите равенката, факторирајте ја левата страна со групирање. Прво, левата страна треба да се препише како 9x^{2}+ax+bx+4. За да ги најдете a и b, поставете систем за решавање.

$$a+b=-15 ab=9\times 4=36$$

Бидејќи ab е позитивно, a и b го имаат истиот знак. Бидејќи a+b е негативно, и a и b се негативни. Наведете ги сите парови цели броеви што даваат производ 36.

$$-1,-36 -2,-18 -3,-12 -4,-9 -6,-6$$

Пресметајте го збирот за секој пар.

$$-1-36=-37 -2-18=-20 -3-12=-15 -4-9=-13 -6-6=-12$$

Решението е парот што дава збир -15.

$$a=-12 b=-3$$

Препиши го 9x^{2}-15x+4 како \left(9x^{2}-12x\right)+\left(-3x+4\right).

$$\left(9x^{2}-12x\right)+\left(-3x+4\right)$$

Исклучете го факторот 3x во првата група и -1 во втората група.

$$3x\left(3x-4\right)-\left(3x-4\right)$$

Факторирај го заедничкиот термин 3x-4 со помош на дистрибутивно својство.

$$\left(3x-4\right)\left(3x-1\right)$$

За да најдете решенија за равенката, решете ги 3x-4=0 и 3x-1=0.

$$x=\frac{4}{3} x=\frac{1}{3}$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$9x^{2}-15x+4=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете 9 за a, -15 за b и 4 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\times 9\times 4}}{2\times 9}$$

Квадрат од -15.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\times 9\times 4}}{2\times 9}$$

Множење на -4 со 9.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-36\times 4}}{2\times 9}$$

Множење на -36 со 4.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-144}}{2\times 9}$$

Собирање на 225 и -144.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{81}}{2\times 9}$$

Вадење квадратен корен од 81.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±9}{2\times 9}$$

Спротивно на -15 е 15.

$$x=\frac{15±9}{2\times 9}$$

Множење на 2 со 9.

$$x=\frac{15±9}{18}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{15±9}{18} кога ± ќе биде плус. Собирање на 15 и 9.

$$x=\frac{24}{18}$$

Намалете ја дропката \frac{24}{18} до најниските услови со извлекување и откажување на 6.

$$x=\frac{4}{3}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{15±9}{18} кога ± ќе биде минус. Одземање на 9 од 15.

$$x=\frac{6}{18}$$

Намалете ја дропката \frac{6}{18} до најниските услови со извлекување и откажување на 6.

$$x=\frac{1}{3}$$

Равенката сега е решена.

$$x=\frac{4}{3} x=\frac{1}{3}$$

Чекори за пополнување на квадратот

Квадратните равенки како оваа може да се решат со пополнување на квадратот. За да го пополните, равенката прво мора да биде во формата x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}-15x+4=0$$

Одземање на 4 од двете страни на равенката.

$$9x^{2}-15x+4-4=-4$$

Ако одземете 4 од истиот број, ќе остане 0.

$$9x^{2}-15x=-4$$

Поделете ги двете страни со 9.

$$\frac{9x^{2}-15x}{9}=-\frac{4}{9}$$

Ако поделите со 9, ќе се врати множењето со 9.

$$x^{2}+\left(-\frac{15}{9}\right)x=-\frac{4}{9}$$

Намалете ја дропката \frac{-15}{9} до најниските услови со извлекување и откажување на 3.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=-\frac{4}{9}$$

Поделете го -\frac{5}{3}, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете -\frac{5}{6}. Потоа додајте го квадратот од -\frac{5}{6} на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}=-\frac{4}{9}+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Кренете -\frac{5}{6} на квадрат со кревање и на броителот и на именителот на дропката на квадрат.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=-\frac{4}{9}+\frac{25}{36}$$

Соберете ги -\frac{4}{9} и \frac{25}{36} со наоѓање на заедничкиот именител и собирање на броителите. Потоа намалете ја дропката на најмалите членови ако е можно.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{1}{4}$$

Фактор x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

Поедноставување.

$$x-\frac{5}{6}=\frac{1}{2} x-\frac{5}{6}=-\frac{1}{2}$$

Додавање на \frac{5}{6} на двете страни на равенката.

$$x=\frac{4}{3} x=\frac{1}{3}$$